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An unfitted discontinuous Galerkin scheme for micro-scale simulations and numerical upscaling [Elektronische Ressource] / vorgelegt von Christian Engwer

De
134 pages
INAUGURAL–DISSERTATIONzurErlangung der DoktorwürdederNaturwissenschaftlich-Mathematischen GesamtfakultätderRuprecht-Karls-Universität Heidelbergvorgelegt vonDiplom-Physiker Christian Engweraus Bad KreuznachTag der müdlichen Prüfung: 30. Oktober 2009An Unfitted Discontinuous GalerkinScheme for Micro-scale Simulations andNumerical UpscalingChristian EngwerJune 5, 2009Gutachter: Prof. Dr. Peter BastianProf. Dr. Rolf RannacherAcknowledgmentsI’d like to take the chance to express my gratitude to all the people whosupported and helped me while I was working on this thesis.First of all my gratitude goes to Prof. Peter Bastian (Universität Heidelberg), for giving me the opportunity to work on this interesting subjectand for the possibility to contribute actively to the DUNE project. He helped me with many fruitful discussions, suggestions and valuable commentsconcerning this work and he always took the time to sit down and discuss,even if he actually had no time at all.I’d like to thank my colleagues for a great time and good atmosphere.Especially to Markus, Olaf and Sven, with whom I could discuss endlesslyover scientific problems and world politics.This work would not have been possible without the software libraryDUNE thus my thank goes to all my fellow developers, particularly Oliver,who became a good friend.
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INAUGURAL–DISSERTATION
zur
Erlangung der Doktorwürde
der
Naturwissenschaftlich-Mathematischen Gesamtfakultät
der
Ruprecht-Karls-Universität Heidelberg
vorgelegt von
Diplom-Physiker Christian Engwer
aus Bad Kreuznach
Tag der müdlichen Prüfung: 30. Oktober 2009An Unfitted Discontinuous Galerkin
Scheme for Micro-scale Simulations and
Numerical Upscaling
Christian Engwer
June 5, 2009
Gutachter: Prof. Dr. Peter Bastian
Prof. Dr. Rolf RannacherAcknowledgments
I’d like to take the chance to express my gratitude to all the people who
supported and helped me while I was working on this thesis.
First of all my gratitude goes to Prof. Peter Bastian (Universität Hei
delberg), for giving me the opportunity to work on this interesting subject
and for the possibility to contribute actively to the DUNE project. He hel
ped me with many fruitful discussions, suggestions and valuable comments
concerning this work and he always took the time to sit down and discuss,
even if he actually had no time at all.
I’d like to thank my colleagues for a great time and good atmosphere.
Especially to Markus, Olaf and Sven, with whom I could discuss endlessly
over scientific problems and world politics.
This work would not have been possible without the software library
DUNE thus my thank goes to all my fellow developers, particularly Oliver,
who became a good friend.
Moreover, I my gratitude goes to my proof readers, especially to Sabine,
Vera, Dirk and Mariya, who read everything again and again; Dirk for offe-
ring me a desk in Heidelberg during my exile at University of Stuttgart, for
countless discussions and many coffees; to my housemates and my friends
for being the counterbalance to my daily work.
And last but not least I’d like to thank Vera for her patience and her
support during the years of my work.Abstract
The aim of this thesis is the development of a new discretization method for solving
partial differential equations on complex shaped domains. Many biological, physical,
and chemical applications involve processes on such domains and the numerical treat-
ment of such processes is a challenging task.
The proposed method offers a higher-order discretization where the mesh is not
required to resolve the complex shaped boundary. The method combines the Unfitted
Finite Element method with a Discontinuous Galerkin discretization. Trial and test
functions are defined on a structured grid and their support is restricted according
to the domain boundary. Essential boundary conditions are imposed weakly via the
Discontinuous Galerkin formulation. Thus, the mesh is not required to resolve the
domain boundary but higher-order ansatz functions can still be used. Hence it is
possible to vary the size of the ansatz space independently of the geometry.
For an elliptic test problem, stability and convergence properties of the method are
analyzed numerically. Even though some assumptions of the underlying Discontinuous
Galerkin method regarding the finite element mesh cannot be guaranteed, the method
is stable in all tests and converges optimally.
The control over the size of the approximation space is especially attractive for
applications like numerical upscaling and multiscale simulations. In this t hesis the
method is successfully applied to numerical upscaling of a stationary flow problem and
toatime-dependenttransportproblem,wherethecomplexdomainsusedareartificially
generated as well as experimentally measured structures, obtained from micro X-ray
CT scans.Zusammenfassung
Gegenstand dieser Arbeit ist die Entwicklung eines Diskretisierungsverfahrens zur Lö-
sung partieller Differentialgleichungen auf Gebieten mit komplizierten Rändern. In
vielen biologischen, physikalischen und chemischen Anwendungen treten Prozesse auf
solchen Gebieten auf, deren numerische Behandlung eine Herausforderung darstellt.
Das entwickelte Verfahren erlaubt eine Diskretisierung mit Ansatzfunktionen höhe-
rer Ordnung, wobei das Gitter den komplexen Rand nicht auflösen muss. Das Ver-
fahren stellt eine Kombination aus der „Unfitted Finite Element”-Methode und ei
nem Discontinuous-Galerkin-Verfahren dar. Ansatz- und Testfunktionen sind auf ei
nemstrukturiertenGitterdefiniertundihrTrägerwirdentsprechenddesGebietsrandes
eingeschränkt.EssentielleRandbedingungenwerdendurchdieDiscontinuous-Galerkin-
Formulierung schwach erzwungen. Dies führt dazu, dass das Gitter den Gebietsrand
nichtauflösenmuss,abertrotzdemAnsatzfunktionenhöhererOrdnungverwendetwer-
den können. Dadurch ist es möglich die Größe des Ansatzraumes unabhängig von der
geometrischen Struktur zu variieren.
Anhand eines elliptischen Testproblems werden Stabilitäts- und Konvergenzeigen-
schaften des Verfahrens numerisch untersucht. Auch wenn verschiedene Voraussetzun-
gen des zugrunde liegenden Discontinous-Galerkin-Verfahrens bezüglich des Finite-
Elemente-Gitters nicht garantiert werden können, zeigt sich das Verfahren in allen
Tests stabil und konvergiert optimal.
Die Eigenschaft, die Größe des Ansatzraumes frei wählen zu können, macht das
Verfahren besonders attraktiv für Anwendungen im Bereich des numerischen Ups-
calings oder für Mehrskalenverfahren. In dieser Arbeit wird die Methode erfolgreich
zum numerischen Upscaling eines stationären Flußproblems sowie zur Lösung eines
zeitabhängigen Transportproblems angewandt, teils auf künstlich generierte, teils auf
experimentellgemesseneStrukturen,welcheausMikro-CT-Aufnahmengewonnensind.

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