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Publications similaires

Limites
Domaine
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Pe´riodicit´e
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Etude du signe
Z´eros,intersectionsaveclesaxes 4.1 Intersections avec l’axe horizontal . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Intersections avec l’axe vertical . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3 4 4 4
8 juillet 2007
Re´sum´e Danscecourttravail,nouspr´esentonslesdi´erentese´tapesdunee´tude defonction`atraversunexemple. Nousnouslimitons`adesfonctionsre´ellesdunevariablere´elle. Etmeˆmestrictement`aunquotientdepolynˆomes. Nousessayonsdepre´senterchacunedes´etapesnonseulementdupoint devuemath´ematiquestrict(c`ad.fairelesop´erationsrigoureusement) maisaussidupointdevuedusensmathe´matique(pourquoifairececi a`cemomentpr´ecis). Letexteestencoreunme´langedenotesdecoursdestin´eesaux´ele`ves etdenotespluspersonnelledutypenotesdanslesmarges`adestination des enseignants”. Cecisertaussidepre´parationpourunge´n´erateurdinterrogationdestine´auxe´tudesdefonctions. Ilsagitdunbac`asablepourdefutursprojetsdonc! Latabledesmatie`resestcliquable.
Yves Delhaye
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Tabledesmatie`res
Introduction 1.1 Plan . . . . . . . . . .
La fonction 2.1 Choix de fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2Num´erateuretd´enominateur.................... 2.3 Factorisations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Etudedefonctions:proce´dureetexemple
3 3
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Asymptotes 8.1 Asymptotes verticales . . . . . . . 8.1.1D´enition.......... 8.1.2 Technique de recherche . . 8.1.3De´termination....... 8.2 Asymptotes horizontales . . . . . . 8.2.1De´nition.......... 8.2.2 Technique de recherche . . 8.2.3D´etermination....... 8.3 Asymptotes obliques . . . . . . . . 8.3.1D´enition.......... 8.3.2 Technique de recherche . . 8.3.3D´etermination.......
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De´rive´es 9.1De´rive´epremie`re........................... 9.1.1D´etermination........................ 9.1.2 Extrema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.2Tableaudesignedelad´erive´epremi`ere.............. 9.3D´eriv´eeseconde............................ 9.3.1D´etermination........................ 9.3.2Ze´rosdelad´erive´eseconde.................
10 Tableau de variation
11 Valeurs pour quelques points
12 Tangentes 12.1 Tangentes aux extrema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.2 Tangente en x = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.3 Tangente en y = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.4 Tangentes en quelques points quelconques . . . . . . . . . . . . .
13 Le graphique
14R´esum´e
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7 7 7 7 8 8 8 8
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Introduction
Lesfonctionssontpr´esentespartout: Ensciences,sinouse´tudionsl´evolutionduner´eactionchimique,lesforces ´electriquesentredescorpscharg´es,lesliaisonschimiques,lacroissancede plantesoudepopulationdebact´eries. Ene´conomie,lorsquenousdevonsnouspenchersurl´evolutiondunmarch´e oularentabilite´dunesoci´et´e. Enmathe´matique,leur´etudenouspre´parea`dautressurprises. Re´aliserune´etudedefonctionrigoureusementestlacl´edelacompr´ehension dephe´nome`nesquisont,autrement,incompre´hensibles. Nousallons,`atitredexempleprendreunefonctionetl´etudiercompl`etement.
1.1 Plan Ilfauttoutdabordavoirunplandesdie´rentese´tapesa`r´ealiser.Ces´etapes nesontpasind´ependantesetsenchaıˆnentlogiquement.Danslintroductionde chaque´etape,nousdiscuteronsdailleursdupourquoidecette´etapemainte-nant.Nousrepasseronssurchacunedecese´tapesenndetravailpournous rappelerlaraisondeleurenchaıˆnement. Pe´riodicite´ Ze´ros Domaine Limites Etude du signe Asymptotes De´riv´ees Tableau de variation Valeurs pour quelques points Tangentes Graphique
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La fonction
Ilyadie´rentstypesdefonctions: les puissances, lespolynˆomes, lesfonctionstrigonom´etriques, les fonctions exponentielles, ettouteslescombinaisonspossiblesdespr´ece´dentes...
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2.1 Choix de fonction Choisissons notre fonction : 4 3 2 x+ 5x+ 2x(20x)24 f:RR, x3 2 x+ 8x+ 21x+ 18
Ce qui signifie que
4 3 2 x+ 5x+ 2x(20x)24 f(x) = 3 2 x+ 8x+ 21x+ 18 Ilsagitdoncdunrapportde2polynoˆmes.
2.2Num´erateuretd´enominateur La fonctionf(xuedtp)commrire´econcsxuededtropparelesontincfog(x) eth(x) : g(x) f(x) = h(x) o`u 4 3 2 g:RR, xx+ 5x+ 2x(20x)24
eto`u
3 2 h:RR, xx+ 8x+ 21x+ 18
2.3 Factorisations Commen¸consparfactorisernume´rateuretd´enominateur.Cecian,´eventuellement, desimplierle´criture. Nouspre´parons,cefaisant,deuxpointssuivants:larecherchedesze´roset le´tudedudomainedelafonction. Cherchons des valeurs de x pour lequelles g(x) et h(x) s’annulent. Nous avons choisi des fonctions “gentilles”. Essayons donc quelques valeurs entie`res(-3,-2,...,3)pourlesxdeg(x)eth(x). g(x)sannulepourlesvaleurssuivantesdex:-3,-2,2.g(x)estunpolynˆome depuissancequatreetpeutdoncse´crirecommeleproduitdesquatremonˆomes suivants : g(x) = (x+ 3)(x+ 2)(x2)(xa) Il nous manque encorea. De´velopponsdoncg(x)eem.nyoˆpnlo
g(x)
4 3 2 =x+ 5x+ 2x20x24 4 3 3 2 2 =x+ 3xax3ax4x+ 4ax12x+ 12a 4 3 2 =x+ (3a)x(3a+ 4)x+ (4a12)x+ 12a
Nousvoyonsimm´ediatementquea=2. Remarquons ici quean’existe pas toujoursdanslesr´eels. g(x)peutdoncse´crire:
2 g(x) = (x2)(x(+ 2) x+ 3)
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