Analyse dans les espaces de Banach, Analysis in Banach spaces

Antonin Prochazka

Description

Sous la direction de Robert Deville, Petr Hajek
Thèse soutenue le 24 juin 2009: Univerzita Karlova (Prague), Bordeaux 1
Cette thèse traite quatre sujets différents de la théorie des espaces de Banach: Le premier est une caractérisation de la propriété de Radon-Nikodym en utilisant la notion du jeu des points et tranches: Le deuxième est une évaluation de l'indice de dentabilité préfaible des espaces C(K) où K est un compact du hauteur dénombrable: Le troisième est un renormage des espaces non séparables qui est simultanément LUC, lisse et approximable par des normes d'une lissité plus élevée. Le quatrième est une approche par le théorème de Baire aux principes variationnels paramétriques. La thèse commence par une introduction qui examine le contexte de ces résultats.
-Espaces de Banach
-Jeu des points et tranches
-Caractérisation de la propriété de Radon-Nikodym
-Caractérisation de la superreflexivité
-Minimisation
-Dépendence continue des minimiseurs
-Principe variationel lisse
-Indice de dentabilité
-Indice de Szlenk
-Approximation des normes
-LUC
-Lissité
The thesis deals with four topics in the theory of Banach spaces. The first of them is a characterization of the Radon-Nikodym property using the notion of point-slice games. The second is a computation of the w* dentability index of the spaces C(K), where K is a compact of countable height. The third is a renorming result in nonseparable spaces, producing norms which are differentiable, LUR and approximated by norms of higher smoothness. The fourth topic is a Baire cathegory approach to parametric smooth variational principles. The thesis features an introduction which surveys the background of these results.
-Banach space
-Radon-Nikodym property characterization
-Approximation of norms
-Dentability index
-Continuous dependence of minimizers
Source: http://www.theses.fr/2009BOR13801/document

Sujets

• Espace de Banach
• Optimisation (mathématiques)
• Luc

Informations

• Publié par: Thesee
• Nombre de lectures: 93
• Langue: Français

Extrait

oN d’ordre: 3801
THESE
PRESENTEE A
L’UNIVERSITE BORDEAUX 1
ECOLE DOCTORALE DE MATHEMATIQUES ET INFORMATIQUE
ET
L’UNIVERSITE CHARLES DE PRAGUE
FACULTE DE MATHEMATIQUES ET PHYSIQUE
par Anton n Prochazka
POUR OBTENIR LE GRADE DE
DOCTEUR
SPECIALITE: Mathematiques Pures
ANALYSE DANS LES ESPACES DE BANACH
These dirigee par: Robert Deville et Petr H ajek
Soutenue le 24 juin 2009 a l’Universite Charles de Prague
Devant la commission d’examen formee de:
R. DEVILLE Professeur, Universite Bordeaux 1 Directeur
P. HAJEK Directeur de recherche,
Academy of Sciences of the Czech Republic Directeur
G. LANCIEN Professeur, Universite de Franche-Comte
E. MATHERON Professeur, Universite d’Artois Rapporteur
L. ZAJICEK Professeur, Universite Charles de Prague President
de jury
V. ZIZLER Directeur de recherche,
Academy of Sciences of the Czech Republic RapporteurResume
Cette these traite quatre sujets di erents de la theorie des espaces de Banach: Le premier
est une caracterisation de la propriete de Radon-Nikodym en utilisant la notion du jeu
des points et tranches: Le deuxieme est une evaluation de l’indice de dentabilite prefaible
des espaces C(K) ou K est un compact du hauteur denombrable: Le troisieme est un
renormage des espaces non separables qui est simultanement LUC, lisse et approximable
par des normes d’une lissite plus elevee. Le quatrieme est une approche par le theoreme de
Baire aux principes variationnels parametriques. La these commence par une introduction
qui examine le contexte de ces resultats.
Analysis in Banach spaces
Summary
The thesis deals with four topics in the theory of Banach spaces. The rst of them is a
characterization of the Radon-Nikodym property using the notion of point-slice games.
The second is a computation of the w* dentability index of the spaces C(K), where
K is a compact of countable height. The third is a renorming result in nonseparable
spaces, producing norms which are di erentiable, LUR and approximated by norms of
higher smoothness. The fourth topic is a Baire cathegory approach to parametric smooth
variational principles. The thesis features an introduction which surveys the background
of these results.
Mots-cles
espace de Banach, caracterisation de la propriete de Radon-Nikodym, caracterisation de
superre exivite, l’indice de Szlenk, l’indice de dentabilite, approximation des normes,
LUC, lissite, principle variationnel lisse, minimisation, dependence continue des min-
imiseurs
Keywords
Banach space, Radon-Nikodym property characterization, superre exivity characteriza-
tion, Szlenk index, dentability index, approximation of norms, LUR, smoothness, smooth
variational principle, perturbed minimization, continuous dependence of minimizers
Institut de Mathematiques de Bordeaux,
Universite Bordeaux 1
351, cours de la Liberation - F 33405 TALENCETo BlancaAcknowledgment
This thesis has been written within the \cotutelle" program under the supervision of Petr
H ajek on the Czech side and Robert Deville on the French side. I am sincerely and deeply
grateful to both my advisors for many things. They have introduced many beautiful areas
of modern analysis to me, they have shared their outstanding knowledge with me, guided
me through my research, always pointing me in the right direction. With both Robert
and Petr we have spent a lot of time discussing mathematics or just friendly talking.
They have been ready to meet me and answer my questions virtually any time. Thanks
are due to Petr for putting me in contact with Robert and thanks are due to Robert for
the warm welcome he gave me when I rst came to France. Also, I thank Robert for his
sel ess help with the translation of the introduction of this thesis to French.
I would like to thank Gilles Lancien for his kind invitation to Besan con to collaborate
on the topic which now forms Chapter 3 of this thesis. I have been honored by this
opportunity, I took great pleasure in working with Gilles, and I am grateful for the
inspiring discussions and the time he dedicated to me.
For friendly encouragement and excellent working conditions I thank the members of
the Department of Topology and Functional Analysis of the Academy of Sciences of the
Czech Republic, the Department of Mathematical Analysis of Charles University and the
Institut de Mathematiques de Bordeaux.
I would like to thank the French Government and the Fond Mobility of Charles Uni-
versity for the nancial support of my stay in France. The research presented in this
thesis was also supported by the grants: Institutional Research Plan AV0Z10190503,
A100190502, A100190801, GA CR 201/07/0394.
I thank my parents, sister and grandparents for always encouraging and supporting
me no matter how far from them I was.
The one who deserves my sincerest thanks is Blanca who believed in me and inspired
me during all my studies. For your love and patience, this work is dedicated to you.
Tony Proch azka
Bordeaux, April 2009
56Contents
1 Introduction 9
1.1 Introduction (English) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.1.1 The Radon-Nikodym property . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.1.2 Quantitative aspects of the Radon-Nikodym property . . . . . . . . 11
1.1.3 The Radon-Nikodym property in dual spaces . . . . . . . . . . . . . 12
(! )11.1.4 Spaces C(K), K =; . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.1.5 Norms with good properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.1.6 A parametric variational principle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.2 General notions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.3 Uvod (cesky) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.3.1 Radonova-Nikodymo va vlastnost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.3.2 Kvantitativn rysy Radonovy-Nikodymo vy vlastnosti . . . . . . . . 23
1.3.3 Radonova-Nikodymo va vlastnost v du alech . . . . . . . . . . . . . . 24
(! )11.3.4 Prostory C(K), K =; . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.3.5 Normy s dobrymi vlastnostmi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.3.6 Parametricky variacn princip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.4 Introduction (version fran caise) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
1.4.1 La propriete de Radon-Nikodym . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
1.4.2 Aspects quantitatifs de la propriete de Radon-Nikodym . . . . . . . 34
1.4.3 La propriete de Radon-Nikodym dans les duaux . . . . . . . . . . . 35
(! )11.4.4 Les espaces C(K), K =; . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
1.4.5 Normes avec de bonnes proprietes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
1.4.6 Un principe variationnel parametrique . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2 Games 45
2.1 Preliminaries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.1.1 Games, tactics, strategies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.1.2 Point-slice games . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.1.3 (Small) slices inside slices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.2 No open winning tactics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.3 Characterization of the RNP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.3.1 "-slicings, "-tactics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
78 CONTENTS
2.3.2 Re ning "-slicings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.3.3 Stability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2.3.4 Induction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
2.4 Winning tactics and uniformly rotund norms . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
2.5 Baire one functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
(! )13 Weak dentability index of C(K), K =; 63
3.1 Preliminaries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.2 Weak dentability index of C([0;]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
3.2.1 The upper estimate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
3.2.2 The lower . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
3.3 The general case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
4 Approximation of norms 73
4.1 Preliminaries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
4.1.1 Functions that locally depend on nitely many coordinates . . . . . 73
4.1.2 Facts about convexity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
4.1.3 Projectional resolution of identity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
4.1.4 Approximation of norms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
4.2 Main result . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
4.3 About N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
4.4 About J . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
4.4.1 A \nice" target space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
4.4.2 Mapping X into the \nice" space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
4.4.3 The de nition of J . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
k4.4.4 J is a limit of C -smooth norms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
5 A