PRÉSENTÉE L'UNIVERSITÉ D'ORLÉANS

Sandrine Grellier

Description

Niveau: Supérieur, Doctorat, Bac+8
THÈSE PRÉSENTÉE À L'UNIVERSITÉ D'ORLÉANS POUR OBTENIR LE GRADE DE DOCTEUR DE L'UNIVERSITÉ D'ORLÉANS Discipline : MATHÉMATIQUES Par Mohammad KACIM ÉTUDE DES TRONCATURES D'OPÉRATEURS Soutenue publiquement le : 19/05/2004 Membres du jury : -- Sandrine GRELLIER (Directrice de Thèse) (Maître de conférences, MAPMO, Univ. d'Orléans) -- Aline BONAMI (Codirectrice de Thèse) (Professeur, MAPMO, Univ.d'Orléans) -- Dominique LEPINGLE (Président) (Professeur, MAPMO, Univ.d'Orléans) -- Françoise LUST-PIQUARD (Professeur, Univ. de Cergy-Pontoise) -- Frédéric SYMESAK (Maître de conférences, Univ. de Poitiers) Rapporteurs : Joaquim BRUNA (Professeur, Univ. autonome de Barcelone) El Hassan YOUSSFI (Professeur, Univ. de Provence, Aix-Marseille I) UNIVERSITÉ D'ORLÉANS

• uni- versite d'orleans


• premieres expressions de gratitude


• mathematiques dans les differentes facultes de l'uni- versite d'orleans


• personnel du departement des mathematiques d'orleans


• qualites personnelles

Sujets

• Grellier

Informations

• Publié par: profil-zyak-2012
• Publié le: 01 mai 2004
• Nombre de lectures: 168
• Poids de l'ouvrage: 4 Mo

Extrait

UNIVERSITÉ D'ORLÉANS


THÈSE
PRÉSENTÉE À L’UNIVERSITÉ D’ORLÉANS
POUR OBTENIR LE GRADE DE
DOCTEUR DE L’UNIVERSITÉ D’ORLÉANS

Discipline : MATHÉMATIQUES
Par
Mohammad KACIM

ÉTUDE DES TRONCATURES D'OPÉRATEURS ÉTUDE DES TRONCATURES D'OPÉRATEURS


Soutenue publiquement le : 19/05/2004


Membres du jury :
- (Maître de conférences, MAPMO, Univ. d’Orléans) - Sandrine GRELLIER (Directrice de Thèse)
- (Professeur, MAPMO, Univ.d’Orléans) - Aline BONAMI (Codirectrice de Thèse)
- - Univ.d’Orléans) - Dominique LEPINGLE (Président)
- (Professeur, Univ. de Cergy-Pontoise) - Françoise LUST-PIQUARD
- (Maître de conférences, Univ. de Poitiers) - Frédéric SYMESAK


Rapporteurs :
Joaquim BRUNA El Hassan YOUSSFI
(Professeur, Univ. autonome (Professeur, Univ. de Provence,
de Barcelone) Aix-Marseille I)
UNIVERSITÉ D'ORLÉANS


THÈSE
PRÉSENTÉE À L’UNIVERSITÉ D’ORLÉANS
POUR OBTENIR LE GRADE DE
DOCTEUR DE L’UNIVERSITÉ D’ORLÉANS

Discipline : MATHÉMATIQUES
Par
Mohammad KACIM

ÉTUDE DES TRONCATURES D'OPÉRATEURS ÉTUDE DES TRONCATURES D'OPÉRATEURS


Soutenue publiquement le : 19/05/2004


Membres du jury :
- (Maître de conférences, MAPMO, Univ. d’Orléans) - Sandrine GRELLIER (Directrice de Thèse)
- (Professeur, MAPMO, Univ.d’Orléans) - Aline BONAMI (Codirectrice de Thèse)
- - Univ.d’Orléans) - Dominique LEPINGLE (Président)
- (Professeur, Univ. de Cergy-Pontoise) - Françoise LUST-PIQUARD
- (Maître de conférences, Univ. de Poitiers) - Frédéric SYMESAK


Rapporteurs :
Joaquim BRUNA El Hassan YOUSSFI
(Professeur, Univ. autonome (Professeur, Univ. de Provence,
de Barcelone) Aix-Marseille I) Remerciements
Mes toutes premi`eres expressions de gratitude vont `a Sandrine GREL-
LIER, qui a su me diriger avec rigueur et application tout au long de ma
th`ese. Je la remercie non seulement pour son appui scientifique, qui m’a ´et´e
indispensable, mais aussi pour son soutien moral, ses qualit´es personnelles,
son amabilit´e et sa nature joyeuse.
Je voudrais ´egalement remercier Aline BONAMI qui m’a donn´e l’oppor-
tunit´e d’effectuer mes recherches au sein du laboratoireMAPMO de l’uni-
versit´e d’Orl´eans. Je la remercie pour sa disponibilit´e, pour ses conseils et
ses remarques perspicaces qui m’ont permis de progresser sereinement dans
mon travail.
Je remercie tous les membres du laboratoire MAPMO et le personnel
du d´epartement des math´ematiques d’Orl´eans, chercheurs, enseignants, doc-
torants, informaticiens, secr´etaires et techniciens. Ils ont tous contribu´e de
fa¸con directe ou indirecte au bon d´eroulement de ma th`ese, je les remercie
pour leur pr´esence a` mes cot´es et pour la bonne ambiance qu’ils ont fait
r´egner autour de moi.
Je remercie, particuli`erement, mes coll`egues enseignants avec qui j’ai eu
le plaisir d’enseigner les math´ematiques dans les diff´erentes facult´es de l’uni-
versit´e d’Orl´eans, en MIAS, STAPS, STPI, AES et SV.
Je remercie la fondation Hariri et la mairie de Lyon de leur soutien finan-
cier qu’elles m’ont accord´e pour la pr´eparation de mes diplˆomes de Maˆıtrise
et de DEA.
Je remercie chacune et chacun de mes professeurs qui se sont succ´ed´es,
3d`es mes premiers pas `a la maternelle jusqu’au DEA, `a m’´eduquer et `a m’ap-
prendre la science et les bonnes mani`eres. C’est grˆace a` eux et `a leurs encou-
ragements que j’ai pu poursuivre avec r´eussite mon parcours acad´emique.
Jeremercie,lespersonnessympathiquesdetouteorigine,couleuretconfes-
sion, que j’ai eu l’honneur de rencontrer sur le sol fran¸cais, `a l’occasion de la
pr´eparation de mon doctorat. J’ai puis´e inlassablement dans leurs diversit´es
culturelles qui ont suscit´e toute mon admiration.
Je n’oublierai jamais et je ne remercierai jamais assez chacune et chacun
de mes adorables amis, de mes formidables proches, ainsi que toute personne
qui m’a aim´e, aid´e, soutenu et cru en moi. Avec eux, j’ai partag´e des mo-
ments agr´eables, inoubliables, de joie et d’´emotions.
Je garde le meilleur pour la fin, je m’incline respectueusement devant les
deux ˆetres a` qui je dois mon existence, Souad et Mahmoud. Je leur exprime
mes hauts et profonds signes de reconnaissance et d’ob´eissance pour tous les
efforts qu’ils ont fournis et tous les sacrifices qu’ils ont g´en´ereusement faits,
pour que je grandisse dans des parfaites conditions d’amour, de satisfaction
et d’´epanouissement. C’est a` eux que je d´edie le r´esultat de mon travail ainsi
qu’`a mes dix sœurs et fr`eres que j’embrasse fort.
Mohammad KACIM
4Table des mati`eres
Introduction 7
I Op´erateurs sur le disque. 11
1 Pr´eliminaires. 13
1.1 Classes de Schatten S , p> 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13p
1.1.1 Rappels et notations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.1.2 Les classes de Schatten S . . . . . . . . . . . . . . . . 14p
1.2 Op´erateurs de type Hankel et de type Toeplitz. . . . . . . . . 16
1.3 Troncatures : d´efinition et propri´et´es. . . . . . . . . . . . . . . 19
1.3.1 Les th´eor`emes de [BB]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2 Multiplicateurs r´eguliers. 21
2.1 Int´egrale de fonctions a` valeurs dans un espace de Banach. . . 21
2.2 R´egularit´e de certains multiplicateurs. . . . . . . . . . . . . . 23
3 Troncature des op´erateurs continus. 31
3.1 Matrices de Hankel finies. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.2 Transform´ee de Hilbert bilin´eaire. . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.3 Classes Lipschitz et espaces de Hardy : rappels. . . . . . . . . 34
3.3.1 Dualit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.3.2 Factorisation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.4 Preuve du th´eor`eme 11. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.5 Preuve du th´eor`eme 7. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.6 Op´erateurs de Hankel multilin´eaires. . . . . . . . . . . . . . . 40
3.7 Perspectives. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
54 Troncature, classe `a trace et rang fini. 43
4.1 Troncatures Π sur les classes `a trace. . . . . . . . . . . . . . 43β,α
4.1.1 R´eduction `a 0<β≤ 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4.1.2 Op´erateur auxiliaire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
4.1.3 Preuve du th´eor`eme 12. . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
4.2 Op´erateurs de rang fini. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
4.3 Op´erateurs de type Hankel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
II Op´erateurs sur le demi-plan sup´erieur. 57
5 Pr´eliminaires. 59
2 + 25.1 Identification de H (P ) `a L (0,∞). . . . . . . . . . . . . . . 59
2 +5.1.1 Identification des op´erateurs de Hankel sur H (P )
2avec ceux sur L (0,∞). . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
5.2 Op´erateurs de type Hankel et de type Toeplitz. . . . . . . . . 64
5.3 Troncatures : D´efinition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
6 Troncatures des op´erateurs continus. 65
6.1 Troncature et transform´ee de Hilbert bilin´eaire. . . . . . . . . 65
6.1.1 R´egularit´e de la transform´ee de Hilbert bilin´eaire. . . . 67
6.2 Extensions aux op´erateurs de Toeplitz. . . . . . . . . . . . . . 68
7 Troncatures sur les classes S . 73p
7.1 Enonc´e du th´eor`eme 23. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
7.2 Preuve du th´eor`eme 23. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
7.2.1 R´eduction au cas β = 1, α = 0. . . . . . . . . . . . . . 74
7.2.2 Sous-ensemble dense dans S . . . . . . . . . . . . . . . 76p
7.2.3 Passage `a un op´erateur sur le tore. . . . . . . . . . . . 77
7.2.4 Conclusion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
7.3 Op´erateurs de type Hankel sur le demi-plan sup´erieur.. . . . . 85
8 Troncatures sur la classe S . 871
8.1 Enonc´e du th´eor`eme 26. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
8.1.1 Preuve du th´eor`eme 26. . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
Appendice 93
Bibliographie 103
6Introduction
Le but de ce m´emoire de th`ese est d’´etudier la r´egularit´e de la troncature
surdesespacesd’op´erateursagissantsurunespacedeHilbertX.Onrappelle
2 2par exemple que, lorsque X est l’espace de Hardy H (D) identifi´e `a l (N),
il s’agit alors de tronquer une matrice A = (a ) suivant une directionmn m,n
m = βn +α. Plus pr´ecisement, Π (A) est la matrice de coefficient 0 siβ,α
m < αn+β et a si m ≥ βn+α. Cette troncature est not´ee Π si β = 1mn
et α = 0. On ´etudie, en particulier, l