E N A C Ingénieurs

Description

SESSION 1995 E.N.A.C. Ingénieurs FILIERE M COMPOSITION DE MATHEMATIQUES. OPTION - I - R[X] étant l'espace vectoriel des polynômes à coefficients réels, on désigne par E le sous-espace de R[X] ayant pour éléments les polynômes P tels que ∫1 0 P(x) dx = 0. On appelera D l'endomorphisme de R[X] associant à tout polynôme P sa dérivée P ?, et d la restriction de D à E. a) 1) Montrer que d est un isomorphisme de E sur R[X]. On désignera par ? l'isomorphisme réciproque : ? = d(?1). 2) Vérifier que pour tout élément Q de R[X], le polynôme P = ?(Q) est défini par : ?x ? R, P(x) = ∫x 0 Q(t) dt + ∫1 0 (t ? 1)Q(t) dt. b) On considère la suite (Bn)n?N dans R[X] définie par B0 = 1 et par la relation de récurrence : ?n ? N, Bn+1 = ?(Bn). 1) Expliciter B1 et B2. 2) Vérifier que pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 2, on a : Bn(0) = Bn(1).

• espaces vectoriels de polynômes


• égalité établie dans la question précédente


• e? ?

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Extrait

SESSION 1995

E.N.A.C. Ingénieurs

FILIERE M

COMPOSITION DE MATHEMATIQUES. OPTION

 I  R[X]étant l’espace vectoriel des polynômes à coefficients réels, on désigne parEle sousespace deR[X]ayant pour éléments les polynômesPtels que Z 1 P(x)dx=0. 0 ′ On appeleraDl’endomorphisme deR[X]associant à tout polynômePsa dérivéeP, etdla restriction deDàE. (−1) a) 1)Montrer quedest un isomorphisme deEsurR[X]. On désignera parϕl’isomorphisme réciproque :ϕ=d. 2)Vérifier que pour tout élémentQdeR[X], le polynômeP=ϕ(Q)est défini par : Z Z x 1 ∀x∈R, P(x) =Q(t)dt+ (t−1)Q(t)dt. 0 0 b)On considère la suite(B n ) n∈N dansR[X]définie parB 0 =1et par la relation de récurrence : ∀n∈N, B n+1 =ϕ(B n ).

1)ExpliciterB 1 etB 2 . 2)Vérifier que pour tout entier naturelnsupérieur ou égal à2, on a :B n (0) =B n (1). c)A tout entier natureln, on associe le polynômeP n défini par : n ∀x∈R, P n (x) = (−1)B n (1−x). ′ Pe 1)Pour tout entier natureln, exprimer n+1 n fonction deP n . 2)Montrer que pour toutndansNP n+1 =ϕ(P n ). 3)En déduire l’expression deB n (1−x)en fonction deB n (x). d)Dans cette question,pest un entier naturel non nul. Pour toutndeNon pose : p−1   X x+j n−1 p B n =Q n (x). p j=0 1)Montrer que :Q n+1 =ϕ(Q n ). ∗ 2)En déduire que l’on a pour tout entierpdansN: p−1   X x+j n−1 ∀x∈R, B n (x) =p B n . p j=0 e)A tout entierndeN, on associe le polynômeR n défini par : R n =B n+1 (x+1) −B n+1 (x). Z x 1)Démontrer que l’on a pour toutn:∀x∈R, R n+1 (x) =R n (t)dt. 0 1