Cours sur la théorie des noeuds

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Chapitre 2Th´eorie des noeuds2.1 Notions de base3D´efinition 2.1.1. Un nœud K dansR est une sous-vari´et´e diff´eomorphe au cercle.Remarque 2.1.2. Par d´efaut on consid´erera des nœuds lisses. On obtient une th´eorie´equivalente en consid´erant des noeuds lin´eaires par morceau.1 3∼Exemple 2.1.3. Le noeud trivial : S ⊂C⊂C×R =R .2 3 2.1.4. La sph`ere unit´e de C est not´ee S . On utilisera la projection3 3∼st´er´eographique s : S \{(0,i)} R . Pour p et q premiers entre eux le noeud to-=rique K est l’image du plongement :p,q1 3γ : S 7! Rp,q1 p q√z 7! s( (z ,z ))2Exercice 2.1.5. Calculer un param´etrage du noeud K . Dessiner la projection sur lep,qpremier plan de coordonn´ees de K et K .2,3 3,23D´efinition 2.1.6. Un entrelacs L `a n composantes dans R est une sous-vari´et´ediff´eomorphe `a l’union disjointe de n cercles′ 3D´efinition 2.1.7. Une isotopie (ambiante) entre les deux nœuds K et K dansR estune application continue3 3h : [0,1]×R → R(t,x) 7! h(t,x) =h (x)t′3telle que : h =Id , h (K) =K , pour tout t, h est un diff´eomorphisme.0 1 tR′Les deux noeuds K et K sont isotopes si et seulement s’il existe une isotopie entre eux.′Si les nœudsK etK sont orient´es, on demande de plus queh respecte les orientations.18Remarque 2.1.8. La mˆeme d´efinition vaut pour les entrelacs. Il convient de pr´eciser siles composantes sont ordonn´ees ou non.Le probl`eme fondamental en th´eorie des nœuds est la classification `a isotopie pr`es.On obtient une classification ...

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Extrait

Chapitre

Th´eorie

2.1

2

des

noeuds

Notions de base

3 D´efinition2.1.1.Un nœudKdansRnesoestura´isuvid´fftee´herpmoeolercceau.

Remarque2.1.2.otcnnoisra´dfeuaesnœudsld´ereraditboutneessinO.siethneor´eP ´equivalenteenconside´rantdesnoeudsline´airesparmorceau. ∼ 1 3 Exemple2.1.3.Le noeud trivial :S⊂C⊂C×R = R. 2 3 Exemple2.1.4.uein´tdeeLasph`erCeet´etsonS. On utilisera la projection 3 3 ∼ st´ere´ographiques:S\ {(0, i)} = R. Pourpetqpremiers entre eux le noeud to riqueK p,q est l’image du plongement :

1 3 γ p,q :S7→R 1 p q z7→s( (zz , )) √ 2 Exercice2.1.5.oteruadgaemd´unenparlerulaucCK p,q . Dessiner la projection sur le premierplandecoordonne´esdeK 2,3 etK 3,2 . 3 D´efinition2.1.6.Un entrelacsL`ancomposantes dansRtee´ra´isuveuntosse diffe´omorphe`al’uniondisjointedencercles

′3 De´finition2.1.7.Une isotopie (ambiante) entre les deux nœudsKetKdansRest une application continue

3 h: [0,1]×R (t, x)

→ 7→

3 R h(t, x) =h t (x)

′ telle que :h 0 =Id R ,h 1 (K) =K, pour toutt,h t utseffidn´eomorphisme. 3 ′ Les deux noeudsKetKsont isotopes si et seulement s’il existe une isotopie entre eux. ′ Si les nœudsKetKsuuqedeanplde,oesemndirot´tnenosh 1 respecte les orientations.

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Remarque2.1.8.ˆmaLedemfin´eioitaunvisers´ecirpedtneivnoclI.saceltrenesrloutp lescomposantessontordonne´esounon. Leproble`mefondamentalenth´eoriedesnœudsestlaclassificationa`isotopiepre`s. On obtient une classification a priori plus fine si on prend en compte l’orientation.

D´efinition2.1.9.Un nœud est inversible si et seulement s’il est isotope au nœud muni del’orientationoppos´ee.

Il existe des nœuds non inversibles. Il est difficile de trouver des invariants qui les d´etectent.

De´finition2.1.10.Le miroir d’un nœudKest l’image deKrlpano(eflixrae´x, y, z)7→ (x, y,−ztUsnineœlee)u.ntmeils’itseotosa`epnoslsra´echhimp)antemevitisop(tsedu miroir.

D´efinition2.1.11.udnœdemeimnetuesgnoisremqire´ne´unceued’rcleUdnairgma 2 dansleplanoriente´R, avec une informationdessusdessousen chaque point double. Ici g´en´eriquesignifiequeles´eventuelspointsmultiplessontdespointsdoubles`atangentes distinctes.

3 A chaque diagramme on associe une classe d’isotopie de nœud dansRsndie`er:onco 2 d’abordlacourbeimmerge´edansR×{0}, puis onblessdouiotnelpsosture´eplaend´tnac¸ le point de l’arc de dessous au niveauz=−ǫ <xinseuaevisins`adpointsvo0e,ltse interm´ediaires. Cequipr´ece`des’e´tendnaturellementauxentrelacs.

3 D´efinition2.1.12.Un nœud dansRetseulementsisaesnpteitosgnoi´ne´qireiseu 2 2 projection surR=R× {0}.eiruqbruocenutse´eeng´eeg´ermmei

1 3 Dans l’espace des immersions deSdansRles plongements forment un ouvert. Par transverslit´e,lesplongementsenpositionge´n´eriqueformentunouvertdense:onpeut trouverunnoeudarbitrairementprocheisotopeenpositionge´n´erique.

The´ore`me2.1.13(Reidemeister).Deuxdiagramœusn(rdsp.essdedsemnfie´essiedtn entrelacs), isotopes si et seulement s’ils se correspondent par une suite d’isotopies planes etdemouvementsdeReidemeisterd´ecritsdanslafigure2.1.

Remarque2.1.14.emevedtntneirosacelsnaDconseudeyali´eilmeuoahuqercrdie´ Reidemeisteraveclesdiff´erentesorientations. Ceth´eor`emepermetdede´finirdesinvariantsd’isotopie`apartirdefonctionssurles diagrammes.Unpremierexempleestl’enlacementdedeuxcomposantesoriente´esKet ′ K. A chaque croisement d’un diagramme on attribue un signe±es1lnollgierae`´ueednqi sur la figure 2.2.

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Fig.2.1 – Mouvements de Reidemeister

croisementpositif:

,

croisementn´egatif:

Fig.oicrmeseneigund’22.S–tn

′ Proposition 2.1.15.Soit(K, K)ntsapoomxceuade`e´tnese´rper,seunne´tosirlecanert ′ par un diagramme(D, D), alors la demisomme des signes des croisements (mixtes) ′ entreDetDndpecnon´eedemeiReid,etdstermruotnaptnedevemientnetuiaarnvrise ′ quedelaclassed’isotopieorient´eede(K, K).

′ De´finition2.1.16.On appelle enlacement deKetKl’invariant de la proposition pre´c´edente.

Noeuds solides 2 1 D´efinition2.1.17.Un nœud solide est un plongement du tore standardD×Sdans 3 R.

Undiagrammeorient´ede´finitunnœudsolide`aisotopiepr`es.Lame´thodehabituelle 1 de´finitl’aˆmedunoeudsolide:l’imageorient´eede0×S; le prolongement se fait de fa¸conquel’imagedechaqueintervalle[0,1]×zsten.engmseunla`lptrapualleae

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Th´eor`eme2.1.18.aidxueDsd´entieormeamgriss´efinissentdesnœusdosiledisosotep et seulement s’ils se correspondent par isotopie plane et mouvements de Reidemeister R1’, R2 et R3.

2.2

Fig.2.3 – Mouvement de Reidemeister R1’

Invariants classiques module d’Alexander

:

groupe

fondamental

et

3 3 Onidentifielasphe`reS⊂C×C’Alefi´edacticompndxuaaffdroeRvia la projection 3 ste´re´ographiquedepˆole(0, i,)tenoocsnuœnselsisnadsdrare´eidmaoresd´S. ˆ 3 3 3 Proposition 2.2.1.a) Tout nœud dansS≈Rotepitossedansnœud`aunR. 3 3 3 ˆ ∼ b) Deux nœuds dansRsont isotopes si et seulement s’il le sont dansR = S. 3 3 3 ˆ Pour un nœudKdansS≈R=R∪ {∞}, on note :X K =S\K.

De´finition2.2.2.compl´ementdurguoeLudnœduperoegtlesadnofepuudlatnem nœudX K .

Onsupposerag´en´eralementqueKve´letiiopetn∞, qu’on prendra comme point de base.Legroupefondamentaldunœudned´ependpasdel’orientation,maisl’orientation estutilepourpr´eciserdesg´ene´rateurs. Etantdonne´undiagrammeorient´e,onassocie`achaquearcune´le´mentdugroupe fondamentalrepre´sent´eparunm´eridienquienlaceposistivement,relie´aupointdebase par un chemin vertical dasn le demiespace positif.

The´or`eme2.2.3)er´ese(PrdnoitatngnitriWe.Le groupe fondamental d’un nœud (ou unentrelacs)associ´e`aundiagrammeDa`mcroisements etmelsvee´aenls(onarc petitssegmentsquipassedessous)admetunepre´sentationaveccommeg´en´erateursun lacetme´ridienpourchaquearc,etunerelationpourchaquecroisement,delaforme ab=ca(aelacestlrresetco’aalsurcndpot`an.)re´pruei

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