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iGlleStatistiqueavecdespetitséchantillonsseCelxuI(rnai)GillesCeleuxSelect,InriaSaclay,UniversitéParis-SudePitstcéahtnliolsn1/04
lPna123ModélisationstatistiqueEstimationdumaximumdevraisemblanceChoixdemodèlesProblèmesstatistiquesàinformationfaibleInférencebayésienneTraductiondesinformationsapriorienloisaprioriApproximationdelaloiaposterioriIllustrationpouruneloideWeibulltrèscensuréeSélectionbayésiennedemodèlesiGllseeCelxuI(rnai)ePitstcéahtnliolsn2/04
nIéfercnetstasiituqeDesdonnéesx=(x1,...,xn)dansRdsontissuesd’uneloideprobabilitéinconnuededensitéf(x).Lesdonnéessontutiliséespourtirerdel’informationsurcettedensité.)x(fModèleparamétrique:onsupposequef(x)=f(x;θ),avecθparamètreinconnuàestimeràpartirde(x1,...,xn).iGllseeCelxuI(rnai)ePitstcéahtnliolsn3/04
xEmeple:alolionmrlaeLesdonnées(x1,...,xn)représententlepoidsdenobjetsfabriquésensérie.Onsupposequecespoidssuiventuneloinormaledemoyenneµetdevarianceσ2:1(xµ)2f(x;θ)=p(2π)σexp(σ2).Leparamètreàestimerestθ=(µ,σ2).iGllseeCelxuI(rnai)ePitstcéahtnliolsn4/04
Exemple:laloideWeibullLesdonnées(x1,...,xn)représententlesduréesdeviedenmatériels.UneloicourammentutiliséepourmodéliserdesduréesdevieestlaloideWeibull.Elleutiliseunparamètred’échelleηetunparamètredeformeβ:f(x;θ)=β(ηx)β1exp((ηx)β)Leparamètreàestimerestθ=(η,β).iGllseeCelxuI(rnai)ePitstcéahtnliolsn5/04
EstimationdumaximumdevraisemblanceLavraisemblanceduparamètreθassociéauxdonnéess’écritnYL(θ)=f(xi;θ).1=iLavraisemblancecontienttoutel’informationapportéepar(x1,...,xn)surleparamètreθ.Laméthodedumaximumdevraisemblanceconsisteàestimerθparθˆ=argmθaxL(θ).Cetestimateurjouitdebonnespropriétéslorsquenestgranddevantladimensiondeθ.iGllseeCelxuI(rnai)ePitstcéahtnliolsn6/04
xEmelpsedeCasgaussientsmitauesrudVMn1Xµˆ=nxi1=in1Xσˆ2=n(xiµˆ)2.1=iCasdeWeibull.LeséquationsdevraisemblancesontteiGllseeCelxuI(rnai)PP1in=1log(xi)in=1xiβˆlog(xi)ˆ+nPnβˆ=0.βi=1xiˆβnPηˆ=[i=1xi]1ˆ.nePitstcéahtnliolsn7/04
eTtsudarpprotedrviaesbmalcnePourchoisirentredeuxmodèlesM0etM1dontlesespacesdesparamètressontemboîtés,ondisposedutestderapportdevraisemblance.Λ=L(θˆ0)L(θˆ1)Sousl’hypothèsequelesdonnéessontissuesdelaloif(x;θ0),2logΛsuitasymptotiquementuneloiduχ2àdimθ1-dimθ0degrésdeliberté.iGllseeCelxuI(rnai)ePitstcéahtnliolsn8/04
CritèresdevraisemblancepénaliséeLescritèresdevraisemblancepénalisésontutiliséspourchoisirunmodèleparmidesmodèlesnonnécessairementemboîtés.AIC(M)=2logL(θˆM)+2dim(θM)BIC(M)=2logL(θˆM)+dim(θM)log(n)Cescritèressontobtenussousdesargumentsasymptotiquesetjouissentdepropriétésasymptotiquesoptimales.iGllseeCelxuI(rnai)ePitstcéahtnliolsn9/04
alPn123ModélisationstatistiqueEstimationdumaximumdevraisemblanceChoixdemodèlesProblèmesstatistiquesàinformationfaibleInférencebayésienneTraductiondesinformationsapriorienloisaprioriApproximationdelaloiaposterioriIllustrationpouruneloideWeibulltrèscensuréeSélectionbayésiennedemodèlesiGllseeCelxuI(rnai)ePitstcéahtnliolsn01/04
PetitséchantillonsLatailled’unéchantillonnestàcompareraunombreνdeparamètresàestimer.yTipuqmene,toprunueidtsrbituoinadsnRavec2paramètresàestimerlesproblèmespeuventcommenceravecn<20.Lesproblèmesdeviennentsérieuxlorsqueνn...Lesstatisticienssontdeplusenplusconfrontésàdestaillesnpluspetitesqueladimensionddesdonnées.iGllseeCelxuI(rnai)ePitstcéahtnliolsn11/04