Devoir Surveillé n PSI

Description

Devoir Surveillé n?1 PSI MATHEMATIQUES (Samedi 24 Septembre 2011) (durée : 4 heures) Problème I On considère ici l'espace vectoriel réel E = M4(IR) muni de ses lois usuelles, et qui est aussi muni du produit matriciel noté ?. On note, pour (x, y, z, t) ? IR4, diag(x, y, z, t) = ? ? ? ? x 0 0 0 0 y 0 0 0 0 z 0 0 0 0 t ? ? ? ? On note I = diag(1, 1, 1, 1). Soit A = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 1 √ 2 0 ? 1 √ 2 1 √ 2 0 ? 1 √ 2 ?1 0 ? 1 √ 2 ?1 ? 1 √ 2 ? 1 √ 2 ?1 ? 1 √ 2 0 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? On note f l'endomrphisme de E dont A est la matrice dans la base canonique de IR4. 1. Démontrer que E est de dimension finie : Donner une base et sa dimension. 2. Quel est le rang de A ? A est-elle semblable à J = diag(1, 1, 0, 0) ? 3.

• b0 de ir4


• dimension


• devoir surveillé n?1


• existence de matrices s1


• hyperplan vectoriel


• coefficients réels


• ?1 ?


• matrice dans la base canonique de ir4


• matrice inversible


• dimen- sion de imtu

Sujets

• Dimensión
• Matrice inversible

Informations

• Publié par: pefav
• Publié le: 01 septembre 2011
• Nombre de lectures: 196

Extrait

◦ Devoir SurveillÉn1 PSI MATHEMATIQUES (Samedi 24 Septembre 2011) (durÉe : 4 heures)

ProblÈme I On considÈre ici l’espace vectoriel rÉelE=M 4 (IR)muni de ses lois usuelles, et qui est aussi muni du produit matriciel notÉ×. 4 On note, pour(x, y, z, t)∈IR,   x0 0 0 0y0 0  diag(x, y, z, t) =   0 0z0 0 0 0t On noteI=diag(1,1,1,1).   1 1 1 √ 0 − √ 2 2 1 1 √ 0− − √ 1 2 2 SoitA= 1 1 0 − √ −1 − √  2 2    1 1 − √ −1 − √ 0 2 2 4 On notefl’endomrphisme deEdontAest la matrice dans la base canonique deIR. 1. DÉmontrerqueEest de dimension finie : Donner une base et sa dimension. 2. Quelest le rang deA?Aest-elle semblable ÀJ=diag(1,1,0,0)? 3. MontrerqueE= ker(f+ 2Id E )⊕ker(f−2Id E )⊕kerf 4. MontrerqueAest semblable Àdiag(2,−2,0,0). 5. Montrerl’existence de trois endomorphismes deEtelle que : Id E =p 1 +p 2 +p 3 ∀i∈ {1,2,3}, p i ◦p i =p i 2 ∀(i, j)∈ {1,2,3}, i6=j=⇒p i ◦p j = 0 f= 2p 1 −2p 2 6. Etablirl’existence de trois matricesU, V, Wtelles que : Id=U+V+W 2 22 U=U;V=V;W=W U V=V U=U W=W U=V W=W V= 0

7. MontrerqueΨ :M7−→AM−M Aest un endomorphisme deE. 8. EndÉduire queC={M∈E/AM=M A}est un sous espace vectoriel deE.

1