cours-exos4

Description

l'amortisseurtieltre4surd'ordreethimiques,tielless'écrire4.1d'ordreInlatros'écrivOndynamiques'inrentéressel'équationicioitureàd'équilibre.lael.résolutionnbreuxumériqued'équationsquidiérenbletielleséquationsaNotonsvtervecérieur(4.1.1).tionsinitialesl'amor-(ouoseproblèmeramenerdeàCaucleh(4.1.2)y)v:talorsDesurde(4.1.1)tdeCitonssolutionlesettexisteen-s'ilréactionsqueett,psursystème(4.1.1)tdedessolutiond'ordreesteutquelapar(4.1.1),detmaximaletsolutiond'uneet,existeonilunalorsoursiphitz,rappt(4.1.1)ueoùdehlaestdeuneetfonctiontdetielCauc1.denomthéorèmeexemplesleproblèmesparenquesousàforme.venaleursautresdansloisellerégissenrapplaOnd'un,semadevecou(4.1.3)lesecrégissanvla.desopulations.nqu'unuediérenestfaisanlainfonctioneniradié-detielles:supuepdanstoujourssousformeecPrenons.exempleSouvduenordret,anvlereprésenortementedeletisseurtemps,vet:on,pherc1,hesystèmedoncàasefonctionPdeositionalors,sas'écritortamortisseurparàdevdéplacemenaleursestdanssystèmerappleforceetoù.estOnmassealadoncoiture,aaireleàund'amortissemensystème219diérenChapitreEquationsdiérenx (t) =f(x(t),t) t> 0,x(0) =x¯ .0N Nf IR × IR IR N ≥ 1Nx IR IR tNx IR IR+ my +cy +ky = 0,y(0) =x¯ ,0y (0) = 0.m ...

Informations

• Publié par: Ermey
• Nombre de lectures: 22
• Langue: Français

Extrait

rapp
a
faisan
4
autres
v
ortemen
ec
1.
tielles
ou
4.1
sous
In
sa
tro
masse

en
On
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ici
du
?
:
la
t
r?solution
(4.1.1)
n

um?rique
exemples
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di?ren
r?gissen
tielles
de
a
r?gissan
v
qu'un
ec
enir

p
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Prenons
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probl?me
osition
de
rapp
Cauc
que
h
sur
y)
o?
:
oiture,
(4.1.3)
tiel
On
nom
219
probl?mes
rapp
sous
elle
en
que
lois
par
la
le
sem
th?or?me

de
les
Cauc
la
h
opulations.

di?ren
:
in
hitz,
di?-
si
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alors
toujours
il
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existe
exemple
et
ordre
solution
le
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de
de
v
(4.1.1),
P
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sur

ort

l'amortisseur
ec
le
v

(4.1.1)
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et
a
solution
est
est
une
la
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le
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alors,
d'ordre
s'?crit
De
amortisseur
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t
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v
Citons
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.
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p
n
Notons
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syst?me
est
tiel
la
t
fonction
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,
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(4.1.1)
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,
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la
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(4.1.1).
.
par
Souv
l'?quation
en

t,

p
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t
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oiture
on
our

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p
he
et
donc
?
on
alors
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1,
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d'ordre
est
syst?me
ue
?
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v
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la
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.
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On
la
a
de
donc
v
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existe
?

un
t
syst?me
di?ren
des
Chapitre
Equations
di?ren

x (t) =f(x(t),t) t> 0,
x(0) =x¯ .0
N N
f IR × IR IR N ≥ 1
N
x IR IR t
N
x IR IR+
 my +cy +ky = 0,
y(0) =x¯ ,0
y (0) = 0.
m c k
y
x = y1
x = y x =2
t(x ,x )1 2 ! x ,2x (t) =f(x(t),t),
f(x,t) = 1 .tx(0) = (x¯ ,0) , (cx +kx )0 − 2 1
m
N N1f ∈C (IR ×IR,IR )
N2T > 0 x ∈ C ([0,T [,IR )M M
x [0,T [ α > 0M
N2y ∈ C ([0,α[,IR ) [0,α[ α ≤ T y = xM
′
′
′
′ ′′
′pr
220
existenc
our
e
p
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alors
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,
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.
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De
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par
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que
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p
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Gron
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4.2
.
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le
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4.1
.
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de
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Un
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?
que
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,
En
p
fait,
donc
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our
r
avoir
Il
existenc
si
e
que
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Exemple
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omme
d'une
on
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(4.1.4),
maximale
n
de
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(4.1.1),
glob
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endr
p
solution
eut
temps
aaiblir

l'hyp
m?me
oth?se
(4.1.4)
elle
e
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le
On
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1

.
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?
?
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al.
donc
supp
est
On
e
fonction
d'existenc
ar
temps
vers
e

L

.
pr
en
:
,

le

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tout

sur
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e
d'une
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unicit?
b

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r
glob
que
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duit
le
d?
de
en
nous
On
de
qui
ayon
soit
.
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est
sur
que
les
soit
b
,
orn?s",
osons

4.3
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male
e
solution
qui

v?rie
a
:
alors
tout
v?rie
our
alors
p
le
:
'est
que
p
obtient
for
On
?ment
.
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fonction
(pr
la
e
?
est
1
la
tel
maximal
que
p
l
s'en
onwal

Gr
De
de
la
lemme
opri?t?
le
est
appliquer
or
alors
v?ri?
eut
si
p
est
On
que
:
p
donc
mor
et
e
:
pr
obtient
toutefois
on
ate
,
d?montr
et
dans
0

e
g?n?r
entr
Exemple
ant
On
gr
ose
int?
en
en
;
,
la
tout
.
our
p
p
vers
:
lorsque
donc
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a
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On
et
que
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tels
onsid?r
et
le
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obl?me
il
Cauchy
,
,
tout
simple
our

p
ale.
que
lo
ose
une
supp

(4.1.4)
alors
o?

On
maximale.
.
L
sur
fonction
d?signe
est
une

norme
et
sur
donc
(4.1.1)
sur
de
b
male
(mais
et
as
maxi-
alement
solution
On
la
eut
b
appliquer
oule
th?
de
?me

Cauchy-
entr
qui
e
donne
0
e
et
[0,α[ T < +∞M
|x(t)|→ +∞ t→TM
Remarque f
N1f ∈C (IR ×
N N NIR,IR ) f ∈C(IR ×IR,IR )
∀A> 0,∃M ∈ IR ∀t∈ [0,T[,∀(x,y)∈B ×B ,A + A A
|f(x,t)−f(y,t)|≤M |x−y|.A
N|.| IR B AA
N N1f ∈C (IR × IR,IR ) f
2f(x) = x
1f C
2N = 1 f f(z,t) = z
(
dx 2(t) =x (t)
dt
x(0) = 1
1f C
1x(t) =
1−t
−+∞ t 1
T = 1M
1x(t) = t∈ [0,1[.
1−t
N N1f ∈C (IR ×IR,IR ) x
[0,T [ 0 < T < +∞M
a > 0 b > 0T T
N|f(z,t)|≤a |z|+b ∀z∈ IR , ∀t∈ [0,T]T T
x (t) ≤ a |x(t)| +b t tT TZ t
x(t)≤a |x(s)|ds ++b t+x¯ ,T T 0
0
Z t
|x(t)|≤a |x(s)|ds +|b |T +|x¯ |, ∀t∈ [0,T[.T T 0
0
t 7! |x(t)|
a tT|x(t)|≤ (|b |T +|x¯ |)e t∈ [0,T[. xT 0
[0,T] T ∈ IR TM
+∞
ϕ∈ C([0,T],IR )+R
t αtϕ(t)≤ α ϕ(s)ds +β α≥ 0 β > 0 ϕ(t)≤ βe t∈ [0,T].
0
′
Dans
On
de
la
nom
de
breux
ici

d'erreur
il
la
n'est
el
pas
un
p
de
ossible
alors
d'obtenir
h?e
une
(4.1.6)
expression
tels
analytique
p
de
les
la
forme
solution
des
de
he
(4.1.1).
pas
L'ob
l'erreur
jet

de
,

sens

aluer
hapitre
donn?
est
qui
de
rithme
pr?sen
la
ter
p
des
notations
m?tho
pas)
des
te
p
en
our
dits
obtenir
de
des
v
solutions
aleur
(n
donne
um?riques)
on
appro
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On
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qui
de
,
la
?
solution
la
de
v
(4.1.1).
ers
Plus
de
pr?cis?men
,
t,
oximation
on
suivante
adopte

les
des
notations

et
un
h
?solution
yp
p
oth?ses
?
suiv
sch?ma
an
on
tes
oth?ses
:
ve
221
?
et
D?nition
h
et
yp
sous
oth?ses
qui
:
h?ma
(4.1.8)
di?ren
donn?
P
implicite
m?tho
Euler
On
h?ma

Sc
la
2.

(4.1.7)
l'ordre
:
)
te
exacte
an
elle
suiv
que
simple
o?
tr?s
discr?tisation.
fonction
herc
la
m?tho
ec
ermette
v
forme
a
our
(4.1.6)
des
par
pr?cis?men
d?ni
telle
est
appro
explicite

d'Euler
en
h?ma
d?nir,
sc
solution
Le
herc
explicite
?
d'Euler
et
h?ma
o?
Soit
de
Sc
(appr
v
:
?rian
forme
t
sous
l'h
s'?
yp
valeurs
oth?se
<