Devoir Surveillé (DS) de Mathématiques de niveau Première

Kdouh

Description

Avec correction. Complexes loi binomiale
Devoir Surveillé (DS) en Mathématiques (2013) pour Première STLCH

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Extrait

DS N°6MATHEMATIQUES TERMSTIL 20122013 Exercice 1 ip/ 6%2ip/ 3 z1 %#i  Onconsidère, les nombres complexes z14e ; z14e et , C . 2 2 A B  Leplan complexe est muni d’un repère orthonormé.Les parties I et II sont indépendantes Partie I : Q. C.M.  Pour chacune des questions, une seule des réponses A, B, C ou D est exacte. Indiquer sur la copie le  numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie. On ne demande aucune justification NOTATION:chaque réponse juste rapporte0,5point ; une réponse fausse enlève0,25point. Une absence de réponse ne rapporte ni n’enlève de point. Si le total des points est négatif, il est ramené à0. 1 1.Le nombre complexe Z zz est : 1A B  RéponseA :un nombre réel positifRéponse B :un nombre réel négatif  RéponseC :un nombre imaginaire purRéponse D :l’affixe d’un point du plan complexe  prishors des axes 6 2.Le nombre complexe Z1z est : 2A  RéponseA :un nombre réel positifRéponse B :un nombre réel négatif  RéponseC :un nombre imaginaire purRéponse D :l’affixe d’un point du plan complexe  prishors des axes z 3.Le nombre complexe conjugué de A est : ip/ 6i7p/ 6  RéponseA : % Réponse B : 4e4e 1 %ip/ 6 %ip/ 6  RéponseC :Réponse D : e 4e 4 z 4.Le nombre complexe C peut se mettre sous la forme : %ip/ 43ip/ 4  RéponseA : 2 2e Réponse B : 2 2e 5ip/ 4 3ip/ 4 Réponse D :  RéponseC : 2 2e 4e Partie II z zz  Onconsidère les points A, B et C d’affixes respectives A , B et C . 1.SoitMun point du plan d’affixez. z%z  a.Interpréter géométriquement | A |. z%z z%z  b.Quel est l’ensemble des pointsMdu plan dont l’affixezvérifie l’égalité : | A | = | B |.  c.Vérifier que le point C appartient à l’ensemble D 2.Démontrer que le triangle ABC est rectangle en C. 3.Déduire des questions 1. et 2. la nature du triangle ABC. Exercice 2  Laplan est muni d'un repère orthonormé direct (O;u,v) l'unité graphique 1 cm.  Ondésigne par i le nombre complexe de module 1 et l'argument p/ 2 . 1.On considère les points A, B et C d'affixes respectives : z1 %3 3#3i ; z1 %3 3%3i  et z1 %6 3 A B C z  a.Déterminer le module et un argument de chacun des nombres complexes A et z B . iq z  b.Ecrire le nombre complexe A sous la formeoù r est un nombre réel strictement positif re %p p  et q et .un nombre réel compris entre  c.Placer les points A, B, C dans le plan muni du repère (O;u,v) uuur uuuruuur z1z%z z1z%z z1z%z 2. Calculer B A ; C A et C B  puis calculer AB ; AC et BC AB ACBC 3. a.Déterminer la nature du triangle ABC.  b.En déduire que le quadrilatère OACB est un losange. 1 ´ 4. On appelle K le point du plan complexe tel que z K i z A  a.Donner la forme algébrique , puis la forme exponentiellede z K

 b.Démontrer que le triangle OAK soit rectangle et isocèle en O.  c.Construire le point K sur la figure. Exercice 3 p  Onnote i le nombre complexe de module 1 et dont l’argument est. 2 z1 #i3 z1  Onconsidère les points A ,B et C d’affixes respectives : A 3 ;z1z A ; C 2 . B z zz 1. Déterminer le module et un argument de chacun des nombres A ; B et C .

z 2. Ecrire les nombres complexes A et z B sous forme exponentielle .

3. Placer les points A,B et C sur une figure .

4. Déterminer l’affixe du point A du point A par rapport au point C.' symétrique

5. Montrer que les points A,B,A' et O appartiennent à un même cercle de centre C .  Onprécisera le rayon de ce cercle .

6. Dans cette question toute trace de recherche , même incomplète , ou d’initiative même infrectueuse  Seraprise en compte dans l’évaluation .  Montrerque la droite (AC) est une médiane du triangle OAB.

Exercice 1 Partie I ip/ 6 %2ip/ 3 z1 %2#2i On considère, les nombres complexes z14e ; z14e et , C . A B 1.Le nombre complexe Z 1 z ´ z est : 1A B i p / 6 % 2i p / 3i p / 6 % 2i p / 33 % i p / 6i %p / 2 1 ´1 11 1% . Do z1 %16i est un imaginaire pur. z4e4e16e16e16e16i nc 1 A Réponse A :un nombre réel positifRéponse B :un nombre réel négatif Réponse C : un nombre imaginaire purRéponse D :l’affixe d’un point du plan complexe  prishors des axes 6 6 6 6 i p / 6i p 2.Le nombre complexe Z 1 z est : Z 1 ( z ! 1 4e 1 ( 4 ! e 1 % 4 . qui est un réel négatif. 2A 2A ( ! Réponse A :un nombre réel positifRéponse B : un nombre réel négatif Réponse C :un nombre imaginaire purRéponse D :l’affixe d’un point du plan complexe  prishors des axes ip/ 6%ip/ 6 3.Le nombre complexe conjugué de z est : A z14e14e A i p / 6 i7p/ 6 Réponse A :Réponse B : % 4e 4e 1 %p/ 6 i % iπ /6 Réponse C :Réponse D : e 4e 4 4.Le nombre complexe z peut se mettre sous la forme : C æ ö %2 2 3ip/ 4 z1 %2#2i12 2#i12 2 ( cos ( 3p/ 4 ! #isin ( 3p/ 4 ! ! 12 2e C ç ¸ 2 2 è ø % i p / 4 3iπ/4 Réponse A :Réponse B : 2 2e 2 2e 5i p / 4 3ip/ 4 Réponse C :Réponse D : 2 2e 4e Partie II uuuur uuuur n point d’affixe.;est l’affixe du vecteur z 1 z % z 1 AM 1.a. Soit M u z z 1 z % z M A AM M A AM AM z % z  L e module M A est égal à la longueur AM. De même, z M %z B est égal à la longueur BM  b. z % z 1 z % z Û AM 1 BM Û M appartient à la médiatrice du segment [AB] . M AM B  l'ensembleD cherchéest l'ensemble des points équidistants de A et de B, c'est doncla médiatrice du  segment[AB]. æ ö æ ö æ p ö æ p ö 3 1 ip/ 6 c. z14e14 cos#isin14#i12 3#2i A ç ¸ç ¸ ç ¸ ç ¸ 6 62 2 è øè ø è ø è ø æ ö æ æö æ 2p ö æ 2p ö æ 2p ö æ 2p ö 1 3 %2ip/ 3 z14e14 cos% #isin% 14 cosi%sin14% %i12%2%3i B ç ¸ç ¸ç ¸ç ¸ ç ¸ç ¸ ç ¸ 3 33 32 2 è øè øè øè ø è øè ø è ø AC 1 z % z 1 % 2 # 2i % 2 32 % i 1 2 % 2 % 3 2 1 2 # 3 . C A BC 1 z % z 1 % 2 # 2i # 2 # 2 3i 1 2i # 2 3i 1 2 # 2 3 , donc AC 1 BC .et par conséquent , le point C C B  appartientà l’ensemble D. 3. AB1z%z1 %2%2 3i2%3 2i% 1 ( 2%2#3 ! ( 2%2#3 ! i B C 2 22 D'une part AB 1 ( 2 # 2 3 ! # ( 2 # 2 3 ! 1 2 ( 2 # 2 3 ! 1 ( 2 # 2 3 ! 2 2 22 2 2 2 2 2 D'autre part AC#BC12#2 3#2#2 312 2#2 31AB ,donc AC#BC1AB  . ( !( !( ! Donc, d'après la réciproque du théorème de Pythagore,le triangle ABC est rectangle en C. 4.Le point C appartient à la médiatrice de [AB] donc AB = AC donc le triangle ABC est isocèle en C.  Deplus, il est rectangle en C.Donc le triangle ABC est rectangle isocèle en C

 Voiciun graphique permettant d'illustrer l'exercice (cette figure n'était pas demandée). y

C

3

2

A

1 | v o | u x -4 -3 -2 -1 01 2 3 4

-1

-2

-3 B -4 Exercice 2 1. a)Calcul du module et d'un argument de z1 %3 3#3i : A 2 ² 279 366 qzq z A 1a²#b²1 ( %3 3 ! #31 11 # . Soit A un argument de A ; A est tel que : ì a%3 3%3 cosq1 11 ï A z6 25p ï A 1z1 # í donc : q A arg A 2kp ,où k est un entier relatif. b3 1 6 ï sinq1 11 A ï z6 2 A î e z33 3i z z1z16  Calculdu module et d'un argument d B 1 %% : B 1z A , donc B A 5p et q1argz1 %argz#1 %2kp B AA 6 æ5p5p æ öæö 5pi/ 6 z16 cos#isin16e 2. b) On en déduit la forme exponentielle de z1 %3 3#3i : A ç ¸¸ç ç ¸ A 6 6 è è øè ø ø 2. c) Pour placer les points A et B avec précision, étant donné que OA = OB = 6, on peut les placer sur  lecercle de centre O et de rayon 6, en utilisant leurs ordonnées qui sont entières. 3. a) Calcul des longueurs AC et BC :on calcule d’abord l’affixe du chacun des vecteurset AC , AB uuur  eneffet : z1z%z1 %6 3 ( %3%3 3i# ! 13%3 3i et C A AC 2 AC11 ( %3 3 ! # ( %3 ! ²127#913616cm uuur z1z%z1 %3%3i%3%3i#i1 et AB136 6cm  demême AB BA 3 ( 3 ! 6 1 . 2 uuur z1z%z1 %6 3 ( %3%3 3i% ! 31 %3 3i BC CB et BC#11 %²136 627 9cm ( 3 3 ! 3# 11  Ona AC = AC donc le triangle ABC est isocèle en A.  Deplus : AB = AC = BC donc le triangle ABC est équilatéral. 3. b.a AC = BC = OA = OB (= 6) donc OACD est un quadrilatère qui a ses quatre côtés de mêmeOn  longueur,c'est donc un losange. 1 %# 1%3%3 4. a) Voir figure : Comme z1iz , z K i ( 3 33i ! 3i K A

ì a%3%1 cosq1 11 K ï z6 2 2 2 ï 4p A ( ! z k OK1 %3# ( %3 3 ! 19#2713616cm ; í q K 1arg K 1 #2p b%3 3%3 3 ï sinq11 1 K ï z6 2 î A 4pi/ 3  et 6 on a do i zz iz1 66OK .OA z K 1e  nc K 1 A 1 A 1 ´1 1 ,donc OA1OK16cm K est  doncun triangle isocèleen O, de plusK appartient au cercle de centre O et de rayon OA. uuur  CalculonsAK : z1z%z1 %3%3 3i ( %3%3 3i# ! ( 313 3 ! % ( 3%3 3 ! i K A AK 2 2 AK11 ( 3 3%3 ! # ( 3 3#3 ! 127#9%18 3#27#9#18 317216 2cm . 2 2 2 22 2 2 2 On constate que OA#OK16#6136#361 72 et AK1 ( 6 2 ! 1 72 , donc on a : OA # OK 1 AK , y 5 4 A 3 2 1 C O x -11 -10-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 01 2 3 4 5 6 -1 -2 -3 B -4 -5 K -6 Exercice 3 2 2 22 1. z13#i3 , z doncest de la forme A A z A 1a#bi z1a#b13# ( 3 ! 19#311212 3 A z A et z1z A sont deux nombres complexes conjugués , donc ils ont même module et on a : z12 3 B B ì a ì 3 3 cosq1 A cosq1 1 ï ï A z ï A ï 2 3 2 z12q1argz z12 C . Soit A A . q A est défi C pardonc ni í , donc í . b 3 1 ï ï sinq1 A sinq1 1 A ï z ï A 2 î î 2 3 p  Par conséquent q1argz1 #2kpoù kÎZ . Comme z1z , on déduit que A A B A 6 p z q1argz1argz1 %argz#1 %2kpoù kÎZ . C 1 un nombre réel positif ,donc 2 est B B A A 6 q1argz10#2kpoù kÎZ . C C é p æ ù æp ö æ pöö ip/ 6 2. z12 3;12 3 cos#isin12 3e A ¸ 縸ç ç ê ú 6 ë ûè è 6 ø è 6 øø pæp pö é ùæ öæ ö %ip/ 6 e z B 12 3;% 12 3 cos% #isin% 1 . 2 3 ç ç¸ ç¸¸ ê ú ë 6 û èè 6 ø è 6 ø ø 3. Voir graphique . uuur uuur z1z 4. Le point A’ est le symétrique du point A par rapport au point C signifie que : AC CA'

 Donc z%z1z%zÛz12z%z212´3%i%3 413%i3%1i13 . C A A'C A'C A uuur 1z1 AC1z1z%z . Or % 13#3%211#3 , donc 5. OC C 2 ; AC CA z C z A i i 2 uuur uuur 2 z1z AC11# ( 3 ! 1412 , et comme, on a : AC 1 AC' 1 2 AC CA' 2 uuur2 BC1z1z C %z B .Or z%z12%3#i31 %1i#3 . BC CB . BC1 ( %1 ! # ( 3 ! 11#31412  On conclut que : OC1AC1BC1CA'12 et par conséquent les point O,A,AB et' appartiennent  a un même cercle de centre de centre C et de rayon 2. 6. De la question précédente , on déduit que le point C est équidistant des points O , A et B , donc  Cest le point d’intersection des médiatrices du triangle OAB.  Ilnous reste à montrer que le triangle OAB est un triangle ( isocèle en A ou équilatéral ).  Onsait que OA1z1 ; 2 3OB1z12 3 ; il nous reste à calculer AB A B uuur 2 3 z1z B %z A 13%i3%3i%31 %i , donc AB1 %2 3i1 , on déduit donc que le triangle 2 3 AB  ABCest un triangle équilatéral .or dans un triangle équilatéral les droites remarquables ( médianes,  médiatrices,hauteurs et bissectricessont confondues). Par conséquent la droite (AA') est une médiane  dutrian leOAB. y

3

2

1

A

O CJ -3 -2 -1 01 2 3 4 5 6 x

-1

-2

-3

A'

B