Devoir Surveillé (DS) de Mathématiques de niveau Terminale

Yestyse

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Ds 1 4sc exp
Devoir Surveillé (DS) en Mathématiques (2013) pour Terminale S

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• Langue: Français

Extrait

l-s-Boulbaba  Mrs:Guiza –Chaouch-Ftirich  Devoirs nthèsen°1  2H A sc2012-20134sc1-2-3 Exercice n°1(3pts) Pour chaque question, une seule des trois propositions est exacte.Indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée. z²−cosθ+isinθz+icosθsinθ=0 1) L’équation ( ) a pour racines : θ θ θ θ θ θ a) coset i.sinb) 1et i .cos.sin c)-1et i.cos.sin . ∀n∈on au>2+u 2) soit(u n ) une suite vérifiant :  n+1n alors l= +∞ a) (u n ) est décroissanteb) (u n c)) est majorée imu n n→+∞ 3) Soientf etgdeux fonctions définies et dérivables sur IR telle que f ‘(-2) = -3 et g(x) = f(-x²) Alors : a) 2 2 22 2 g'( )=-3 b)g'( )=-6 c)g'() = 6   o,u,v 4) Dansle repèreorthonormé direct ( ) l’affixe z B du point B est égale : π πi2π −i−i 3 3 3 − a) 2e  b)- 2e  c) 2e Exercice n°2(6pts) ² (1) Résoudr ns  l’équation : z+ −i z−i=0 1) a)e da. 6 3 z+(1−i)z−i=0 a) Endéduire les solutions de l’équation :.on donnera les solutions sous la forme exponentielle. 3 z+(1−3i)z²−(2+3i)z−2=0 2) Soitl’équation (E ) : a) Vérifierque 2i est une solution de ( E ). b) Résoudredans  l’équation ( E ). iθi2θ z²+1−zi e−ie=0 oùθ∈ [ 0,π ] 3) Résoudredans  ( ) . l’équation :   ( o,u,v ) 4) Dansle plan complexe rapporte à un repère orthonormé directon considère les iθiθ z=1+iz3 ;= −eet z=ieavecθ∈ [ 0,π ] points A,M et N d’affixes respectives NA M .Soit I le milieu de [MN] d’affixe z I . a) Montrer que po θ∈ [ 0,π ] st isocèle et rectangle. ur toutle triangle OMN e b) Ecrire z A et z I sous la forme exponentielle. 5π z 2 i(θ+) I 12 θ c) Montrer que =e ur depour laquelle les points O,I et puis en déduire la vale z4 A A soient alignés. Exercice n°3(6pts)  u=4 0  On considère la suite U définie sur IN, par :  4 u=u−2+  n+1n u−1  n  ∈    1) Montrer que pour tout, on a :≤≤ 2) a) Montrer que la suite U est décroissante. b) En déduire que la suite U est convergente et calculer sa limite. 1  ∈  −3≤ −3 3) a) Montrer que pour tout, on a : u n+1 ( u ) n 2

n  1   ∈  0≤u−3≤ limu b) En déduire que pour tout, on a : n   Retrouver alors n n→+∞  2  n 6  ∈  S= 4) Pour tout, on pose : n ∑ 0 1 k= u k − 6  ∈  2≤ ≤3 a) Vérifier que pour tout, on a : u− 1 n  ∈  2n+2≤S≤3n+3 b) En déduire que pour tout, on a : n . S n limSet lim c) Déterminer alors n n→+∞n→+∞ n²+1 Exercice n°4(5pts) ζ On donne ci contre la courbed’une fonction f ] −2,+∞ [ définie sur.La courbe de f présente deux asymptotes l’uned’équation x=-2et l’autre y=0. 1) Parune lecture graphique a) Déterminer limf(x) ,limf(x) ,f(1) etf '(1) + . →+∞ x→−2 x b) Déterminerune équation de la tangente ζ (T) àau point d’abscisse -1. c) Déterminer f(x)−2f(x)−2 lim etlim − + . La x−2x−2 x→2x→2 fonction f est-elle dérivable en 2 ? d) Dresserle tableau de variation de f 2) Soitla fonction g définie sur [0,2] par  π  g(x)=sin   f(x)   π π ∀x∈;0, 2≤ ≤π a) Montrerque [ ] . 2f(x) −πf'(x)  π  g'(x)=cos b) Montreralors que g est dérivable sur [0,2] et que 2   . f(x)f(x)   c) Lacourbe représentative de g admet –elle unedemi tangente horizontale ?justifier. d) Donnerle tableau de variation de g sur [0,2]. BON TRAVAIL