Devoir Libre n°5 PSI

Description

Devoir Libre n?5 PSI MATHEMATIQUES ( à rendre Vendredi 22 Octobre 2010) Exercice 1 A la suite de nombres réels (uk)k?N on associe les suites (Pn)n?N et (Qn)n?N définies par Pn = n∏ k=0 (1 ? uk) et Qn = n∏ k=0 (1 + uk). 1. On suppose que (Qn)n?N converge. (a) Montrer que (uk)k?N converge vers 0. (b) En prenant uk = 1k , montrer que la réciproque est fausse. 2. On suppose que uk est positif ou nul pour tout k et que la série de terme général uk converge. (a) Etudier la convergence de la suite (Pn)n?N : on pourra utiliser la fonction logarithme népérien. Montrer que, si la suite (Pn)n?N admet une limite nulle, l'un au moins des termes de la suite (uk)k?N est égal à 1. (b) Etudier la convergence de la suite (Qn)n?N. 3. On suppose toujours les uk tous positifs ou nuls, mais on suppose que la série de terme général uk est divergente. (a) Etudier la convergence de la suite (Qn)n?N. (b) Lorsque de plus tous les uk sont strictement inférieurs à 1, calculer la limite de la suite (Pn)n?N.

• endomorphisme de cn


• application identité de cin


• polynôme


• ?i ?


• base canonique de cn


• compagnon du polynôme p1


• devoir libre n?5


• ?21 ?

Sujets

• Polynôme

Informations

• Publié par: pefav
• Publié le: 01 octobre 2010
• Nombre de lectures: 94
• Langue: Français

Extrait

Exercice 1

◦ Devoir Libren5 PSI MATHEMATIQUES ( À rendre Vendredi 22 Octobre 2010)

A la suite de nombres rÉels(u k ) k∈N on associe les suites(P n ) n∈N et(Q n ) n∈N dÉfinies par n n Q Q P n = (1−u k )etQ n = (1+u k ). k=0k=0 1. Onsuppose que(Q n ) n∈N converge. (a) Montrerque(u k ) k∈N converge vers 0. 1 (b) Enprenantu k =, montrer que la rÉciproque est fausse. k 2. On suppose queu k est positif ou nul pour toutket que la sÉrie de terme gÉnÉralu k converge. (a) Etudierla convergence de la suite(P n ) n∈N : on pourra utiliser la fonction logarithme nÉpÉrien. Montrer que, si la suite(P n ) n∈N admet une limite nulle, l’un au moins des termes de la suite(u k ) k∈N est Égal À1. (b) Etudierla convergence de la suite(Q n ) n∈N . 3. Onsuppose toujours lesu k tous positifs ou nuls, mais on suppose que la sÉrie de terme gÉnÉralu k est divergente. (a) Etudierla convergence de la suite(Q n ) n∈N . (b) Lorsquede plus tous lesu k sont strictement infÉrieurs À1, calculer la limite de la suite (P n ) n∈N . 4. On suppose dÉsormais que lesu k sont de signe quelconque mais que la sÉrie de terme gÉnÉral|u k |est convergente. Etudier la convergence de la suite(Q n ) n∈N . Montrer que, si la suite(Q n ) n∈N admet une limite nulle, l’un au moins desu k est Égal À −1. 5. On suppose dÉsormais que lesu k sont de signe quelconque mais que la sÉrie de terme gÉnÉralu k est convergente. P 2 (a) Montrerque, si la sÉrieuconverge, alors la suite(Q n ) n∈N converge et sa limite n est non nulle. P 2 (b) Montrerque, si la sÉrieudiverge, alors la suite(Q n ) n∈N converge vers 0. n k+1 (−1) 6. Dansle cas particulier oÙu 0 est Égal À 1 et oÙu k est Égal À − √ pour tout entierk k supÉrieur ou Égal À1, Étudier la convergence de la suite associÉe(Q n ) n∈N .On sera amenÉ À faire un dÉveloppement limiÉ deln(1 +u k ).

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