Cours, Chapitre de Mathématiques de niveau Première

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Trigonométrie
Cours, Chapitre en Mathématiques (2010) pour Première S

Sujets

Rappels utiles:On considère un cercle C de centre O et de rayon 1. On l'appelle le cercle........................................... Le périmètre de ce cercle est de ............ x On considère une droite graduée (d) tangente au cercle en A. Pour un réel de cette droite, on considère un point M du cercle que l'on obtiendrait par enroulement de la droite sur le cercle. On dit que M est l'image sur le x cercle du réel . Par convention, l'enroulement se fait dans le sens inverse des aiguilles d'une montre, appelé sens ................................................

Exemples:(compléter le cercle ci-contre) Le périmètre du cercle trigonométrique étant de ..., on peut écrire:  ● le point correspondant à est obtenu en parcourant 2 dans le sens trigonométrique, la moitié d'un demi-cercle à partir de I.  ● Le point correspondant à est obtenu en parcouru 3 dans le sens trigonométrique, le tiers d'un demi cercle à partir de I. − ● Le point correspondant à est obtenu en 4 parcourant dans le sens inverse le quart d'un demi-cercle en pa

I- Angles orientés: Définition 1:

On considère le point M image du réel x trigonométrique. On dit que est une OMOI ;  l'angle orienté .

Correspondances:(à compléter)

degrés radians

360° 180° 90° 60° 45

Remarque:Les mesures d'un angle en  est ... si désigne l'angle en degr  Angle (en °) 180°  Mesure x de l'angle orienté

Définition 2:

u v Deux vecteurs et non-nuls déterminent un a u; v . En considérant un cercle trigonométrique, xu ;v mesure de l'angle orienté .

Remarque:Si k et k' sont des réels strictement positi k u; k ' vu; v angles et sont identiques.

T.Pautrel - cours:

Propriété:

u ;v u;v Soit un angle orienté et x une mesure en radians de . L'ensemble des mesure de l'angle orienté u; vxk×2k∈ℤ est l'ensemble des réels avec(c'est-à-dire qu'un angle est mesuré à un certain nombre de tours du cercle près; l'entier k représente ce nombre de tours).

u;v−; L'angle orienté a une et une seule mesure dans l'intervalle ] ]. Cette mesure est appelée u ;v mesure principale de l'angle orienté .

 u ; v= Remarques:On assimilera souvent un angle orienté à ses mesures, ainsi on pourra écrire ou 2 5 u ;v= 2k k∈ℤu; v=[2π= ou encore]. On écrira jamais qui est une égalité fausse entre 222 2 5 ≡π]. 2 réels mais [2 2 2 x yu ;vy – xπ. Deux réels et soient des mesures du même angle orienté si et seulement si est un multiple entier de 2 y−x=k×2 k∈ℤy – x = 0πy = x[2π]. C'est-à-dire . On écrira [2 ] soit

Propriétés:

➢ ➢

➢

uu; u=0π]. Pour tout vecteur non nul, on a [2 v ;u=−u; v −u ;−v=u;v Pour tous vecteursuetvnon nuls, on a ; π]ku ; k ' vu ; v [2 et si k et k' sont 2 réels strictement positifs, = u;vwv ; =u; w Pour tous vecteursu, vetw, on a .

Conséquences:

uv Soient et deux vecteurs non nuls: ●u ; v=0π]uv [2 si et seulement si et ●u;v=π]uv [2 Si et seulement si et ●u;v=0π]u; v=0k× [avec, soit

;

sont colinéaires et de même sens. sont colinéaires et de sens contraires. k∈ℤ .

u;−v=u;v

Exercice: Soit ABC un triangle.   π 1) Montrer queCA ; CBAB ; AC BC ; BA =[2 ] − AB ; AC=π 2) Supposons que le triangle ABC est équilatéral et que [2 ]. Montrer qu'il n'est pas possible 3 − BC ; BA=πBC ; BA=π  d'avoir [2 ]. En déduire que [2 ], de même pourCA ; CB. 33 3) Soit A', B' et C' les milieux respectifs de [BC], [AC], [AB].     DéterminerAC ; AB,,' ; CB ' BA ; BA ' , CA A' C ; C ' A,BA ; C ' B ' 

T.Pautrel - cours: trigonométrie - niveau 1ère S

II- Trigonométrie: Définition 1:

  i ; j=  On dit qu'un repère orthonormaljO , i , est direct lorsque [2 2 Dans le plan rapporté à un repère orthonormal direct, si M est le point du cercle x trigonométrique image du réel , ➢x cos(x)cos L'abscisse de M est appeléecosinus deet est notée (ou aussi ➢sin(x) L'ordonnée de M est appeléesinus de x(ou égalemenet est notée sin x )

Propriétés:

Pour tout réel x, on a: ➢−1cosx1 ➢−1sinx1 ➢cos² xsin² x=1

Applications: 1 = xπ π.cosxsinx est un réel compris entre.. Calculer On donne et 2 3   xest un réel tel que0xetsinx=3. Calculercosx. .........................................................................................................................................................................................................

Valeurs remarquables des fonctions sinus et cosinus: (à connaître)

sinx

cosx

 6 1 2 3 2

 4 2 2 2 2

 3 3 2 1 2

 2 1

-1

T.Pautrel - cours: trigonométrie - niveau 1ère S

3 2 -1

π 2

a) La fonction cosinus:

On appelle lafonction cosinusla fonction définie sur IR par:f(x) = cos(x)pour tout réel x. cos (x +2π cos(x) Pour tout réel x, on a ) = On dit que la fonction cosinus est une fonction périodique de période 2π.

Démonstration: Le périmètre du cercle trigonométrique est de ... Soit un réel x. Si l'on parcourt 2π en partant du point M d'image x, on « retomb des réels x et x + 2π sont confondus sur le cercle trigonométrique. Leurs coordonnées sont donc égales: d'où cos(x+2π) = cos(x)

cos(-x) = cos(x). La fonction cosinus estpaired'où:

Démonstration: Soit un réel a. Les points sur le cercle correspondant au réels a et -a sont symétriques par rapport à l'axe des abscisses. Leurs abscisses sont donc égales et leurs ordonnées opposées. Donc cos(-a) = cos(a) et sin(-a) = -sin(a). (résultat démontré le b))

cosab=cosacosb−sinasinb cosa−b=cosacosbsinasinb

Application 1:Trouver des valeurs exactes de cosinus et de sinus.     cos  = − Donner la valeur exacte de (Remarque: ) 12 12 3 4 .........................................................................................................................................................................................................

T.Pautrel - cours: trigonométrie - niveau 1ère S

Application 2:de cosinus les valeurs suivantes:Exprimer en fonction   cosx− cos −x et . 3 4 ......................................................................................................................................................................................................... Formules de duplication:

cos(2a) = cos²(a) – sin²(a) , soit 2cos²(a) – 1 ou encore 1 – sin²(a)

Démonstration: On a, pour 2 réels a et b,cos(a + b) = cos(a)cos(b) – sin(a)sin(b). Si on applique cette formule poura = b, on a alors: cos(a + a) = cos(a)cos(a) – sin(a)sin(a), soitcos(2a) = cos²(a) – sin²(a). Orcos²(a) + sin²(a) = 1, d'oùcos(2a) = (1 – sin²(a)) – sin²(a), soit1 – 2sin²(a). Mais aussicos(2a) = cos²(a) – (1 – cos²(a)), soit2cos²(a) – 1. En appliquant la formule d'addition du sinus avec toujours a = b et en suivant la même démarche, on retrouve bien la propriété.

Application 1:Exprimer en fonction de cos(x).   cos2x cos −2xcos −2x ; ; 63 4

;

 cos2x  4

Application 2: 1) Déterminer cos(3x) en fonction de cos(x). 1 3  = −fx= 2) Soit f la fonction définie sur IR parf x4x3x. Démontrer que l'équation a 3 solutions dans IR. 2  cos  3) En déduire une valeur approchée de . 9 .........................................................................................................................................................................................................

Propriétés:

P1(admise):

cosx−1 lim=0 x x0

P2: La fonction cosinus est dérivable sur IR et sa dérivée est

−sinx .

Démonstration: Pour la fonction cosinus: cosxh−cosx 0cosxcosh−sinxsinh−cosxcosx−1 sin  0 0 0 0 0h = =cosx× −sinx0×. 0 h h h h cosxh−cosx 0 0 lim=−sinx 0 On utilisant les limites admises, on ah. Donc la fonction cosinus est dérivable sur IR x0 −sinx et sa dérivée est .

Application:Calculer la dérivée de la fonction suivante. fx=cos²x . ......................................................................................................................................................................................................... π π] Tableau de variations;: sur l'intervalle [- 0 π - π x x0 + - sin -1 x cos

-1

T.Pautrel - cours: trigonométrie - niveau 1ère S

Représentation graphique de la fonction cosinus:

cosxk×2=cos−xk×2 On a bien cosx=0 L'ensemble des solutions de l'équation   { k×2;− k×2}k est , pour entier 2 2 relatif.

Ci-contre la courbe représentative de la fonction cosinus. On a bien affaire à une fonction paire car la fonction cosinus est symétrie par rapport à l'axe des ordonnées. On remarque également la période T de 2π.  La tangente au point d'abscisse a pour coefficient 2 directeur ...

Application:Résoudre une équation. 12 cosx== Résoudre les équations ,cosx. 22 .........................................................................................................................................................................................................

b) La fonction sinus: Définition: On appelle lafonction sinusla fonction définie sur IR par:f(x) = sin(x)pour tout réel x. Pour tout réel x,

La fonction sin

Propriétés:(voir  sinx = 2  sin −x= 2 sinx= sin−x=s

Compléter le cer illustrer les prop

Formules d'addit sinab=si sina−b=si

Formule de dup

Application 1:Ex  sinx  , 4

Application 2:des galit D montrer s. Démontrer les égalités suivantes, pour tous réels a et b: sinabsina−b=2sinacosb [sinabsina−b]²[cosabcosa−b]²=4cos²b sin²abcos²a−b=1sin2asin2b . ..............................................................................................................................................................................................

T.Pautrel - cours: trigonométrie - niveau 1ère S

Propriétés:

P1(admise):

sinx lim=1 x x0

P2: La fonction sinus est dérivable sur IR et sa dérivée estcosx.

Démonstration: sinxcosx−1 lim=1 lim=0 x On admet quexetx. Pour tout réel0on peut écrire: x0x0 sin h−sinxsinx x00 0 coshcosxsinh−sinxcosh−1 sinh 0 0 sinx× cosx× ==0 0. h hh h sinxh−sinx 0 0 lim=cosx 0 En utilisant les limites admises, on a donch. Donc la fonction sinus est dérivable en x0 xcosx 0et sa dérivée est0. Cette démonstration est vraie pour tout réelx, on en déduit que la fonction sinus est dérivable sur IR est que sa dérivée est cos(x).

Application:Calculer la dérivée de chacune des fonctions suivantes.  fx=sin3xhx=−3 sinx  , . 3 ......................................................................................................................................................................................................... Tableau de variations:sur l'intervalle [-π;π].

x - π cos x +

sin x

Fonction sinus -π/2 π/2

0 +

0 -1 Représentation graphique de la fonction sinus:

Sur[-π;π], la fonction sinus est une fonction impaire (symétrie par rapport à l'origine O du repère) et périodique.

On a:sin 0 = 0.

La tangente au point d'abscisse 0 a pour coefficient directeur ...

sin =sinx L'équation avec k entier relatif.

k×2 −k×2 a pour solutions et