Resolution d'equations aux derivees partielles non lineaires et couplees Stephanie Marchesseau Dimitri Bettebghor Directeur de projet Pierre Dreyfuss

Stephanie Marchesseau

Description

Niveau: Supérieur, Master
Resolution d'equations aux derivees partielles non lineaires et couplees Stephanie Marchesseau Dimitri Bettebghor Directeur de projet : Pierre Dreyfuss Ecole des Mines de Nancy, 2006-2007

• algorithme de newton


• resolution d'equations aux derivees partielles


• respon- sable des opinions exprimees


• equations aux derivees partielles


• methode d'elements finis

Sujets

• Dreyfuss
• Poincaré
• École des Mines
• Cartan
• Équation aux dérivées partielles

Informations

• Publié par: profil-mupheg-2012
• Nombre de lectures: 152
• Langue: Français
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Extrait

R´esolutiond’´equationsauxde´rive´es partiellesnonline´airesetcouple´es

St´ephanieMarchesseauDimitriBettebghor Directeur de projet : Pierre Dreyfuss

Ecole des Mines de Nancy, 2006-2007

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Tabledesmati`eres

Avertissement/Remerciements Introduction De´finitionsetnotations 1Pr´esentationduproble`me 1.1Les´equationsauxde´rive´espartielles........................... 1.1.1Equationsauxde´riv´eespartiellesline´aires.................... 1.1.2Equationsauxd´erive´espartiellesnonline´aires.................. 1.2Pr´esentationdenotreproble`med’E.D.P......................... 1.2.1Les´electroaimantsdeBitter............................ 1.2.2Problemeth´eorique................................. ` 2Quelquespre´cisionssurMatlab 2.1LaPDEToolboxdeMatlabetstockagededonne´es................... 2.1.1 L’interface graphique (Graphic User’s Interface) . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.2Codagedelag´eom´tieetdumaillage...................... e r 2.1.3Stockagedesdonne´es:leformatsparse. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2Exempleder´esolutiona`l’aidedelaPDEToolboxsousMatlab............. 3Mod´elisationetr´esolutionnume´rique 3.1Mode´lisationsimplifie´e................................... 3.1.1Re´solutionduprobl`emethe´orique......................... 3.1.2Diffe´rentiationdesop´erateurs........................... 3.2Miseenplacealgorithmiqueetr´esolutionsousMatlab................. 3.2.1 Calcul de la fonctionγ. . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 3.2.2 Calcul des o ´ t rs et des matrices A,C et E . . . . . . . . . . . . . . . . . pera eu 3.2.3 Calcul des matricesBetD. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 3.3 Algorithme de Newton et variantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.1Me´thodedirecte................................... 3.3.2Me´thodeGMRES.................................. 3.3.3Newton`apasoptimal............................... 4 Mise en place d’un cas test pour notre algorithme 4.1Enonce´dunouveauprobl`eme............................... 4.2R´esolutiondecenouveauprobl`eme............................ 5Pre´cisionssurlesalgorithmesutilis´es

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i iii v 1 1 1 2 2 2 3 7 7 7 10 13 16 21 21 21 22 24 25 28 31 36 36 37 39 43 43 44 49

4

5.1Lame´thodedes´el´ementsfinis...... 5.2 L’algorithme de Newton . . . . . . . . . 5.3Lesdiffe´rentesr´esolutionsdel’algorithme

Conclusion

. . . . . . . . . . . . . . de Newton

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` TABLE DES MATIERES

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Avertissement/Remerciements

Lecontenudecerapportappartienta`sesauteurs,l’EcoledesMinesdeNancyn’estenrienrespon- sabledesopinionsexprime´es.

NousremercionschaleureusementnotredirecteurdeprojetM.PierreDreyfuss,chercheura`l’Institut ElieCartandel’Universit´eHenriPoincare´deNancy.Sesconseilsetsonaideonte´te´tr`´iux es prec e tout au long de ce projet.

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AVERTISSEMENT/REMERCIEMENTS

Introduction

Notreprojetquel’onpourraitde´finircommeunprojetdecalculscientifique,asesapplicationsdans ledomainephysiquedel’´electromagn´etisme,puisqu’ilconsiste`ade´terminerlesgrandeursrepr´esen- tativesd’unaimant:l’aimantdeBitter.Nouspr´esenteronsdoncbri`evementlescaract´eristiquesd’un telaimant,avantdenousint´eresserplusparticulie`rementaux´equationsquire´gissentsonfonction- nement,e´quationsquenousessaieronsder´esoudreparlasimulationnume´rique.

Eneffet,lepointleplusimportantdenotreprojetfutdetraiterdes´equationsdiff´erentiellesnon lin´eairesetcouple´es.Celasignifiequ’ilnousae´t´eimpossibledenousaiderdesme´thodeshabituelles der´esolutiondes´equationsdiffe´rentielles,c’estpourquoinousavsdˆvisagerdetransformer on u en notreproble`meafindepouvoirlere´soudrepardesme´thodesbienconnues,commelame´thodede Newton.

Lam´ethodedeNewtonpermetdetrouverlez´erod’unefonction,iladoncfallupasserdedeux e´quationsdiff´erentiellesnonlin´eairescoupl´ees`aunproble`medepointfixe,nousvouspr´esenterons biensuˆrlath´eoriequisecachederrie`recettetransformation.Ensuite,nousnoussommesattaquesa ´ ` lamani`ereder´esoudrenum´iquementcenouveauproble`me,parlaprogrammation(avecMatlab) er demultiplesfonctionsimbrique´es,dontnousexpliqueronsl’int´erˆetparlasuite.

Leprogrammee´tantplutoˆtcomplique´,etvoulantnousassurerdesapertinence,nousavonsen- visageuncastest,dontnousconnaissionsler´esultatth´eorique.Apre`sdenombreusesheurespass´ees ´ surcesujet,noseffortsontfinalemente´t´er´ecompense´spuisquenoussommesaujourd’huienmesure defournirunprogrammesatisfaisant,quire´pond`alaproble´matiquequenousavionsfi´aude´but xee denotreprojet.Onpourraite´videmmentcontinuer`acreuserlesujet,commeparexempleseramener `adeexemplesphysiquesetinterpre´terlesr´esultats,maisletempsnousamanque´,nouslaissonsdonc cela`adepotentielssuccesseurs.

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