Bac 2014 Fiche Maths etude fonctions

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• Publié par: lewebpedagogique
• Publié le: 13 décembre 2013
• Nombre de lectures: 1 541
• Langue: Français
• Poids de l'ouvrage: 1 Mo

Extrait

Réussir le bac de mathématiques
Étude de fonctions Fonctions usuelles
Fonction exponentielle
Fonction logarithme néperien
Lien entre exponentielle et logarithme néperien Limites
Opérations
Les résultats sur les limites faisant intervenir somme, produit ou quotient sont
« intuitifs » sauf dans trois cas (appelés « formes indéterminées »), où l on ne peut
pas conclure directement et où l on doit au cas par cas « lever l indéterminée ».
•  Une somme de fonctions l une tendant vers +∞, l autre vers -∞
•  Un quotient de fonctions, chacune tendant vers 0
•  Un produit de fonctions, l une tendant vers 0, l autre vers l infini
``````````
Lorsque le numérateur et le dénominateur tendent vers 0,
on peut faire apparaître la limite d un taux
d accroissement. La plupart du temps, dans les autres cas,
on lève ces indéterminées en factorisant et en se ramenant
à des limites connues, ou en utilisant les règles suivantes. Limites
Règles opératoires
Limites de polynômes - La limite en l infini d un polynôme est la limite de
son monôme de plus haut degré.
Limites de fractions rationnelles - La limite en l infini d une fraction
rationnelle est la limite du quotient des monômes de plus haut degré.
Exemple :
Exemple :
````
Méthode : Lorsque le dénominateur tend vers 0 et que
le numérateur tend vers L ≠ 0, on étudie le signe du
dénominateur pour savoir si la limite est + ∞ ou ‐∞. Limites
Règles opératoires
Croissances comparées
Dans une limite faisant intervenir des polynômes, des exponentielles, des
logarithmes, après s être assuré que la forme est indéterminée, on factorise
pour faire apparaître une « croissance comparée ».

Dans un produit, en l infini exponentielle impose sa limite aux polynômes,
qui imposent leur limite au logarithme.
``Limites
Règles opératoires
Les autres croissances comparées se déduisent en utilisant les propriétés de
l exponentielle et du logarithme et en se ramenant à celles ci-dessus.
Exemple :
Dans une copie, précisez :
« par croissances comparées ».

Exemple :
Attention !
N écrivez jamais
cela sur une copie !
(on le pense, mais
on ne l écrit pas !)

```
Il faut toujours vérifier si la forme est indéterminée
avant de factoriser. Limites
Composition
Si
Exemple : Limites
Comparaison
Exemple : Continuité
Une fonction f est continue en un réel a de son domaine si
Théorème des valeurs intermédiaires
Soit f une fonction continue sur [a ; b].
Pour tout réel k compris entre f(a) et f(b), il existe au
moins un réel c compris entre a et b tel que f(c) = k
Théorème de bijection
Soit f une fonction continue strictement monotone sur
[a ; b].
Pour tout réel k compris entre f(a) et f(b), l équation f
(x) = k admet une unique solution dans [a ; b]
Lorsque f est continue sur ]a ; b[, on remplace f(a) par et f(b) par
``````````
Cette question est posée quand on ne peut pas résoudre Ces théorèmes donnent l existence de la solution d une
l équation (sinon la question est directement « RESOUDRE équation. Ils s appliquent lorsque la question posée est :
ln  » !) On approche cette solution à l aide de la « montrer qu il existe une (unique) lutions de l équation
table de la machine. f(x) = k dans l intervalle ]a ; b[. Dérivation
Une fonction f est dérivable en a si le taux d accroissement de f entre x et a
admet une limite quand x tend vers a, c est-à-dire :
existe
Ce nombre, appelé nombre dérivé de f en a, se note f (a)

Si f est dérivable en a, f (a) est le coefficient directeur de la meilleure
approximation de la courbe de f par une droite au voisinage d un point, appelée
tangente à la courbe de f au point d abscisse a

Son équation est : y = f(a) + f (a)(x – a)
```````