Concours de Mathématiques de niveau Terminale

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Avec correction. Concours geipi 2011- eni - polytech
Concours en Mathématiques (2011) pour Terminale S, GEIPI

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SUJET DE MATHEMATIQUES Mercredi 11 mai 2011 Epreuves communes ENIGEIPIPOLYTECH Nous vous conseillons de répartir équitablement les 3 heures d’épreuves entre les sujets de mathématiques et de physiquechimie. La durée conseillée de ce sujet de mathématiques est de 1h30. L’usage d’une calculatrice est autorisé. Tout échange de calculatrices entre candidats, pour quelque raison que ce soit, est interdit. Aucun document n’est autorisé. L’usage du téléphone est interdit. Vous ne devez traiter que 3 exercices sur les 4 proposés. Chaque exercice est noté sur 10 points. Le sujet est donc noté sur 30 points. Si vous traitez les 4 exercices, seules seront retenues les 3 meilleures notes.

Ne rien inscrire cidessous 1 2 3 4 TOTAL

Lesujetcomporte8pagesnum´erote´esde2`a9

Ilfautchoisiretre´aliserseulementtroisdesquatreexercicespropose´s

EXERCICE I Donnerlesr´eponses`acetexercicedanslecadrepr´evu`alapage3

Onseplacedansleplancomplexerapporte´aurepe`re(O;v~u~ , ),d´ermnot.ecirohtro Soient les pointsAetBd’affixes respectives :

z A = 1

z B = 3−2i

Pour tout complexez, on pose : ′ z=iz+ 1−i ′ ′ Onconsid`erelafonctionFtuopnitqui,`atoMd’affixez, associe le pointMd’affixez.

I1

I2

2a

2b

2c

2d

I3

I4

I5

5a

5b

5c

5d

I6

2/9

PlacerAetB’lnoqeeu`lteocpmsfigururlaxe’leder.ecicreurufaaersume`aet

Danscettequestion,onconsid`ereunpointMid,re´fftdeneA, donc d’affixez6= 1. ′ z−1 De´terminerlecomplexeZ=. z−1 De´terminerlemodule|Z|et un argumentarg(Z)deZ. −−→ −−→ ′ ′ ExprimerAMen fonction deAMglanl’ereD.e´etmrni(AM , AM).

End´eduirela caracte´ristiques.

nature

de

la

fonction

F.

On

pre´cisera

tous

ses

´el´ements

′ ′ D´eterminerlesaffixesz A etz B des imagesAetBparFdes pointsAetB. ′ ′ ′ SoitCle point dont l’image par la fonctionFest le pointCd’affixez C =−3−3i. ′ De´terminerl’affixez C du pointC. Justifier le calcul. ′ ′ Dessiner les trianglesABCetACBsur la figure deI1.

′ Ond´esigneparIle milieu du segment[BC].

′ De´terminerl’affixez I du pointI. Dans le triangleABCe´eamandiart,lrecDissue deA. −→ −−→ ′ D´eterminerlesaffixesdesvecteursAIetCB.

′ D´eterminerlapositionrelativedesdroites(AI)et(CB).Onjustiefiaral´rpenoes.

′ Querepre´senteladroiteDpour le triangleACB?

′ ′ On noteDl’image de la droite(AI)par la fonctionF´e.DetmrnireDet tracer ′ Dsur la figure deI1.

GEIPIPOLYTECHENIT 2011 MATHEMATIQUES

I1

I2a

I2b

I2c

I2d

I3

I4

I5a

I5b

I5c

I5d

I6

Z=

|Z|=

′ AM=

F

est

z A = ′

z C =

REPONSES A L’EXERCICE I

z I = −→ affixe deAI:

v~

O

′ Les droites(AI)et(CB)sont

Dest

′ Dest

GEIPIPOLYTECHENIT 2011 MATHEMATIQUES

~u

arg(Z) =

−−→ −−→ ′ (AM , AM) =

car

z B = ′

−−→ ′ affixe deCB:

car

3/9

EXERCICE II Donnerlesre´ponsesa`cetexercicedanslecadrepr´evua`lapage5

Onconsid`erelafonctionfrtuotruop,einfie´d´eelx, par

:

2x x f(x) =e−4e+ 3

SoitClcatnesr´taenrboueperfpernere`dusna(O;~ı , ~)orthonomre´.

II1a

1b

1c

II2a

2b

2c

2d

II3

II4

II5

II6a

6b

4/9

D´eterminerlimf(x)snop.efierlar´e.Justi x→+∞ D´eterminerlimf(x)e´oplrraitefiJ.sunse. x→−∞ Onend´eduitqueCadmet, au voisinage de−∞, une asymptoteΔdont on donnera unee´quation.

′ ′ fde´edngisdaleire´ee´vfD´et.nerermif(x).

Pourtoutr´eelx,

′ f(x)’´suostirceemr:ofals

Donner l’expression deg(x).

Dresser le tableau de variation de la fonctionf.

′x f(x) =g(x) (e−2).

fr´pntupoiumamiminetnuseneM(x M , y M ). D´eterminerlescoordonne´es(x M , y M )deMaccllued.D´etaillerley M .

Une des deux courbesC 1 etC 2 etalseneitnoofcnlafigssurepr´urerdee´nissef. Laquelle?Justifiervotrer´eponse.

De´terminerune´equationdelatangenteT 0 `lacaourbeCau point d’abscisse0. TracerT 0 sur la figure deII3.

La courbeCcoupe l’asymptoteΔen un pointE.

D´eterminerlescoordonn´ees(x E , y E )du pointEesrllccas.ulD.e´atliel Z ln(4) SoitJ:rapeinfinei´’dlgeel´atrJ= (3−f(x))dx. 0 Calculer la valeur deJen justifiant le calcul.

Sur la figure deII3, placer le pointEet hachurer la partie du plan dont l’aire, exprim´eeenunit´esd’aire,vautJ.

GEIPIPOLYTECHENIT 2011 MATHEMATIQUES

II1a

II1b

II1c

II2a

II2c

II2d

II3

II4

II5

II6a

II6b

REPONSES A L’EXERCICE II

limf(x) = x→+∞

limf(x) = x→−∞

Δ :

′ f(x) =

x ′ f(x)

f(x)

x M =

T 0

:

x E =

J=

−∞

y M =

Utiliser la figure deII3.

GEIPIPOLYTECHENIT 2011 MATHEMATIQUES

C 1

~ j

car

O

car

car

~ i

y E =

C 2

II2b

+∞

car

g(x) =

C=

car

5/9

EXERCICE III Donnerlesre´ponsesa`cetexercicedanslecadrepre´vua`lapage7

Unfabricantdejouetsvendunmod`eledepoup´eequi”parleetmarche”grˆacea`unm´ecanisme ´electronique. Onappelle“dur´eedevie”d’unepoupe´eletempspendantlequelleme´canismefonctionnecor rectementavantlapremie`red´efaillance. Lavariableal´eatoireTre,´eprdarue´deestnnaltim´eeenaevieexprd’es´ennp´ouepunaesirpeeu 1 hasarddanslaproduction,suituneloiexponentielledeparam`etre. 3 Laprobabilit´eP(T≤t)´eupoiesnftiri´eeruea`queladrue´deveeiedalopttalorsae´nnsese donn´eepar: 1 − t P(T≤t) = 1−e 3 Danscetexercice,pourchaqueprobabilite´demande´e,ondonnerasavaleur exactepuis une −4 valeurapproch´eea`10pr`es.

III1a 1b

III2

2a 2b

III3

3a 3b

III4

6/9

4a

4b

4c

4d

D´eterminerlaprobabilite´pnu’uqtincfoneeep´oueptu’duaoblpsunoene.nn´eunea Exprimer, en fonction detet´l,paorabibilP(tT > )´puo’neeatianucueu’qepun d´efaillancependanttann.e´se J’aiachet´eunepoupe´e.OnnoteAn’aaucunapoup´eemene:tl“’le´´vnecnalee´deliaf pendantuneann´ee”etBaucuen’aup´elapotn“:enemvee´l´’tanndepecnalliafe´den trois ans”. D´eterminerlesprobabilite´sP(A)etP(B)tnsenemev´edes´AetB. Sachantquelapoupe´efonctionneparfaitementauboutd’unan,quelleestlapro babilite´P A (B)roaeeecnoinnnotcans?roistdetuboueltsuJrefiief´euppolaueq calcul. Lefabricantgarantitlespoup´eespendantunanets’engage`arembourserlespoup´ees d´efectueuses. −2 Donnerunevaleurapproch´ee`a10uobme´sr.segetapode´eupreesrpe`dspuuocrne Quelledure´edegarantiemaximalet 0 devrait proposer le fabricant pour qu’il ne rembourse pas plus de8%despoup´?sevseeudne Calculerlavaleurexacte,exprim´eeenanne´es,det 0 ultat.erler´esuJ.fiits Donnerunevaleurapproch´ee,exprim´eeenmois,det 0 . Uncommerc¸antache`teunlotdetroispoup´eesetlefabricantoffre,pourchaque poup´ee,unegarantied’uneanne´e. SoitXessurcembours´eravall´eabliaerirtoeasenepe´relonattndepombreesreup´e lot. Exprimer, en fonction dep´edeinfinIII1aal,it´eabilprobP(X= 3)que les trois poupe´esnefonctionnentplusauboutd’unan. Exprimer, en fonction dep,lorpaibab´tileP(X= 1)qunu’euesdelesioptsorsepue´ ne fonctionne plus au bout d’un an. Compl´eterletableaudonnantlaloideprobabilite´deXt´esbilirobaLesp.tnesor exprime´esenfonctiondep. Derterminer, en fonction dep,l’esamhte´am´prenaeceuqitE(X)de la variableX.

GEIPIPOLYTECHENIT 2011 MATHEMATIQUES