Devoir Surveillé n05 PSI

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Devoir Surveillé n05 PSI MATHEMATIQUES (Samedi4février2012) (durée:4heures) Exercice1 1.Soientn E IN* , f unefonctioncontinuesur[a,b]oùa < b,Co,CI,', Cn-l, n réelstels quepour tout entierk E [0,n - 1],Ck E [a+kb~a,a +(k + 1)b~a]. Justifier que: (b ) n-l r - a b nJ~oo ;;- ?; f(Ck)=1 f(x)dx n-l 2.Soit,pourtoutnE IN*, Un=2: ~ --' k=On + Calculer lim Un.n-++oo 3.Danscettequestion,f désigneunefonctionréelledeclasseel sur[0,1],n unentier naturelnonnul. On pose: t 1 n-l (k)- Rn =Jo f(x)dx- ; 2:f ; .o k=O - Pourtoutx E [0,1],F(x) = lX f(t)dt. a. MontrerqueF estC2sur[0,1]. b. Prouverque n-l {k+l ( (k)) n-l [ (k 1) (k) 1 (k)]Rn=?;J~n f(x)-f; dX=?; F : -F; -;F' ; c.

• hermite


• devoir surveillé n05


• développementen série de hermite soitn


• problèmetraite de quelquespropriétésdes polynômesde


• polynômexk seconfondavecla fonctionpolynomialeréellex


• sériede termegénéralun


• famille orthogonalepourun


• déduirela limitedela


• justifierl'égalitésuivante


• famille de polynômes orthogonaux

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