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Extrait

Analyse harmonique sur un espace
sym´etrique ordonn´e et sur son dual
compact.
J´er´emie Unterberger
Th`ese de doctorat de l’Universit´e Paris VI (1999).Table des mati`eres
0 Introduction 3
1 Fonctions hyperg´eom´etriques de premi`ere et deuxi`eme esp`ece 9
1.1 D´efinition et caract´erisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2 Op´erateurs de d´ecalage et ´evaluation
en l’origine des fonctions hyperg´eom´etriques . . . . . . . . . . . 16
1.3 Valeur au bord des fonctions hyperg´eom´etriques de deuxi`eme
esp`ece . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.3.1 Cas de rang 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.3.2 Cas g´en´eral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2 Transformation de Stieltjes associ´ee `a l’espace sym´etrique or-
donn´e SL(2,R)/SO(1,1) 37
2.1 D´efinition et propri´et´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.2 Noyau de Stieltjes et noyau de Cauchy-Szeg¨o . . . . . . . . . . . 42
2.3 Applications de valeur au bord et calcul du noyau de Stieltjes . 47
3 Etude g´en´erale de la transformation de Stieltjes 49
3.0 D´efinition des espaces sym´etriques ordonn´es et de leurs duaux
riemanniens compact et non compact . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.1 D´efinition g´en´erale de la transformation de Stieltjes . . . . . . . 52
3.2 Cas des espaces sym´etriques ordonn´es de rang un . . . . . . . . 57
3.3 Fonctions sph´eriques d’un espace ordonn´e et de son dual rie-
mannien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.4 Application des op´erateurs de d´ecalage et de l’homomorphisme
de valeur au bord `a l’´etude du noyau de Stieltjes . . . . . . . . . 68
4 Transformation de Stieltjes sur un espace sym´etrique de type
Olshanski 72
4.1 Prolongement analytique du noyau de Stieltjes . . . . . . . . . . 72
4.1.1 Cas g´en´eral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
4.1.2 CalculdunoyaudeStieltjesdanslecasdeSp(n,C)/Sp(n,C)∩
SU(n,n) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
14.2 TransformationdeStieltjesetvaleuraubordsurlegroupecom-
pact dual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
4.3 InversiondelatransformationdeLaplacesph´eriqued’unespace
sym´etrique de type Olshanski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
5 TransformationdeStieltjessurlesespacessym´etriquesSU(r,r)/SL(r,C)×
∗R 83+
∗5.1 Fonctionssph´eriquesdeSU(r,r)/SL(r,C)×R etSU(r,r)/S(U(r)×+
U(r)) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
5.2 Calcul du noyau de Stieltjes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
5.3 D´etermination de l’image de l’application de Stieltjes dans le
∗cas de SU(r,r)/SL(r,C)×R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90+
6 Espaces sym´etriques en dualit´e, repr´esentations holomorphes,
noyau de Cauchy-Szeg¨o et noyau de Stieltjes 96
6.1 Structure et g´eom´etrie des espaces sym´etriques causaux . . . . . 97
6.1.1 Espaces sym´etriques de type hermitien . . . . . . . . . . 98
6.1.2 Cas des espaces sym´etriques de type Cayley . . . . . . . 99
6.1.3 Duaux riemanniens des espaces sym´etriques de type Ol-
shanski et de type Cayley . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
6.2 L’induction holomorphe: s´erie discr`ete holomorphe relative et
repr´esentations sph´eriques du dual compact . . . . . . . . . . . 102
6.2.1 S´erie discr`ete holomorphe d’un groupe hermitien et es-
2 0pace de HardyH (Γ(C )) . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
6.2.2 S´erie discr`ete holomorphe relative d’un espace de type
hermitien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
6.2.3 Induction holomorphe et repr´esentations sph´eriques de U 107
6.3 Noyau de Cauchy-Szeg¨o et noyau de Stieltjes . . . . . . . . . . . 110
6.3.1 Cas d’un espace sym´etrique de type Olshanski . . . . . . 110
6.3.2 Cas d’un espace sym´etrique ordonn´e de type Cayley . . . 112
6.4 Dimension formelle d’une repr´esentation de la s´erie discr`ete
holomorphe relative d’un espace sym´etrique de type Cayley et
correspondance d’Harish-Chandra . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
6.4.1 Quelques formules de d´ecomposition . . . . . . . . . . . 116
6.4.2 Calcul sur G/H . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
r6.4.3 Calcul sur U/K . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
6.4.4 Exemple de SU(1,1)/SO(1,1) . . . . . . . . . . . . . . . 122
r r6.4.5 Calcul de α, α , β et β . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
Rfrences bibliographiques 127
Notations 130
2Introduction
La source de notre travail est l’´etude suivante sur le prolongement analytique
des s´eries de Fourier surR. Soit F la fonction d´efinie sur [−1,1] par
X
F(cosθ) =h +2 h cosmθ.0 m
m≥1
Supposons que les coefficients h = h(m) soient les valeurs aux entiers d’unem
1fonction h(s) analytique sur le demi-plan Re s > − . Sous certaines condi-
2
tions de croissance, cette fonction peut alors s’´ecrire comme la transform´ee de
+Laplace d’une fonction `a support dansR :
Z ∞
−λth(λ) =Lf(λ) = f(t)e dt.
0
Intervertissant la somme et l’int´egrale, on obtient
Af(cosθ) := F(cosθ)
Z ∞∞ X
−mt= f(t)(2 e cosmθ+1) dt
0 m=1
Z ˜∞ f(x)
= dx
1 x−cosθ
˜avec f(t) =f(cht).
La fonction F s’´etend donc sur le plan coup´e C\[1,∞[; de plus, comme
on peut le montrer, la transformation A ainsi d´efinie r´ealise une isom´etrie
2 2surjective d’un espace de fonction L sur un espace de Hardy H (C). Elle
s’inverse en prenant la valeur au bord sur la coupure :
˜F(x+i0)−F(x−i0) = 2iπf(x), x∈ [1,∞[. (1)
Nous appellerons A la transformation de Stieltjes. Cette derni`ere, d´efinie
classiquement pour les fonctions surR comme+
Z Z
∞ ∞
−xy −yzL(Lf)(x) = e ( e f(z) dz) dy
0 0
Z ∞ f(z)
= dz,
x+z0
3a en effet un noyau similaire `a celui de la transformationA.
Cette id´ee de transformer une s´erie de Fourier en une int´egrale afin d’en
obtenir un prolongement analytique a ´et´e appliqu´ee par N.Watson ([Wat]),
Sommerfeld ([Som]), Regge ([Reg]) et Bros et Viano ([B-V]) `a des probl`emes
d’ondes radio, puis `a l’estimation de matrices de diffusion en m´ecanique quan-
tique et en th´eorie des champs.
rSoit U/K un espace riemannien sym´etrique compact. Nous supposons
rque U/K est le dual riemannien d’un espace sym´etrique ordonn´e G/H au
´sens de l’article [FJ] de Flensted- Jensen (voir aussi [H-O], 1.2.3), et que ces
deuxespacessoientdeuxformesr´eellesdumˆemeespacesym´etriquecomplexifi´e
rU /K =G /H . Lesespacessym´etriquesordonn´es,munisd’unordrepartiel,C C CC
se prˆetent `a la g´en´eralisation de la transformation de Laplace. On note a un
sous-espace de Cartan d´eploy´e de G/H, Δ = Δ(g,a) le syst`eme de racines de
+G/H, Δ un syst`eme de racines positives, a la chambre de Weyl n´egative−
−et A = expa ⊂ G son exponentielle; l’espace vectoriel ia est alors un sous-−
r ˆespace de Cartan de U/K . Soit U r ⊂ a l’ensemble des plus hauts poids desK
r ˆ rrepr´esentations K -sph´eriques de U, et ψ (μ∈ U ) les fonctions sph´eriquesμ K
rde U/K . On s’int´eresse au domaine de prolongement analytique d’une s´erie
de Fourier sph´erique
X
F(u) = h(−(μ+ρ))ψ (u), u∈Uμ+ρ
ˆμ∈U rK
lorsque la fonction h peut s’´ecrire comme la transform´ee de Laplace sph´erique
Z
h(λ) =Lf(λ) = f(a)φ (a) δ(a) daλ
−A
d’une fonction H-biinvariante f sur G, `a support dans le semi-groupe positif
+G . La fonction sph´erique φ de l’espace sym´etrique ordonn´e G/H, ainsi queλ
la transform´ee de Laplace sph´erique L, sont d´efinies en particulier dans un
´ ´article de J.Faraut, J.Hilgert et G.Olafsson (cf. [F-H-0]).
Les propri´et´es de prolongement de F se d´eduisent alors de celles du noyau
int´egral
X
+ ru7→K(x,u) = d φ (x)ψ (u) (x∈G ,u∈U )μ −(λ+ρ) λ+ρ
ˆμ∈U rK
de la transformation
Z
f 7→Af(u) =F(u) = K(a,u)f(a) δ(a) da,
−A
que nous appellerons transformation de Stieltjes g´en´eralis´ee.
4Consid´erant ce probl`eme `a l’envers, nous cherchons `a montrer la relation
quisuitentrelatransformationdeLaplacesph´eriquedel’espacesym´etriqueor-
donn´eG/H et la transformation de Fourier sph´erique sur son dual riemannien
rcompact U/K .
rSoit F une fonction K -biinvariante de carr´e int´egrable sur U qui se pro-
longesurunouvertdenseΩdeG /H , g´en´eralisationduplancoup´eC\[1,∞[C C
d´efini ci-dessus, de sorte qu’on puisse d´efinir la valeur au bord f = B F deG
F sur G. On suppose que l’hyperfonction f est une fonction H-biinvariante,
+suffisamment r´eguli`ere, `a support dans G . On cherche `a montrer que la re-
striction de la transform´ee de Laplace sph´erique de f au r´eseau des plus hauts
poids co¨ıncide avec la transform´ee de Fouri