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TP de Maths de niveau BTS

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Statistiques
Travaux pratiques (TP) en Mathématiques (2011) pour BTS Groupement C

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Tp statistiques à deux variables BTS-CIG1 2011-2012 Exercice 1 Le tableau ci-dessous donne l’évolution du SMIC horaire en euros de 1995 à 2003. On étudie la série statistique x i ; y i . On donnera les résultats à 10 %) dans cet exercice.

Année 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 Rang de l’année x i 0 1 2 3 4 5 6 7 8 SMIC horaire en euros y i 5,64 5,78 6,01 6,13 6,21 6,41 6,67 6,83 7,19 1. Représenter le nuage de points associé à la série statistique M i x i ; y i dans le plan rapporté à un repère orthogonal ( O ; i ; j ) . Unités 2cm pour une année sur l’axe des abscisses et 10cm pour un euro sur l’axe des ordonnées. Les graduations commencent à 0 sur l’axe des abscisses et à 5 sur l’axe des ordonnées. 2. Placer le point moyen noté G. 3. Que pensez vous du nuage de points ? À l’aide d’une calculatrice, déterminer le coefficient de corrélation linéaire de la série statistique double de variables x et y ; arrondir à 10 −3 4. Donner une équation de la droite d’ajustement affine D de y en x pour cette série. 5. Tracer la droite dans le repère précédent. 6. Calculer avec cet ajustement affine le montant du Smic horaire en 2011. Conclure Exercice 2 Année 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 Rang x i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Importation y i 205 220 227 239 245 264 264 279 278 283 1. Le tableau ci-dessus donne le chiffre des importations de pétrole par le Japon en millions de tonnes de 1987 à 1996 a. Représenter le nuage de points correspondant. On commencera la graduation de l’axe des ordonnées à partir de 200, 1cm représentant 10 millions de tonnes, sur l’axe des abscisses 1cm = 1 an. b. Donner les coordonnées du point moyen G. À l’aide d’une calculatrice, déterminer le coefficient de corrélation linéaire de la série statistique double de variables x et y ; arrondir à 10 −3 c. Donner l’équation de D , droite d’ajustement affine de y en x de cette série statistique. d. Donner le chiffre des importations en 2000 à l’aide de cet ajustement affine. 2. On partage le nuage en deux sous-nuages de cinq points l’un de 1987 à 1991 et l’autre de 1992 à 1996. a. Calculer les coordonnées des points moyen G1 et G2, de ces deux nuages. b. Calculer le coefficient directeur de la droite D qui passe par G1 et G2. c. Déterminer l’équation réduite de cette droite. Tracer cette droite dans le repère. d. Donner par extrapolation le chiffre des importations en 2000 à l’aide de l’équation de D. Exercice 3 Une entreprise fabrique des chaudières de deux types : – des chaudières dites « à cheminée », – des chaudières dites « à ventouse ». Les quatre parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante. A. Ajustement affine Le nombre de chaudières fabriquées lors des années précédentes est donné par le tableau suivant : Rang de l’année x i 0 1 2 3 4 5 Nombre de chaudières fabriquées 15,35 15,81 16,44 16,75 17,19 17,30 par milliers y i 1. À l’aide d’une calculatrice, déterminer : a. le coefficient de corrélation linéaire de la série statistique double de variables x et y ; arrondir à 10 −3 ; b. déterminer une équation de la droite de régression de y en x, sous la forme y 1 ax # b , où a sera arrondi à 10 −3 et b sera arrondi à l’unité. 2. En supposant que la tendance observée se poursuive pendant deux années, estimer le nombre de chaudières qui seront fabriquées l’année de rang 7.

Exercice 4 Un fournisseur d’accès à internet, souhaite faire une prévision du nombre de ses abonnés pour l’année 2005, il établit un relevé du nombre des abonnés des années 2000 à 2004. Il affecte l’indice 100 à l’année 2000 pour établir la statistique des abonnés et consigne les données sur le

tableau et le graphique ci-dessous : Année 2000 2001 2002 2003 2004 Rang xi 1 2 3 4 5 Indice yi 100 112 130 160 200 Partie A 1. Le nombre d’abonnés était de 2040 pour l’année 2000, de combien est-il pour l’année 2004 ? 2. Quel est le pourcentage d’augmentation du nombre d’abonnés entre 2003 et 2004 ? 3. Quelle est l’équation de la droite de régression de y en x par la méthode des moindres carrés? 4. Quelles prévisions du nombre d’abonnés peut-on faire pour les années 2005 et 2010 ? On arrondira à l’entier le plus proche. Partie B Le fournisseur décide d’utiliser un changement de variable pour obtenir un autre ajustement, il crée un nouveau tableau en posant Y = ln(y). 1. Recopier et compléter le tableau. On donnera des valeurs approchées à 10 -2 . Rang xi 1 2 3 4 5 Yi= ln yi 2. Dans le plan muni d’un repère, construire le nuage de points de coordonnées (x i ; Y i ) et la droite de régression de Y en x donnée par l’équation : Y = 0,17 x + 4,39. 3. Exprimer le nombre d’abonnés n i en fonction du rang x i de l’année. 4. En déduire une nouvelle prévision du nombre d’abonnés pour les années 2005 et 2010. On arrondira à l’entier le plus proche Exercice5. Le tableau suivant donne le prix (exprimé en euros) d'une machine de 1999 à 2004. Année 1999 2000 2001 2002 2003 2004 Rang x i 1 2 3 4 5 6 Prix y i 18 300 18 900 19 800 20 400 21 000 21 900 1. Construire, dans un repère orthogonal, le nuage de points de coordonnées ( x i ; y i ) associé à cette série statistique. On prendra sur l'axe des abscisses 2 cm pour unité, sur l'axe des ordonnées 1 cm pour un millier d'euros et en commençant à graduer à partir de 10 000. 2. On choisit pour ajustement affine du nuage de points la droite D qui a pour équation : y 1 700 x # 17600

a) Tracer la droite D dans le repère orthogonal. b) Calculer les coordonnées du point moyen G du nuage. c) Montrer par le calcul que G appartient à la droite D et le placer sur le graphique. d) À l’aide d’une calculatrice, déterminer le coefficient de corrélation linéaire de la série statistique double de variables x et y ; arrondir à 10 −2 3. Déterminer graphiquement en faisant apparaître tous les tracés utiles, l'estimation du prix de la machine en 2005. Retrouver ce résultat par le calcul. Exercice 6 Une entreprise de services d'une ville cherche à modéliser la consommation des ménages sur les dernières années. Le rang x 1 1 1 est donné pour l'année 1998. La consommation est exprimée en milliers d'euros. Année 1998 2000 2001 2002 2004 Rang de l’année x i 1 3 4 5 7 Consommation en milliers d’euros y i 28,5 35 52 70,5 100,5 1. Représenter le nuage de points M i x i ; y i dans un repère orthogonal du plan (on prendra 1 cm comme unité en abscisses et 1 cm pour 10 000 € en ordonnées). 2. Déterminer les coordonnées du point moyen G de ce nuage ; le placer dans le repère précédent. 3. On réalise un ajustement affine de ce nuage par la droite D d'équation y = 12,5 x + b qui passe par le point G. a) Déterminer la valeur de b. b) Tracer la droite D dans le repère précédent. 4. Déterminer, à l'aide de l'ajustement précédent, la consommation estimée des ménages de cette ville en 2005. 5. En réalité, un relevé récent a permis de constater qu'en 2005 la consommation réelle des ménages de cette ville était de y 8 = 140 000 €. Déterminer, en pourcentage, l'erreur commise par l'estimation précédente par rapport à la valeur exacte (on donnera un résultat à l'aide d'un nombre entier en effectuant un arrondi). 6. Un nouvel ajustement de type exponentiel semble alors plus adapté. a) Recopier et compléter le tableau suivant sachant que z = ln y . Les résultats seront arrondis au centième. Année 1998 2000 2001 2002 2004 2005 Rang de l’année x i 1 3 4 5 7 8 z i 1 ln( y i ) 3,35 …….. …….. …….. …….. 4,94 b) Déterminer l'équation réduite de la droite de régression de z en x obtenue par la méthode des moindres carrés à l'aide de la calculatrice ; cette équation est de la forme z = c x + d ; on donnera les arrondis des coefficients c et d à 10 % 2 . En déduire que : y 1 20, 49 e 0,23 x . c) Estimer alors, à l'aide de ce nouvel ajustement, la consommation des ménages de cette ville en 2007 à 100 € près. Exercice 7 Le tableau ci-dessous donne l'évolution du montant des ventes d'appareils photos numériques en France, en milliers d'euros, entre 1999 et 2004. Année 1999 2000 2001 2002 2003 2004 Rang de l’année x i 1 2 3 4 5 6 Montant des ventes y i 179 332 584 1092 2675 4164 1. À l’aide d’une calculatrice, déterminer : a. le coefficient de corrélation linéaire de la série statistique double de variables x et y ; arrondir à 10 −2 ; b. déterminer une équation de la droite de régression de y en x, sous la forme y = a x +b, où a sera arrondi à 10 −3 et b sera arrondi à l’unité. 2. La rapidité de la croissance suggère un ajustement de type exponentiel. On pose : z i 1 ln( y i ) a) Présenter la série statistique x i ; z i dans un tableau en arrondissant les valeurs de z i au centième. b) Donner une équation de la droite d'ajustement affine de z en x par la méthode des moindres carrés, les coefficients seront arrondis au centième. c) En utilisant cet ajustement, donner une estimation du montant des ventes pour l'année 2008, arrondie

au millier d'euros. 3. Du fait de l'apparition des téléphones mobiles avec appareil photo intégré, on a observé un ralentissement dans la progression des ventes, avec un montant de 5027 milliers d'euros en 2005 puis une diminution de 10% en 2006. a) Calculer le montant des ventes, arrondi au millier d'euros, pour 2006. b) En supposant qu'après 2006 le montant des ventes continuera de baisser de 10 % par an, quelle prévision peut-on faire pour 2008 ? (On arrondira le montant au millier d'euros). Exercice 8 Dans cet exercice, les résultats numériques pourront être obtenus à l’aide de la calculatrice sans justification. Le tableau suivant donne l’évolution du nombre de départs à la retraite au sein d’une entreprise à effectif stable. Année 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 x i 0 1 2 3 4 5 6 7 y i 50 53 53 58 57 59 63 64 x i désigne le rang de l’année ; y i désigne le nombre de départs à la retraite.

1. Représenter le nuage de points M i x i ; y i associé à la série double dans un repère orthogonal ayant pour origine : le point M 0 (0 ; 50), et pour unités : 2 cm sur l’axe des abscisses et 1 cm sur l’axe des ordonnées. 2.Dans cette question les résultats seront donnés à 10 -2 près par défaut. a) Déterminer les coordonnées du point moyen G puis placer ce point sur le graphique. À l’aide d’une calculatrice, déterminer le coefficient de corrélation linéaire de la série statistique double de variables x et y ; arrondir à 10 −3 b) Peut-on envisager un ajustement affine ? Pourquoi ? c) Donner une équation de la droite de régression de y en x obtenue par la méthode des moindres carrés. d) Tracer cette droite sur le graphique précédent. 3.En supposant que l’évolution se poursuive de la même façon pour les années suivantes, déterminer une estimation, arrondie à l’entier le plus proche, du nombre de départs à la retraite dans cette entreprise en 2000, puis en 2003. Exercice9 Une statistique publiée en l’an 1998 donne le nombre d’abonnés à Internet dans le monde, à la fin de l’année indiquée : Année 1995 1996 1997 1998 Rang de l’année : x i 0 1 2 3 Nombre d’abonnés en millions : y i 26 55 101 150 Pour tout l’exercice, les détails des calculs statistiques ne sont pas demandés. 1. Représenter le nuage de points associé à cette série statistique ( x i ; y i ). ( Prévoir sur l’axe des y des graduations jusqu’à 500 ). 2. a) Déterminer les coordonnées du point moyen G puis placer ce point sur le graphique. b) À l’aide d’une calculatrice, déterminer le coefficient de corrélation linéaire de la série statistique double de variables x et y ; arrondir à 10 −3

3.Des prévisions ont été réalisées pour les années 1999, 2000 et 2001 à l’aide d’un ajustement affine par la méthode des moindres carrés. Donner une équation de la droite d’ajustement affine de y en x , les coefficients arrondis au dixième. Tracer cette droite sur le graphique. Calculer avec cet ajustement les prévisions p , q et r du nombre d’abonnés à Internet pour les années 1999, 2000 et 2001. 4. Le nombre d’abonnés à Internet pour les années 1999 et 2000 est maintenant connu, on obtient le nouveau tableau : 1995 1996 1997 1998 1999 2000 Année Rang de l’année : x i 0 1 2 3 4 5

Nombre d’abonnés en millions : y i 26 55 101 150 248 407

a. Placer les nouveaux points M i x i ; y i sur le graphique. b. L’ajustement choisi à la question 2. ne paraît plus pertinent ; on essaie donc un autre ajustement. Pour cela on pose z = ln( y ). Calculer, arrondies au centième, les valeurs z i = ln( y i ) pour i entier variant de 0 à 5, et les présenter dans un tableau. c. Donner une équation de la droite d’ajustement affine de z en x , les coefficients étant arrondis au centième et en déduire l’ajustement affine : y = 30e 0,53 x . d. Calculer avec cet ajustement la nouvelle prévision r ’ pour l’année 2001. Quelle serait, avec ce deuxième ajustement, la prévision pour 2002 en millions d’abonnés ?

Exercice n°10 Le tableau suivant publié en août 1999 dans une revue économique, donne la part du temps partiel au sein de la population active (les valeurs pour 2000 et 2004 sont le résultat d'une estimation). Année xi 1980 1985 1990 1995 1997 2000 2004 Part du temps partiel en % : y i 8,3 11 12 15,6 16,8 18 20 On étudie la série statistique ( x i ; y i )pour 1980 σ x i σ 1997 Les calculs seront effectués à la calculatrice. 1. Représenter dans un repère orthogonal le nuage de points de coordonnées (x i , y i ) pour 1980 σ x i σ 1997 On prendra 1 cm pour une part de 2 % en ordonnée, 2 cm pour 5 ans en abscisse en prenant pour origine le point (1980; 0).

2. Déterminer les coordonnées de G, point moyen de la série statistique ( x i ; y i ). Le placer sur le graphique.

3. a. Donner la valeur arrondie à 10 -3 près du coefficient de corrélation linéaire de la série ( x i ; y i ).Un ajustement affine est-il justifié? b. Déterminer une équation de la droite d'ajustement affine de y en x par la méthode des moindres carrés (a et b arrondis à 10 -3 près). Dessiner cette droite sur le graphique. c. Peut-on considérer que les estimations pour 2000 et 2004 faites par la revue ont été réalisées en utilisant l'équation obtenue à la question 3.b . ? Exercice 11 Le tableau ci-dessous donne l’évolution de l’indice des prix de vente des appartements anciens à Paris au quatrième trimestre des années 2000 à 2007. : Année 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 Rang de l’année : x i 0 1 2 3 4 5 6 7 Indice : y i 100 108,5 120,7 134,9 154,8 176,4 193,5 213,6 Source : INSEE 1. Calculer le pourcentage d’augmentation de cet indice de l’année 2000 à l’année 2007. 2. Construire le nuage de points M i x i ; y i dans le plan ( P ) muni d’un repère orthogonal défini de la manière suivante : sur l’axe des abscisses, on placera 0 à l’origine et on choisira 2 cm pour représenter une année. sur l’axe des ordonnées, on placera 100 à l’origine et on choisira 1 cm pour représenter 10 unités.

3. Déterminer les coordonnées du point moyen G de ce nuage. Placer le point G dans le plan ( P ). Donner la valeur arrondie à 10 -3 près du coefficient de corrélation linéaire de la série ( x i ; y i ) Un ajustement affine est-il justifié? 4.L’allure de ce nuage permet de penser qu’un ajustement affine est adapté. À l’aide de la calculatrice, déterminer une équation de la droite ( d ) d’ajustement de y en x , obtenue par la méthode des moindres carrés. Les coefficients seront arrondis au centième. Tracer la droite ( d ) dans le plan ( P ). 5. En supposant que cet ajustement affine reste valable pour les deux années suivantes, estimer l’indice du prix de vente des appartements anciens de Paris au quatrième trimestre 2009. Justifier la réponse.

Exercice 12 PARTIE 1 1.Sachant qu’il y avait 13 millions de cotisants au régime général de retraites en France métropolitaine en 1975 et 16,6 millions de cotisants en 2005, calculer le pourcentage d’augmentation du nombre de cotisants entre 1975 et 2005. On arrondira le résultat à 0,1 % près. P ARTIE 2 Le tableau ci-dessous donne le nombre de retraités en France métropolitaine entre 1975 et 2005 : Année 1975 1980 1985 1990 1995 2000 2005 Rang de l’année x i 0 σ i σ 6 0 1 2 3 4 5 6 Nombre de retraités (en millions) y i 0 σ i σ 6 4,1 5,0 5,9 7,4 8,3 9,7 10,7 Source : INSEE / Caisse Nationale d’Assurance Vieillesse 2007 2. Sur une feuille de papier millimétré, représenter le nuage de points M i x i ; y i , 0 σ i σ 6 , associé à la série statistique dans un repère orthogonal d’unités graphiques 2 cm en abscisse (pour les rangs d’année) et 1 cm en ordonnée (pour 1 million de retraités). Calculer les coordonnées du point moyen G de cette série statistique. Donner, à l’aide de la calculatrice, l’équation réduite de la droite d d’ajustement de y en x par la méthode des moindres carrés (on arrondira les coefficients au dixième). Placer le point G et tracer la droite d dans le repère construit à la première question. En utilisant l’ajustement trouvé à la question 2, déterminer par un calcul une estimation du nombre de retraités en 2010. Exercice 13 Le tableau ci-dessous présente l’évolution de l’indice des prix des logements anciens en Ile de France entre 2000 et 2006 (base 100 en 2000). Année 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 Rang x i de l’année 0 1 2 3 4 5 6 Indice y i des prix 100 106,3 114,3 126,1 143,6 166,3 181,5 (Source : INSEE) On cherche à étudier l’évolution de l’indice des prix y en fonction du rang x de l’année. 1. Calculer le taux d’évolution de cet indice entre 2000 et 2006. 2. Représenter le nuage de points M i x i ; y i associé à cette série statistique, dans le plan muni d’un repère orthonormal d’unités graphiques : sur l’axe des abscisses, 2 cm pour un an ; sur l’axe des ordonnées, 1 cm pour 10 (en plaçant 100 à l’origine). 3. L’allure de ce nuage suggère un ajustement exponentiel. On pose z = ln y . Recopier et compléter le tableau suivant ( les valeurs de z i seront arrondies au millième) : Rang x i 0 1 2 3 4 5 6

z i = ln y i 4,605 Dans cette question les calculs effectués à la calculatrice ne seront pas justifiés . 4. Déterminer une équation de la droite d’ajustement affine de z en x obtenue par la méthode des moindres carrés ( les coefficients seront arrondis au millième ). 5. En déduire une approximation de l’indice des prix y en fonction du rang x de l’année. On prend l’approximation y » 96e 0,104 x et on suppose qu’elle reste valable pour les années suivantes. 6. Déterminer le plus petit entier n tel que 96e 0,104 n ³ 250 . Donner une interprétation du résultat obtenu.

= ,1 3 + 5,

Exercice 1 Année 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 Rang de l’année x i 0 1 2 3 4 5 6 7 8 SMIC horaire en euros y i 5,64 5,78 6,01 6,13 6,21 6,41 6,67 6,83 7,19 1. 8 y 7,8 7,6 7,4 7,2 7 6,8 6,6 6,4 6,2 6 5,8 5,6 5,4 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 x 2) Pour les formules voir le cours. x 1 4 y 1 6, 31889 ; Μ x 1 2, 582 et Μ y 1 0, 47678 ; r 1 0, 988

Le graphique est laissé à faire au lecteur. 3) Coordonnées de G ( 4 ; 6,31889 ) 4) Le nuage de points a une forme allongé rectiligne, on peut donc chercher un ajustement affine. 5) Equation de la droite d’ajustement affine D de y en x pour cette série : y 1 0,183 x # 5, 59 6) Le tracé de la droite est laissé au lecteur. 7) On Calcule avec cet ajustement affine le montant du smic horaire en 2010, donc on applique y 1 0,183 ´ 10 # 5, 59 1 7, 42 . Donc avec cet ajustement affine, on obtient un taux horaire de 7,42 euros . Exercice2 2.a.b. Donner les coordonnées du point moyen G. le point moyen G a pour coordonnées ( 5,5 ; 250,4 ) c. Donner l’équation de D , droite d’ajustement affine de y en x de cette série statistique. On trouve pour la covariance 73,1 et pour la variance de X 8,25. On en déduit a » 8,86 et b » 201,67. D’où l’équation y 1 8, 86 x # 201,67. d. Donner par extrapolation linéaire le chiffre des importations en 2000 à l’aide de cet ajustement affine. On utilise l’équation de la droite avec x = 14 et l’on obtient y = 8,86 ´ 14 + 201,67 = 325,72 Donc par extrapolation linéaire le chiffre des importations en 2000 sera 326 environ. 2. On partage le nuage en deux sous-nuages de cinq points l’un de 1987 à 1991 et l’autre de 1992 à 1996. a. Calculer les coordonnées des points moyens G1 et G2, de ces deux nuages. les points G1 et G2 ont pour coordonnées respectives ( 3 ; 227,2 ) et ( 8 ; 273,6 ). b. Calculer le coefficient directeur de la droite D qui passe par G1 et G2. On utilise la formule bien connue m = différence des ordonnées /différences des abscisses ici on trouve m » 9,28. c. Déterminer l’équation réduite de cette droite. Pour déterminer l’ordonnée à l’origine de la droite on résout 227,2 = 3 ´ 9,28 + p car la droite passe par le point G1, donc ses coordonnées vérifient l’équation de cette droite ; On trouve p = 199,36 et l’équation de la droite de Mayer de cette étude a pour équation y = 9,28x + 199,36 e. Donner par extrapolation le chiffre des importations en 2000 à l’aide de l’équation de D. On utilise l’équation de la droite avec x = 14 et l’on obtient y = 9,28 ´ 14 + 199,36 = 329,28 Donc par extrapolation linéaire le chiffre des importations en 2000 sera environ de 329 . EXERCICE 3 1.à la calculatrice, on trouve comme coefficient de corrélation linéaire r » 0, 9837 , soit r » 0, 98 1 x # et comme équation de la droite de régression de y en x : y 0, 406 15 . 2. En utilisant l’´equation de la droite de régression avec x = 7, on estime le nombre de chaudières fabriquées l’année de rang 7 à y = 18. Exercice 4 1. On utilise la proportionnalité : A l'année 2000 l'indice est 100 et le nombre d'abonné 2040 a l'année 2004 l'indice est 200 donc le nombre d'abonné double également soit 4080 abonné en 2004. 2. Pour déterminer le pourcentage d'augmentation entre 2003 et 2004 il suffit de calculer le coefficient multiplicateur associé à cette évolution : C = 200/160 = 1,25 donc il s'agit d'une augmentation de 25 %. 3. y = 24,8 x + 66 4. à l'année 2005 correspond le rang 6 à l'année 2010 correspond le rang 11 Prévision du nombre d'abonné pour l'année 2005 : y = 24,8 6 + 66 215 l’indice est 215 Prévision du nombre d'abonné pour l'année 2010 : y = 24,8 11 + 66 339 l’indice est 339

y 240 230

220

210

200

190

180

170

160

150

140

130

120

110

100 0

G 3;140, 4 r 1 0973996

y 0, 7 x 4 39

Partie B 1. Année 2000 2001 2002 2003 2004 Rang de l’année x i 1 2 3 4 5 Indice y i 100 112 130 160 200 Y i 1 ln y i 4,61 4,72 4,87 5,08 5,3 2. voir graphique 3. Y = ln y = 0,174 x + 4,39 y e 0,174 ´ x # 4,39 , n i 1 e 0,174 ´ x i # 4,39 1 4. Prévision du nombre d'abonné pour l'année 2005 : y 1 e 0,174 ´ 6 # 4,39 » 229, 06 Prévision du nombre d'abonné pour l'année 2010: y 1 e 0,174 ´ 11 # 4,39 » 546, 75 . 5,5 y 5,4 5,3 5,2 5,1 5 4,9 4,8 4,7 4,6 4,5 4,4 4,3 0 Exercice 5Corrigé 1. Cf graphique