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ANNEXES
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
     
106
  
  
1. Calcul de t1(y,t)
ANNEXE 1
Calculs des fonctions t1, t2, t3, et t4
 
  t1 (y, t) =u2C+v2C+w2C =&X+&u+ β&S (Z+w)-γ&S (Y+y)2A           +&Y+ γ&S (X+u)-α&S (Z+w)2+&Z+&w+ α&S (Y+y)-β&S(X+u)2 ( 1.1)   t(y,t) =X&+&βZ -γ&Y -γ&y+&u+ β&w2+&Y+ γ&X -α&SZ+ γ&S(r u -α&S w)2 (A1.2) 1 S S S S S +&Z+ α&Y -β&X+ α&+&β&2 S S Sy w -Su  t1 (y,t) =&X+ β&SZ -γ&SY2+ γ&S2y2+&u+ β&Sw2- 2γ&S &X+ β&SZ -γ&SY y - 2γ&S u&+ β&Sw y +2 X&+ β&SZ -γ&SY u&+ β&Sw+Y&+ γ&SX -α&SZ2+ (γ&Su -α&S w)2 +2 Y&+ γ&SX -α&SZ&Su -α&Sw) +Z&+ α&SY -β&SX2+ α&2Sy2+ &w -β&Su2 & & & & & & +2α&S Z+ α&SY -βSX y+2α&S w&-βSu y+2 Z+ α&SY -βSX&w -βSu (A1.3)  t1(y, t)=&αS2+&γS2y2+2&αS &Z+&w+&αSY -&βS (X+u) −&γS X&+u&-&γSY+&βS (Z+w)y
+X&+u&+&βS (Z+w)-&γSY2+Y&+&γS (X+u)-&αS (Z+w)2+Z&+w&+&αSY -&βS (X+ (A1.4)  Ou en classant les termes par ordre de grandeur :   
  
 
& & & t1 (y,t)=X&+ β&SZ-γ&SY2+Y+ γ&SX -α&SZ2+Z+ α&SY -βSX2 & & & &           +2 -r X+ βSZ-γ&SY+ α&S Z+ α&SY -βSX y+&αS2+&γS2y2 & & +2 -&γS u&+ βSw+&αS w&-βSu y & & & &           +2 X+ βSZ-&γSY&u+ βSw+Y+&γSX -&αSZ(&γSu -&αSw)+           +u&+&βw2+(&γu -&αw)2+&w -&βu2 S S S S
& Z
+
& & α&SY -βSX w&-βSu
(A1.5)
107
u
)
2
2. Calcul de t2(y,t)   t2 (y,t)=ω2xω+2z S&S&S&S(S)2 = α& cosψ + β sinψ + θcosΦ-α& sinψ − βcosψsinθ + γ&ψ+&cosθsinΦ & & sin&cos sin( )cos cos2 + α&S cosψ + βS sinψ + θsin αΦ +&Sψ − βS + γψ θ&S+ψ&θ Φ (A1.6)  & & & t2 (y,t) =&αS cosψ + βS sinψ + θ2+&αS sinψ − βScosψsinθ + (&γS+&ψ)cosθ2 (A1.7)  Les anglesθetψet leurs dérivées sont des infiniment petits d’ordre 1. Les termes contenant des infiniment petits d’ordre supérieur à 2 sont supprimés. Ainsi les sinus et cosinus sont remplacés par leurs développement limités :  sinθ = θ +oθ3≈ θsinψψθ (A1.8) cosθ =1 2+oθ41 θ2cosψ ≈1 ψ22
2 2  t2 (y,tα=)&S 1ψ22β+&S ψ + θ&2+&αS ψ −&βS  1ψ22 θ + (&γS+&ψ)  1θ222(A1.9)  t2 (y,t)=α&S − α&Sψ22+ β&S ψ + θ&2+α&S ψ θ − β&S θ + β&Sψ22θ + γ&Sψ+& − γ&Sθ22ψ& θ222 ⎝ ⎠
(A1.10)  En supprimant les infiniment petits d’ordre 3, il vient :  2 2 2 2 t2 (y,t=)&αS &αSψ2+&βS ψ +&θ+&αS ψ θ −&βS θ +&γS+&ψ &γSθ2 (A1.11)  t2 (y,t) =&αS2+&αS2ψ44+&βS2 ψ2+&θ2 &α2Sψ2+2&αS &βS ψ +2&αS &θ − &αS &βS ψ3 &αS ψ2 θ& +2β&S ψ θ&+ α&S2 ψ2 θ2+ β&2S θ2+ γ&S2+ψ&2 + γ&S2θ442α&S β&S ψ θ2+2α&S γ&S  ψ θ & & & +2α&S ψ θ ψ&− α&S γ&S ψ θ32βS γ&S θ −2βS θ ψ&+ βS  γ&S θ3+2γ&S ψ&− γ&2S θ2− γ&S θ2 ψ& (A1.12)      
 
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En ne gardant que les termes d’ordre 0, 1 et 2 :  t2 (y,t) = α&S2+ β&S2 ψ2+&θ2 &αS2ψ2+2&αS &βS ψ +2&αS &θ +2&βS ψ &θ +&β2S θ2+&γS2+&ψ2  & & +2&αS &γS  ψ θ −2βS &γS θ −2βS θ ψ&+2γ&S ψ&− γ&S2 θ2 (A1.13)
 Soit t2 (y,t)= α&2S+ γ&S2+ θ&2+ ψ&2+ θ2β&S2− γ&S2+ ψ2β&S2− α&S2 +2α&S θ&+ γ&S ψ&+ β&S ψ θ& − θ ψ&+ β&S(α&S ψ − γ&S θ)+ α&S γ&S ψ θ    Et en classant les termes par ordre de grandeur :   
  
& & t2 (y,t)&2S+&γ2S+2βS &αS ψ −&γS θ)+&αS θ +&γS &ψ = α           +&βSθ+ ψ2+& +β ψ&θ2(α ψ − γ θ)2 & & & S S S
  
 
(A1.14)
(A1.15)
3. Calcul de t3(y,t)   t3 (y, t)ω=2y= −&αSsinψ −&βScosψcosθ + (&γS+&ψ)sinθ + Φ&2 (A1.16)  En remplaçant les sinus et cosinus par leurs développement limités et en prenant&Φ = Ω:  t3 (y, t)=&αS ψ − &βS 1 -ψ221 -θ22+ (γ&Sψ+&) +θ2 (A1.17) ⎝ ⎠ 2 2 2 2 2 2 & & & & t3 (y, t) =&αS ψ + βS− βSψ2+&αS ψθ2− βSθ2+ βSψ4γ+θ&S θ + ψ& +θ (A1.18)  Après suppression des termes d’ordre 3 et 4 dans la parenthèse et regroupement:  = β + && &− − β (A1.19) t3 (y, t)&S (γΩ +S θ − αS ψ) +ψ θ&βSψ22&Sθ222 &2& &2& &2&2 2& & & t3 (y, t β) =S+ Ω (γ +S θ − αS ψ+)ψ θ − βSψ2− βSθ2+2βS+ Ω S θ − αS ψ)  2 2 2 2 & & & & & +2β + Ω ψ& βψθβθ+2(&γ θ − α& ψ) &ψ  θ − βθ − β ψS S2S2S S S2S2 (A1.20)
 
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En ne gardant que les termes d’ordre 0, 1 et 2 :  
t3 (y, t) = β&S+ Ω2+ (γ&S θ − α&S ψ)2+2β&S+ Ω &S θ − α&S ψ) +2β&S+ Ω ψ& θ − β&Sψ22− β&Sθ22(A1.21)  Soit t3(y, t)= β&+ Ω + γ& θ − α& ψ2+ β&+ Ω2ψ& θ − β&ψ2+ θ2 (A1.22) S S S S S   Et en classant les termes par ordre de grandeur :   t3(y, t)=&βS+ Ω2+2&βS (+ Ω&γS θ − α&S ψ) + (γ&S θ − α&S ψ)2+ β&S+ Ω 2ψ& θ − β&Sψ2+ θ2 (A1.23)
  
4. Calcul de t4(y,t)   t2 (y,tω=)2xω2z = αS cosψ +&βS sinψ +&θcosΦ-&αS sinψ −&βScosψsinθ + (γ&Sψ+&)cosθsinΦ2 & − α&S cosψ + β&S sinψ + θ&sinΦ + α&S sinψ − β&Scosψsinθ + (γ&Sψ+&)cosθcosΦ2
(A1.24)  t2 (y,t) = −4&αS cosψ +&βS sinψ +&θ&αS sinψ −&βScosψsinθ + (γ&S+&ψ)cosθsinΦcosΦ +&αS cosψ +&βS sinψ + θ&2+ α&S sinψ − β&Scosψsinθ + (γ&S+ψ&)cosθ2cos2Φ −sin2Φ (A1.25)  t2 (y,t) = −4α&S cosψ +&βS sinψ + θ&α&S sinψ − β&Scosψsinθ + (γ&S+ψ&)cosθsin 2Φ +&α cosψ +&β sinψ +&θ2+&α sinψ −&βcosψsinθ + (&γ +&ψ)cosθ2cos 2Φ 
S S S S S (A1.26)   & Comme la vitesse angulaireΦest constante, on poset :  t2 (y,t)4S cos&S sin&S sin&Scos sin(S) = − α& α ψ + θψ + β& + θ ψψ − β&γ +&ψcosθsin 2t  αSψ +&βSψ +&θ2+ αSψ − β&Sψsiθ + (γS+ ψ)cosθ2t &si& sin& &cos 2 + n cos n cos (A1.27)    
 
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En remplaçant les sinus et cosinus par leurs développements limités:  2 2 2 t4 y,tS S SS Sθ( ) = −2α& 1ψ2+β& ψ + θ& &α ψ −&β  1ψ2 θ + (&γ +&ψ)  21cos 2t θ α&S 1ψ22+β&S ψ + θ&2α&S ψ − β&S  1ψ22 θ + (γ&Sψ+&)  1222cos 2t (A1.28)  4 S S S S S βθ − SS S t(y,t) = 2α& − α&ψ22+ β& ψ + θ& α& ψ θ − β&  &ψ22θ +&γ +&ψ − &θγ22&θψ22cos 2t &αS &αSψ22+&βS ψ +&θ2α&S ψ θ − β&S θ − β&Sψ22θ + γ&S+ψ& γ&Sθ22&θ222cos 2t ψ(A1.29)   Après suppression des termes d’ordre 3 et 4 dans les parenthèses:  & & & & & & t4 (y,t) = 2αS − αSψ22+ β&S ψ + θ& αS ψ θ − β&S θ + γS+ ψ − γSθ22cos 2t  (A1.30)   + ψ− α &   & & &cos 2 t & & & & & αS S22βSψθ+2αSψ θ − βS γθ +S+ ψ − γSθ222 
 = α 4()S2+ αS2ψ4+ β&2Sψ2+ θ&2− α2Sψ2+ αSβ&S αψ +Sθ&− αSβ&Sψ3− αSψ2θ& t y,t& &4&2& 2&  &   &  & & & &2 & & & & & & & & +2βS ψ θ − α2S ψ2 θ2− β2S θ2− γ2Sψ2 +2αS βS ψ θ −2αS γS  ψ θ −2αS ψ θ ψ 4 & & & & &3 && &3&2& & &2 2&2& + αS γS ψ θ +2βS γS θ +2βS θ ψ − βS  γS θ − γSθ42γS ψ + γS  γθ +S θ ψcos 2 t 2 & & α&2Sψ θ − α&SβSθ + α&Sγ&S+ α&Sψ&− α&Sγ&Sθ2− α&S2ψ3θ + α&SβSψ2θ − α&Sγ&ψ -2             S 2 2 2 2 2 2 2 2 − α&ψψ&+ α&γ&ψ θ+&α&βψ2θ −&β2ψ θ +&β&γ ψ +&ψβ&ψ −&β& + θγ ψ&α ψθ&θ      S S S S S  S  S S S   S S 2S  2 4 2 − β&θ θ& & &θ&θS  + γ&S θ+ψ& θ − γ&S 2 tsin 2 (A1.31)  
   
 
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