Cours, Chapitre de Mathématiques de niveau CPGE

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Lois de composition internes- groupes
Cours, Chapitre en Mathématiques (2012) pour CPGE 1 MPSI

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Extrait

Chapitre: Loisde composition internes, groupes, sous-groupes et morphismes

1 Loisde composition internes

De´finitionsSoit E un ensemble. •On appelle loi de composition interne sur E toute application deE×Edans E. •On appelle magma tout couple (E,∗itu´onst)cteEelbmesnenu’deernteinoielund’∗surE.

1.1Associativite´

framedSoit (E,∗) un magma.On dit qu’il est associatif ou que∗est associative si: ∀x, y, z∈E,(x∗y)∗z=x∗(y∗z)

1.2Commutativite´

De´finitionSoit (E,∗On dit qu’il est commutatif ou que) un magma.∗est commutative si:

∀x, y∈E, x∗y=y∗x

1.3Ele´mentneutreete´l´ementinversible

D´efinitionSoit (E,∗) un magma ete∈E. On dit queeest untneme´le´ertuende ce magma si:

∀x∈E, x∗e=e∗x=x 1

The´or`eme(unicit´edel’´el´ementneutre)Soit (E,∗usnlo.Amaagnm)uulpuaede`ssopEsr ´ele´mentneutre.Onleconteg´ene´ralement0 E lorsque la loi de E est vue comme une addition et 1 E lorsqu’elle est vue comme une multiplication.

0 0 D´emonstrationSoient (E,∗) un magma ete, e∈E/ On suppose queeetenodtue´xssntme´eel 0 0 neutres de ce magma.Alorse=e∗e=e

0 D´efinitionOn dit quexest inversible dans (E,∗) ou plus simplement pour∗s’il existex∈Etel que: 0 0 x∗x=x∗x=e 0 Untele´le´mentxes´eelpptaevsrnunideex.

Qu’enest-ilalorsdel’unicite´desinverses?

The´ore`me(Inversibilit´edansunmagmaassociatifavece´l´ementneutre)Soient (E,∗) un magmaassociatifd’e´le´mentneutree. •Soitx∈E. Sixest inversible, alorsxopnuede`ssinueiqune.rsve •Soientx, y, z∈E. –Six∗y=x∗zet sixest inversible, alorsy=z –Siy∗x=z∗xet sixest inversible, alorsy=z −1−1−1 •Soientx, y∈E. Sixetysont inversibles,x∗yl’est aussi et (x∗y) =y∗x n n−1−1n •Soientx∈Eetn∈N. Sixest inversible, alorsxl’est aussi et (x) =(x)

D´emonstration 0 000 00 00 •Soientx∈Eetxetxdeux inverses dexdans (E,∗). Alors:x=x∗e=x∗(x∗x) = 0 0000 00 (x∗x)∗x=e∗x=x •Soientx, y, z∈Esuppose que. Onx∗y=x∗zet quexAlors:est inversible.y=e∗y= −1−1−1−1 (x∗x)∗y=x∗(x∗y) =x∗(x∗z) = (x∗x)∗z=e∗z=z. −1−1−1−1−1 •Soientx, y∈EAlors: (tous deux inversibles.x∗y)∗(y∗x) =x∗(x∗y)∗x=x∗e∗x= −1−1−1 x∗x=e(me:eeDˆm.y∗x)∗(x∗y) =e •Paecnerruce´rr‡elerioatn.emiˆisroatelrdtirap −1−1 •Soitx∈Einversible. Alorsx∗x=x∗x=e. 2

1.4Distributivit´ed’uneloiparrapporta`uneautre

Propri´et´eSoient?et•deux lois de compositions internes sur un ensembleEdit que. On?est distributiveparrapporta`•si:

et (y ? x)•(z ? x)

∀x, y, z∈E, x ?(y•z) = (x ? y)•(x ? z)

Exempleidtsirubitevssru´raLinueteno’ledteinecrsontintsoP(E). Eneffet, pour toutes parties A, B, C de E: [ \[ \\ [\ [ A(B C) = (A B) (AC)(A B)C= (AC) (B C) et inversement.

2 Structurede groupe 2.1 Groupe

De´finitionOn appellegroupee,trnsdaenemeutntuuqelotleociatif,magmaasstnnue´´lopsse´adutto e´le´mentestinversible.

RemarqueUn groupe commutatif est ditneile´baepuorg.

De´finition(Groupesym´etrique)ide.OnappellegroEtnuneesbmelonvnoiSe´mysepueuqirt deEl’ensembledesbijectionsdeEsurE,note´S E . Lemagma (S E ,◦ntnertuee´’dme´lgrunpeouest)e Id E .

2.2 Sous-groupe

De´finitionSoientGun groupe etHune partie deGdit que. OnHest unsous-groupede G si: 0 0 •Hest stable par produit:∀h, h∈H, hh∈H •Hest un groupe pour la loi deG

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Th´eor`eme(´ele´mentneutreetinversedansunsous-groupe)SoientGun groupe etHun sous-groupe deG. •Alors 1 H = 1 G i.e. 1 G ∈H •Soith∈Hde. L’inversehdansHet l’inverse dehdansGco¨ıncident.

D´emonstration •Comme 1 H est neutre dansH, 1 H 1 H = 1 H 1. Mais G est neutre dansGdonc 1 H 1 G = 1 H . Par cons´equent,1 H 1 H = 1 H 1 G / Nous pouvons simplifier cela carGest un groupe donc 1 H = 1 G . 0 00 •Soith∈H. Soienthethses inverses respectifs dansHetG. Ona alors: 0 000 000 000 00 00 h= 1 G h= (h h)h=h(hh) =h1 H =h1 G =h

The´ore`me(Caract´erisationdessous-groupes)SoientGun groupe etHune partie de G. Les ´equivalencessuivantessont´equivalentes: •Hest un sous-groupe deG⇐⇒ •1 G ∈H 0 −10 ∀h, h∈hH, h∈H •Heststableapprorudtiteapprsaas`ageinl’rsve.e

0 −10 D´emonstrationPour montrer que∀h, h∈H, hh∈H, il suffit de poserh, h∈Hon a vu que. Or −1 h∈Het puisqueHest stable par produit on peut conclure.

Exemples(Z,+) est un sous-groupe de (Q,meˆm-iulrg-suosede(oupe+)R,+) (U,×) est un groupe et l’ensembleU n en est un sous-groupe.

2.3Morphismesdegroupes Soient (G, ?) et (Γ,◦) deux groupes.

D´efinition •On appellemorphisme (de groupe) deGdansΓ toute applicationf:−→Γ telle que: ∀x, y∈G, f(x ? y) =f(x)◦f(y) •Un morphisme deGdansGprihmsdee´neodomestappeleG. 4

∗ ExempleL’exponentielle est un morphisme deRdansR.

The´or`emeSoientGet Γ deux groupes etf:G−→Γ un morphisme de groupes. •f(1 G ) = 1 Γ −1−1 • ∀x∈G, f(x) =f(x)

De´monstration •On a:f(1 G )f(1 G ) =f(1 G 1 G ) =f(1 G ) =f(1 G )1 Γ .Ensimplif iantdansΓ parf(1 G ) on a bien f(1 G ) = 1 Γ −1−1 •Soitx∈Ga. Onf(x)f(x) =f(x−1x) =f(1 G ) = 1 Γ meˆeemtdef(x)f(x) = 1 Γ .

The´or`eme(Compositiondesmorphismes)Sifetgsont deux morphismes de groupes respec- 0 000 00 tivement deGdansGet deGdansG, alorsg◦fest un morphisme deGdansG.

D´emonstrationSoientx, y∈G. Alorsg◦f(xy) =g(f(xy)) =g(f(x)f(y)) =g(f(x))g(f(y)) = (g◦f(x))(g◦f(y))

D´efinition(Noyauetdel’imaged’unmorphismedegroupes)SoientGet Γ deux groupes etf:G−→Γ un morphisme de groupes. −1 •On appellenoyau def,not´eKerfl’ensemble:Kerf=f({1 Γ }) ={x∈G/f(x) = 1 Γ }. Alors Kerfest un sous-groupe deG. •On rappelle l’image def,ont´eeImf=f(G) ={y∈Γ/∃x∈G/y=f(x)}

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