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Complexes de partitions et immeubles de Tits.Jean-Didier Garaud25 avril 2002Table des matieres1 Divers outils 31.1 Theories d’homologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.1.1 Construction de Borel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2 Les approximations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2.1 Hocolim (homotopie colimite) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2.2 De nitions et premiers resultats sur les approximations . . . . . . . 61.2.3 Proprietes des approximations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.2.4 Amplitude des collections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 Approximations des complexes de partitions et des immeubles de Tits 112.1 De nitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.2 Sphericite de P et T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11n k2.3 Modeles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 Le theoreme principal 14IntroductionCe memoire est consacre a l’etude de l’article de G. Z. Arone et W. G. Dwyer, Partitioncomplexes, Tits buildings and symmetric products [1]. Le but du memoire est de developperdes techniques d’approximations des espaces topologiques en vue de demontrer le theoremesuivant :S } ~ nTheoreme 1 Soit n> 1. Si n n’est pas une puissance de p, H (P ;F ) est trivial. Si n pkn =p , il existe un ...

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Complexes de partitions et immeubles de Tits.

Jean-Didier Garaud 25 avril 2002

Tabledesmatieres 1 Divers outils 3 1.1 Theories d’homologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.1 Construction de Borel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2 Les approximations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2.1 Hocolim (homotopie colimite) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2.2Denitionsetpremiersresultatssurlesapproximations.......6 1.2.3 Proprietes des approximations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2.4 Amplitude des collections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2 Approximations des complexes de partitions et des immeubles de Tits 11 2.1 Denitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.2 Sphericite de P n et T k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.3 Modeles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 3Letheoremeprincipal14

Je tiens a remercier M. H. W. Henn, qui a dirige ce memoire et m’a beaucoup aide dans la comprehension de l’article.

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1.1.1 Construction de Borel. Denition3 Soit X un G -espace. La construction de Borel de X par rapport a G est l’espace : X hG = EG  G X = ( EG  X ) /G Denition–Theoreme4 La construction de Borel permet de construire une nouvelle theorie d’homologie : ( X, A ) 7 → H  G ( X, A ; M ) d = ef H  ( X hG , A hG ; M ) est une theorie d’homologie generalisee. 1 Details:ilfautlegerementaggrandir X n   1 de sorte que ce soit eectiv ement un recouvrement par lesinterieursde D et de X n   1 . Puis remarquer que X n   1 ∩ D est une reunion de cercles, en fait le bord de D .

Lesapproximation X(=)p0uonr0< 1 . 2. e;rcpatron G n e H nnoitse’vsapire elesruiroximappropvuoPrunotsiocr ecpitomoe)itimoloH1.2.1 s oh(miloc entioiovcilida colim. En rlerd’hoovuoaprilbaepedestleragioat,ins naTseddDetruofcntFunrieeegoecattitepenuDtioS .seteriopprestlne asedmoix’dsetenueohedriom’hogolLaverication dnargsnalucidself.Iestlitituau atsseisegneuzeolsell,maiait s esef ritoleelstlencfo evreselpte , ser tquelacoserlefainoedoBersnrtcuit uerqtenodenttaorsnemidedemoixa’l d’honcesvaleequi itpmlIse ip.eomot ngioatistreomemmoceinlaerale ticu n par,unnlier udenqieu F De:fred D Fimtuessuneeditmis-xelphedeloco ,x 0 )  1  →(d 1 ,x 1 )  a’ppilacitno ( s 0 d iopseletcepseriu ) q x nn ,(d →  n

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