L'estimation statistique linéaire pour les nuls -

Description

Rappels de probas
Estimation linéaire
Quelques remarques
L’estimation statistique linéaire pour les nuls
30 mai 2007
GT MOISE, 30 mai 2007Rappels de probas
Estimation linéaire
Quelques remarques
Plan
1 Rappels de probas
Variables et vecteurs aléatoires
Loi normale
2 Estimation linéaire
Cas d’école
Généralisation
Avec le formalisme de l’assimilation de données
3 Quelques remarques
Filtrage de Kalman
Et la loi normale dans tout ça?
Difficultés pratiques
GT MOISE, 30 mai 2007Rappels de probas
Variables et vecteurs aléatoires
Estimation linéaire
Loi normale
Quelques remarques
Plan
1 Rappels de probas
Variables et vecteurs aléatoires
Loi normale
2 Estimation linéaire
Cas d’école
Généralisation
Avec le formalisme de l’assimilation de données
3 Quelques remarques
Filtrage de Kalman
Et la loi normale dans tout ça?
Difficultés pratiques
GT MOISE, 30 mai 2007Rappels de probas
Variables et vecteurs aléatoires
Estimation linéaire
Loi normale
Quelques remarques
Définition
Variablealéatoire : résultat d’une épreuve aléatoire
v.a.discrète X à valeurs dans{x ,...x} :1 n
nX
P(X = x ) = p avec p = 1i i i
i=1
v.a.continue X à valeurs dans [a,b] : P(x≤ X≤ x +dx) = f(x)dx
Z b
où f(x)dx = 1
a
Définition
Deux v.a.r. X et Y sontindépendantes ssi
P((X∈ I)∩(Y∈ J)) = P(X∈ I).P(Y∈ J) ∀I,J⊂RI
GT MOISE, 30 mai 2007Rappels de probas
Variables et vecteurs aléatoires
Estimation linéaire
Loi normale
Quelques remarques
Moments d’une variable aléatoire
Définition

nX xp si X discrète i i
i=1Espérance : ...

Sujets

• Covina
• Moïse de Coucy
• Généralisation cartographique
• Statistique
• Préludes de la Révolution française
• Ébauches rattachées à la Comédie humaine

Informations

• Publié par: Faem
• Nombre de lectures: 577
• Langue: Français

Extrait

Rappels de probas Estimation linéaire Quelques remarques

L’estimation statistique linéaire pour les nuls

30 mai 2007

GT MOISE, 30 mai 2007

Rappels de probas Estimation linéaire Quelques remarques

Plan 1 Rappels de probas Variables et vecteurs aléatoires Loi normale

2

3

Estimation linéaire Cas d’école Généralisation Avec le formalisme de l’assimilation de données

Quelques remarques Filtrage de Kalman Et la loi normale dans tout ça ? Difficultés pratiques

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Plan

1

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Rappels de probas Estimation linéaire Quelques remarques

Variables et vecteurs aléatoires Loi normale

Rappels de probas Variables et vecteurs aléatoires Loi normale

Estimation linéaire Cas d’école Généralisation Avec le formalisme de l’assimilation de données

Quelques remarques Filtrage de Kalman Et la loi normale dans tout ça ? Difficultés pratiques

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Rappels de probas Estimation linéaire Quelques remarques

Variables et vecteurs aléatoires Loi normale

Définition Variable aléatoire: résultat d’une épreuve aléatoire

v.a. discrète

Xà valeurs dans{x 1  . . .x n }: n

P(X=x i ) =p i avec X p i =1 i=1 v.a. continueXà valeurs dans[ab]:P(x≤X≤x+dx) =f(x)dx où Z b f(x)dx=1 a

Définition Deux v.a.r.XetYsontindépendantesssi P((X∈I)∩(Y∈J)) =P(X∈I).P(Y∈J)

∀IJ⊂IR

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Variables et vecteurs aléatoires Loi normale

Rappels de probas Estimation linéaire Quelques remarques Moments d’une variable aléatoire

Définition

Espérance:

  E(X) = 

 

n

X x i p i i=1 Z b x f(x)dx

a

La v.a.r.XestcentréessiE(X) =0.

Définition Variance:Var(X) =E h (X−E(X)) 2 i Ecart-type:σ(X) = p Var(X)

siXdiscrète

siXcontinue

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Covariance

Rappels de probas Estimation linéaire Quelques remarques

Définitions SoientXetYdeux v.a.r.

Covariance

:

Cov(XY)

Cov(XX)

Coefficient de corrélation

Variables et vecteurs aléatoires Loi normale

=E(XY)−E(X)E(Y)

=E[(X−E(X)) (Y−E(Y))]

=Var(X)

:ρ(XY) = Cov(XY) σ X σ Y

Propriété XetYindépendantes=⇒Cov(XY) =0

La réciproque est fausse en général.

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Rappels de probas Estimation linéaire Quelques remarques Vecteur aléatoire

Définition Vecteur aléat  X 1 oire:X=  . X n

Variables et vecteurs aléatoires Loi normale

   où chaqueX i est une v.a.r.

Définitions Matrice de covarianceC= (Cov(X i X j )) 1≤i,j≤n

Matrice de corrélation(ρ(X i X j )) 1≤i,j≤n

(C ii =σ 2 (X i ))

(1 sur la diagonale)

Propriété Toute matrice de covariance est symétrique semi-définie positive. (définie si les v.a.r. forment une famille libre)

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Variables et vecteurs aléatoires Loi normale

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Quelques remarques Filtrage de Kalman Et la loi normale dans tout ça ? Difficultés pratiques

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Variables et vecteurs aléatoires Loi normale

Définition N(m σ 2 ): loi normale de moyennemet de varianceσ 2

Propriétés

− 2σ 2 f(x) = √ 2 1 π σ e − (x m) 2

SiX 1 ,→ N(m 1  σ 2 1 )etX 2 ,→ N(m 2  σ 22 )sont indépendantes, alorsX 1 +X 2 ,→ N(m 1 +m 2  σ 12 +σ 2 2 ) SiX,→ N(m σ 2 )etλ∈IR, alorsλX,→ N(λm λ 2 σ 2 )

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Rappels de probas Estimation linéaire Quelques remarques

Variables et vecteurs aléatoires Loi normale

L’importance de cette loi provient du (des)théorème(s) central-limite, i.e. toute proposition qui indique que, sous certaines conditions, la somme de v.a.r. individuellement petites converge vers une v.a.r. de loi normale lorsque le nombre de termes croît.

Conséquence: si l’issue d’une expérience aléatoire dépend d’un grand nombre de facteurs aléatoires, chacun d’eux ayant une petite influence, le résultat peut être bien approximé par une loi normale. Exemple : taille des arbres pour une espèce donnée dans une zone donnée

C’est pour cette raison que beaucoup d’erreurs aléatoires sont modélisées par des lois gaussiennes.

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