Devoir Surveillé (DS) de Mathématiques de niveau Première

Claire

Description

Avec correction. Ds du 21-02-2011
Devoir Surveillé (DS) en Mathématiques (2011) pour Première S

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Extrait

Lundi 21 Février 2011. Mathématiques. 1S1 et 1S2. 3 h. Calculatrice autorisée. EXERCICE 1. 6 points. f est la fonction définie sur IRpar f(x) = sin x (1 + cos x). | | C f est la représentation graphique de la fonction f dans un repère orthogonal (O ; i , j ). 1. a.Montrer que f est périodique de période 2p.  b.f est%elle paire ou impaire ?  c.Expliquer pourquoi on peut restreindre l’étude de f à l’intervalle [0 ;p]. 2.par f’(x) = 2 cos²x + cos xMontrer que la fonction dérivée f’ de f est définie sur IR%1. 3.Etude du signe de f’(x) sur [0 ;p] : a.Factoriser le polynôme 2X² + X%1 b.En déduire une factorisation de f’(x). c.Déterminer les valeurs qui annulent f’(x) sur [0 ;p]. d.Etudier le signe de f’(x) sur [0 ;p]. e.Dresser le tableau de variation de f sur [0 ;p]. | 4.Déterminer, sur l’intervalle [0 ;p], les abscisses des points d’intersection de C f  avec l’axe (O ;i ). 5.a.Quelle est l’équation de la tangente (T) à C f  au point A(p; 0) ?  c.Quelle est l’équation de la tangente (T’) à C f  au point O ? 6.Construire C f  sur [%2p; 2p]. (ne pas oublier de construire les tangentes remarquables). EXERCICE 2. 7 points  OAB est un triangle isocèle tel que OA = OB = 1et AOB = 2a(radians). H est le pied de la hauteur issue de O et K celui de la hauteur issue de A. 1.CalculerAH en fonction dea. En déduire AB (en fonction dea). 2.CalculerAK (en fonction dea) a.En utilisant le triangle OAK.  b.B OEn utilisant le triangle AKB, après avoir calculé Aen fonction dea. c.En déduire l 'expression de sin (2a) en fonction de sinaet cosa. 3.Calculer, (en fonction dea) a.OK. b.KB en utilisant le triangle AKB. c.En déduire l'expression de cos (2a) en fonction de sina. d.En déduire l’expression de cos (2a) en fonction de cosa. 4.Vérifier les formules obtenues avec2a=p/3. suite au dos …..

EXERCICE 3. 3 points Connaissances requises : (à recopier et compléter …) cos(p/6) = …cos(pcos(/3) = …p/4) = …     sin(p/6) = …  sin(p/3) = …  sin(p/4) = …     sina = sin bÛ…  cosa = cos bÛ…  sin²a+ cos²a = … on donne : sin (2x) = 2 sin x cos x 1 +3 On se propose de résoudre, dans [0 ;pde deux manières.], l’équation (E) : cos x + sin x = 2 1.(E) admet deux solutions « remarquables ». Les trouver en justifiant. 3 2.Montrer que sur [0 ;p], (E) est équivalente à [cos x + sin x]² = 1 +. 2 En déduire les solutions de (E) sur [0 ;p]. EXERCICE 4. 4 points Questions de cours. | u est un vecteur non nul de coordonnées cartésiennes (a ; b) et de coordonnées polaires r eta 1. Donner les relations liant a, b, r eta. | | 2. v est le vecteur directement orthogonal à u . |  a.Donner la définition de v.  b.En déduire ses coordonnées polaires en fonction de r eta.  c.En déduire ses coordonnées cartésiennes en fonction de a et b. EXERCICE bonus. Lieu de points. Dans un repère orthonormé positif : 1 Déterminer l’ensemble des points de coordonnées polaires (;a) pouraÎ[0 ;p/2] cos(a) + sin(a)

Exercice 1. f est la fonction définie sur IR par f(x) = sin x (1 + cos x). 1. a. Montrer que f est périodique de période 2p. Il faut pour cela que : pour tout x deD f , x + 2pÎD f et f(x + 2p) = f(x) "xÎ IR , x + 2pÎ IR et f(x + 2p) = sin(x + 2p) (1 + cos(x + 2p)) = sin x (1 + cos x) car les fonctions sinus et cosinus sont 2p%périodiques. Donc f est 2p%périodique. b. f est%elle paire ou impaire ? Il faut pour cela que : pour tout x deD f , − xÎD f et f(− x) = f(x) (paire) ou f(−x) = − f(x) (impaire) "xÎ IR ,%xÎ IR  et f(%x) = sin(%x)(1 + cos(%x)) =%sinx (1 + cos x) =%f(x)  Doncf est impaire. c. Justifier que l’on peut restreindre l’étude de f à l’intervalle [0 ;p]. f étant périodique il suffit de l’étudier sur un intervalle d’amplitude 2p parexemple [%p;p], le reste de la courbe | s’obtiendra par translations de vecteurs k´2p iavec k entier relatif f étant impaire, C f sur [0 ;est symétrique par rapport à l’origine O il suffit donc d’étudier fp], la symétrie par rapport à O nous donnera C f sur [%p;p] 2. Montrer que la fonction dérivée f’ de f est définie par f’(x) = 2 cos²x + cos x%1. sin x et cos x sont dérivables sur IR  donc f, produit des fonctions x|sinx et x|1 + cos x est dérivable sur IR f’(x) = [sin x]’[1 + cos x] + [sin x][1 + cos x]’ = cos x(1 + cos x) + sin x(%sin x) = cos x + cos²x%sin²x or sin²x = 1%f’(x) = cos x + cos²xcos²x donc%(1%cos²x) = 2 cos²x + cos x%1 3. Etude du signe de f’(x) sur [0 ;p] : a. Factoriser le polynôme 2X² + X%1 Ce trinôme a pour racine évidente%1, l’autre racine étant X’, on a%1´X’ =%½ donc X’ = 1/2 d’où 2X²+ X%1 = 2(X + 1)(X%½) b. En déduire une factorisation de f’(x). f’(x) = 2X² + X%1 = 2(X + 1)(X%½) avec X = cos x donc f’(x) = 2(cos x + 1)(cos x%½) c. Déterminer les valeurs qui annulent f’(x) sur [0 ;p]. x 0 /3 p f’(x) = 0 Û cos x + 1 = 0 ou cos x%½ = 0 Û cos x =%1 ou cos x = ½ f ’(x)+ 0 %  0 dans [0 ;p]: cosx =%1 quand x =p 3 3/4  cosx = ½ quand x =p (x)/3 f   0 0 d. Etudier le signe de f’(x) sur [0 ;p]. dans [0 ;p]x + 1: cos³0 car cos x³%1 donc f’(x) a le signe de cos x%½  pour0£x£p/3, cos x³½ donc cos x%½³0 donc f’(x)³0  pourp/3£x£p, cos x£½ donc cos x%½£0 donc f’(x)£0 e. Dresser le tableau de variation de f sur [0 ;p]. | | 4. Déterminer, sur l’intervalle [0 ;p], les abscisses des points d’intersection de C f i ). avec l’axe (O ; | Les abscisses des points d’intersection de C f  avec l’axe (O ;i ) sont les solutions de l’équation f(x) = 0 f(x) = 0 Û sin x = 0 ou cos x =%1 or, dans [0 ;p], sin x = 0 quand x = 0 ou x =pet cos x =%1 quand x =p | donc C f i ) aux points d’abscisses 0 etcoupe l’axe (O ;p. OU : les valeurs qui annulent f(x) dans [0 ;p] sont données dans le tableau de variation. 5. a. Quelle est l’équation de la tangente (T) à C f  au point A(p; 0) ? On a vu que f’(p) = 0 donc la tangente à C f au point A(p; 0) est l’axe des abscisses. b. Quelle est l’équation de la tangente (T’) à C f  au point O ?  Latangente (T’) à C f au point O (0 ;0) a pour équation : y = f’(0)(x%0) + f(0) or f(0) = 0 et f’(0) = 2(cos 0 + 1)(cos 0%½) = 2donc (T’) a pour équation y = 2x

6. Construire C f  sur%2p; 2p

y

1

p p pp p pp pp pp pp p pp pp pp p pp p 2 -11 /6 -5 /3 -3 /2 -4 /3 -7 /6- -5/ 6-2 /3 -/ 2- /3- /60 /6 /3 /22 /35 /67 /64 /33 /25 /311 /62 x

-1

EXERCICE 2.  OAB est un triangle isocèle tel que OA = OB = 1et AOB= 2a. H est le pied de la hauteur issue de O et K celui de la hauteur issue de A.   la hauteur (OH) est aussi médiane et bissectrice, donc H est le milieu de [AB] et A O H = B O H =a 1. Calculer AH en fonction dea. En déduire AB (en fonction dea). Dans AOH rectangle en H, AH = AO sinadonc AH = sina. O De plus AB = 2AH donc AB = 2 sina 2. Calculer AK (en fonction dea) a. En utilisant le triangle OAK.  dansOAK rectangle en K, AK = OA sin 2adonc AK = sin 2a K  b. En utilisant le triangle AKB, après avoir calculé AB Oen fonction dea. ˆ ˆ  dansAKB: ABO = BAO = ½ (p- 2a) =p/2 –a ˆ et AK = AB sin ABO = AB sin(p/2%a) = AB cosa A or AB = 2sinadonc AK = 2sinacosa H c. En déduire l 'expression de sin 2aen fonction de sinaet cosa.  AK= sin 2aet AK = 2sinacosadonc sin2a= 2sinacosa 3. Calculer, (en fonction dea) a. OK.dans OAK rectangle en K, OK =OA cos2a, donc OK = cos2a b. KB en utilisant le triangle AKB. ˆ dans AKB rectangle en K, KB = AB cos ABO = (2sina) cos(p/2%a) = (2sina)(sina) = 2sin²a. Donc KB = 2sin²a c. En déduire l'expression de cos 2aen fonction de sina.  KÎ[OB] donc OK + KB = OB c’est à dire cos2a+ 2sin²a= 1. Donc cos2a= 1 – 2sin²a d. En déduire l’expression de cos 2aen fonction de cosa.  cos2 a = 1%2sin² a et on sait que sin² a + cos² a = 1 c’est à dire sin² a = 1%cos² a  onen déduit que cos2 a = 2 cos² a %1. 4. Vérifier les formules obtenues avec 2a=p/3.  2a=p/3 donca=p/6 sin2a= 2sinacosaÛsinp/3 = 2sinp/6 cosp/6 Û3 /2)/2 = 2(1/2)( 3 ÛDonc sin2/2 =3 /2 ce qui est vrai. 3a= 2sinacosaest vérifié pour 2a=p/3 cos2a= 1 – sin²aÛcosp/3 = 1 – 2sin²p/6 Û½ = 1 – 2(1/2)² Û½ = ½ ce qui est vraidonc cos2a= 1 – 2sin²aest vérifié pour 2a=p/3

B

EXERCICE 3.   cos(p/6) =3/2  cos(p/3) = 1/2 cos(p2/2/4) =    Connaissances requises :  sin(p/6) = 1/2  sin(p/3) =3/2  sin(p2/2/4) =  sina = sin bÛa = b + 2kpou a =p− b + 2kp= cos b cosaÛa = b + 2kpou a = − b + 2kp  sin²a+ sin²b = 1sin 2x =2 sinx cosx 1 +3 On se propose de résoudre, dans [0 ;pde plusieurs manières.], l’équation (E) : cos x + sin x = 2 1. (E) admet deux solutions « remarquables ». Les trouver en justifiant.   cos(p 3/2 cos( /6) = p 31 +1 3 /3) = 1/2   et et+ =… donc, dans [0 ;p],p/6 etp/3 sont solutions de (E)  sin(p/6) = 1/2  sin(p/3) = 3/2 22 2 3 2. Montrer que sur [0 ;p.], (E) est équivalente à [cos x + sin x]² = 1 + 2 1 +3 1+ 3 cos x + sin x =Û)²[cosx + sinx]² = (car les deux membres de l’égalité sont positifs 2 2 1 + 23 + 33 Ûdonc l’équivalence est démontrée.= 1 +[cosx + sinx]² = 4 2 En déduire les solutions de (E) sur [0 ;p]. 3 3 or [cosx+ sinx]² =1 +Ûcos²x + sin²x + 2 sinx cosx = 1 + 2 2 3 Û1 + sin2x = 1 + 2 3 Ûsin2x == sin(p/3) 2 Û2x =p/3 + 2kp ou 2x =p−p/3 + 2kpÛx =p/6 + kp ou x =p/3 + kp  Dans[0 ;p], les solutions sontp/6 etp/3 EXERCICE 4. 4 points Questions de cours. | u est un vecteur non nul de coordonnées cartésiennes (a ; b) et de coordonnées polaires r eta 1. Donner les relations liant a, b, r eta.  a = r cosa  on sait queet r =a² + b²  b = r sina | | | | 2. v est le vecteur directement orthogonal à u . | | a. Donner la définition de v. | || ||  vest le vecteur tel que ||u|| = ||v|| et (u , v) =p/2 + 2kpavec kÎZ b. En déduire ses coordonnées polaires en fonction de r eta. |  lescoordonnées polaires de v sont donc r eta+p/2 c. En déduire ses coordonnées cartésiennes en fonction de a et b. |  a' = r cos(a+p/2)  soit a’ et b’ les coordonnées cartésiennes de v :  b' = r sin(a+p/2)  a' = - r sina  a' = -b  b' = r cosa  b' = a   or cos(a+p/2) = − sinaet sin(a+p/2) = cosadonc d’où EXERCICE bonus. Lieu de points. 1 Déterminer l’ensemble des points de coordonnées polaires (; a) pouraÎ[0 ; p /2] cos( a) + sin(a) 1 M ayant pour coordonnées polaireset a cos( a) + sin(a) cos( a) sin( a) ses coordonnées cartésiennes sont x M =  et y M = cos( a) + sin(a) cos( a) + sin(a) cos( a) + sin(a) On a x M + y M 1 donc M est sur la droite d’équation x + y = 1= = cos( a) + sin(a) quand a = 0, on obtient le point A (1 ; 0) quand a =p/2, on obtient le point B (0 ; 1) 0£ a £p/2 donc M est dans le « premier quadrant » du repère donc l’ensemble cherché est le segment [AB].