Oral de Mathématiques de niveau Agrégation

Description

Avec correction. Arithmétique - oraux 1 et 2
Oral en Mathématiques (2011) pour Agrégation

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Extrait

302

Exercices faisant intervenir les notions de congruence et de divisibilité dans Z

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Exercice 1 : groupes abéliens d'ordre sans facteurs carrés D-W T2 p 42 exo 5 et GRAS 4.9.1 Pré requis: notion de groupe cyclique, de groupe quotient, caractérisation de la puissance des générateurs d'un sous groupe. Travail de l'élève: mettre en œuvre l'idée "pour montrer qu'un groupe est cyclique, il suffit d'exhiber un générateur." Place dans une séquence d'enseignement: td Intérêt: établir un résultat théorique en utilisant la notion de groupe quotient.

Exercice2: témoin de Fermat

[Butz et Demazure FERMAT ET PRIMALITE p 61] Pré requis: petit Fermat Travail de l'élève: appliquer le petit théorème Place dans une séquence d'enseignement: évaluation Intérêt: prouver qu'un nombre n'est pas premier.

Exercice 3 : période du développement décimal propre d'un rationnel non décimal [Deschamps T2, ANNEAUX ET ALGEBRES exo 15] Pré requis: développement décimal propre et anneaux ℤ /qℤ Travail de l'élève: Place dans une séquence d'enseignement: évaluation Intérêt: étude du développement décimal propre.

Exercice 4 : nombres premiers de Mersenne [Demazure FERMAT ET PRIMALITE exo 2.24] Pré requis: fonction d'Euler, théorème de Lagrange Travail de l'élève: Indication: considérer l'ordre de a modulo n Place dans une séquence d'enseignement: recherche Intérêt: recherche des nombres premiers parmi les nombres de Mersenne.