Devoir Surveille n PSI

Description

Devoir Surveille n?3 PSI MATHEMATIQUES (Samedi 2 Octobre 2010) (dure : 4 heures) Questions de cours 1. Demontrer que la serie harmonique diverge. 2. Citer et demontrer la condition necessaire de convergence d'une serie. Donner un contre- exemple montrant que cette condition n'est pas suffisante. 3. Etablir qu'il existe ? ? IR, n∑ k=1 1 k = ln(n) + ?+ o n?+∞ (1). 4. Citer cinq criteres permettant d'obtenir la nature d'une serie a termes positifs. 5. Citer et demontrer le C.S.S.A. Exercice I – Etude de series dont le terme general est le reste d'une serie convergente. Soit n0 un entier naturel fixe. Soit ∑ n>n0 an une serie convergente. On definit pour n entier naturel superieur ou egal a n0 , rn son reste de rang n : rn = +∞∑ k=n+1 ak. Le but de l'exercice est d'etudier la convergence de la serie ∑ n>n0 rn dans trois exemples differents. Exemple 1 1. On pose pour n> 0, an = 1 2n . Calculer rn puis montrer que ∑ n> 0 rn converge et calculer sa somme.

• reel quelconque


• expression integrale de rn


• devoir surveille n?3


• condition necessaire de convergence


• convergence de la serie ∑


• serie


• nature de la serie ∑


• regle de raabe-duhamel

Sujets

• Règle de Raabe-Duhamel

Informations

• Publié par: pefav
• Publié le: 01 octobre 2010
• Nombre de lectures: 128
• Langue: Français

Extrait

Questions de cours

◦ DevoirSurveill´en3 PSI MATHEMATIQUES (Samedi 2 Octobre 2010) (dure : 4 heures)

1.D´emontrerquelas´erieharmoniquediverge. 2.Citeretd´emontrerlaconditionn´ecessairedeconvergenced’unes´erie.Donneruncontre- exemple montrant que cette condition n’est pas suffisante. n X 1 3. Etablir qu’il existeγ∈IRln(, =n) +γ+o(1). n→+∞ k k=1 4.Citercinqcrit`erespermettantd’obtenirlanatured’unes´erie`atermespositifs. 5.Citeretde´montrerleC.S.S.A.

ExerciceI–Etudedes´eriesdontletermege´ne´ralestlerested’unese´rie convergente. P Soitn 0 iltfix´et.uSroeernaentinua n efid´One.routpniuneeioc´sreegtnvnrenentier naturel n>n 0 +∞ P sup´erieurou´egal`an 0 ,r n son reste de rangn:r n =a k . k=n+1 P Lebutdel’exerciceestd’´etudierlaconvergencedelase´rier n desplemexisrostanst.id´ffrene n>n 0 Exemple 1 1 1.On pose pourn>0,a n = . n 2 P Calculerr n puis montrer quer n converge et calculer sa somme. n>0

Exemple 2 1 2.On pose pourn>1,a n = . 2 n Nousallonschercherune´quivalentde(r n ). Soitkitreus´preeiruuo.1a`laugnee´n 1 11 a.Montrer que∀t∈[k, k+ 1],6 6. 2 22 (k+ 1)t k b.quepuired´edEnulelurnnnoeitntanrtruoetuonet pour tout entierNus´perieur`a Z N N X N+1 P 1 dt1 2et`anon a :+ 1,6 6. 2 22 (k+ 1)t k k=n+1 n+1 k=n+1 c.relnnatutierutenlnounndEopeuotruude´qerin, on a : 1 11 6r n 6+ . 2 n+ 1n(+ 1n+ 1) d.qeiuaveltned(´nusrolarennoDr n ) lorsquenest au voisinage de +∞. P Quepeut-onenconcluresurlanaturedelas´erier n ? n>1

1