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Chapitre
Th´eorie
2.1
2
des
noeuds
Notions de base
3 D´enition2.1.1.Un nœudKdansRnesoestura´isuvid´tee´herpmoeolercceau.
Remarque2.1.2.otcnnoisra´dfeuaesnœudsld´ereraditboutneessinO.siethneor´eP ´equivalenteenconside´rantdesnoeudsline´airesparmorceau. 1 3 Exemple2.1.3.Le noeud trivial :SCC×R=R. 2 3 Exemple2.1.4.uein´tdeeLasph`erCeet´etsonS. On utilisera la projection 3 3 st´ere´ographiques:S\ {(0, i)}=R. Pourpetqpremiers entre eux le noeud to riqueKp,qest l’image du plongement :
1 3 γp,q:S7→R 1p q z7→s( (zz , )) 2 Exercice2.1.5.oteruadgaemd´unenparlerulaucCKp,q. Dessiner la projection sur le premierplandecoordonne´esdeK2,3etK3,2. 3 D´enition2.1.6.Un entrelacsL`ancomposantes dansRtee´ra´isuveuntosse die´omorphe`aluniondisjointedencercles
3 De´nition2.1.7.Une isotopie (ambiante) entre les deux nœudsKetKdansRest une application continue
3 h: [0,1]×R (t, x)
7→
3 R h(t, x) =ht(x)
telle que :h0=IdR,h1(K) =K, pour toutt,htutseidn´eomorphisme. 3 Les deux noeudsKetKsont isotopes si et seulement s’il existe une isotopie entre eux. Si les nœudsKetKsuuqedeanplde,oesemndirot´tnenosh1respecte les orientations.
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Remarque2.1.8.ˆmaLedemn´eioitaunvisers´ecirpedtneivnoclI.saceltrenesrloutp lescomposantessontordonne´esounon. Leproble`mefondamentalenth´eoriedesnœudsestlaclassicationa`isotopiepre`s. On obtient une classification a priori plus fine si on prend en compte l’orientation.
D´enition2.1.9.Un nœud est inversible si et seulement s’il est isotope au nœud muni delorientationoppos´ee.
Il existe des nœuds non inversibles. Il est difficile de trouver des invariants qui les d´etectent.
De´nition2.1.10.Le miroir d’un nœudKest l’image deKrlpano(eixrae´x, y, z)7→ (x, y,ztUsnineœlee)u.ntmeilsitseotosa`epnoslsra´echhimp)antemevitisop(tsedu miroir.
D´enition2.1.11.udnœdemeimnetuesgnoisremqire´ne´unceuedrcleUdnairgma 2 dansleplanoriente´R, avec une informationdessusdessousen chaque point double. Ici g´en´eriquesigniequeles´eventuelspointsmultiplessontdespointsdoubles`atangentes distinctes.
3 A chaque diagramme on associe une classe d’isotopie de nœud dansRsndie`er:onco 2 dabordlacourbeimmerge´edansR×{0}, puis onblessdouiotnelpsosture´eplaend´tnac¸ le point de l’arc de dessous au niveauz=ǫ <xinseuaevisins`adpointsvo0e,ltse interm´ediaires. Cequipr´ece`dese´tendnaturellementauxentrelacs.
3 D´enition2.1.12.Un nœud dansRetseulementsisaesnpteitosgnoi´ne´qireiseu 2 2 projection surR=R× {0}.eiruqbruocenutse´eeng´eeg´ermmei
1 3 Dans l’espace des immersions deSdansRles plongements forment un ouvert. Par transverslit´e,lesplongementsenpositionge´n´eriqueformentunouvertdense:onpeut trouverunnoeudarbitrairementprocheisotopeenpositionge´n´erique.
The´ore`me2.1.13(Reidemeister).Deuxdiagramœusn(rdsp.essdedsemne´essiedtn entrelacs), isotopes si et seulement s’ils se correspondent par une suite d’isotopies planes etdemouvementsdeReidemeisterd´ecritsdanslagure2.1.
Remarque2.1.14.emevedtntneirosacelsnaDconseudeyali´eilmeuoahuqercrdie´ Reidemeisteraveclesdi´erentesorientations. Ceth´eor`emepermetdede´nirdesinvariantsdisotopie`apartirdefonctionssurles diagrammes.Unpremierexempleestlenlacementdedeuxcomposantesoriente´esKet K. A chaque croisement d’un diagramme on attribue un signe±es1lnollgierae`´ueednqi sur la figure 2.2.
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Fig.2.1 – Mouvements de Reidemeister
croisementpositif:
,
croisementn´egatif:
Fig.oicrmeseneigund22.Stn
Proposition 2.1.15.Soit(K, K)ntsapoomxceuade`e´tnese´rper,seunne´tosirlecanert par un diagramme(D, D), alors la demisomme des signes des croisements (mixtes) entreDetDndpecnon´eedemeiReid,etdstermruotnaptnedevemientnetuiaarnvrise quedelaclassedisotopieorient´eede(K, K).
De´nition2.1.16.On appelle enlacement deKetKl’invariant de la proposition pre´c´edente.
Noeuds solides 2 1 D´enition2.1.17.Un nœud solide est un plongement du tore standardD×Sdans 3 R.
Undiagrammeorient´ede´nitunnœudsolide`aisotopiepr`es.Lame´thodehabituelle 1 de´nitlaˆmedunoeudsolide:limageorient´eede0×S; le prolongement se fait de fa¸conquelimagedechaqueintervalle[0,1]×zsten.engmseunla`lptrapualleae
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Th´eor`eme2.1.18.aidxueDsd´entieormeamgriss´enissentdesnœusdosiledisosotep et seulement s’ils se correspondent par isotopie plane et mouvements de Reidemeister R1’, R2 et R3.
2.2
Fig.2.3 – Mouvement de Reidemeister R1’
Invariants classiques module d’Alexander
:
groupe
fondamental
et
3 3 Onidentielasphe`reSC×CAle´edacticompndxuaadroeRvia la projection 3 ste´re´ographiquedepˆole(0, i,)tenoocsnuœnselsisnadsdrare´eidmaoresd´S. ˆ 3 3 3 Proposition 2.2.1.a) Tout nœud dansSRotepitossedansnœud`aunR. 3 3 3 ˆb) Deux nœuds dansRsont isotopes si et seulement s’il le sont dansR=S. 3 3 3 ˆ Pour un nœudKdansSR=R∪ {∞}, on note :XK=S\K.
De´nition2.2.2.compl´ementdurguoeLudnœduperoegtlesadnofepuudlatnem nœudXK.
Onsupposerag´en´eralementqueKve´letiiopetn, qu’on prendra comme point de base.Legroupefondamentaldunœudned´ependpasdelorientation,maislorientation estutilepourpr´eciserdesg´ene´rateurs. Etantdonne´undiagrammeorient´e,onassocie`achaquearcune´le´mentdugroupe fondamentalrepre´sent´eparunm´eridienquienlaceposistivement,relie´aupointdebase par un chemin vertical dasn le demiespace positif.
The´or`eme2.2.3)er´ese(PrdnoitatngnitriWe.Le groupe fondamental d’un nœud (ou unentrelacs)associ´e`aundiagrammeDa`mcroisements etmelsvee´aenls(onarc petitssegmentsquipassedessous)admetunepre´sentationaveccommeg´en´erateursun lacetme´ridienpourchaquearc,etunerelationpourchaquecroisement,delaforme ab=ca(aelacestlrresetcoaalsurcndpot`an.)re´pruei
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