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THERMODYNAMIQUE STATISTIQUE
´ OLIVIER CASTERA
R´esume´.Oe´dntnomleressiexprsproondeil´tabibreomseht-nady miques de la statistique classique de Maxwell-Boltzmann, et quan-tiques de Maxwell-Boltzmann, Bose-Einstein, et Fermi-Dirac.
` Table des matieres
1. Statistique classique de Maxwell-Boltzmann 1.1.Hypothe`sesfondamentalesdeBoltzmann 1.2.De´g´en´erescence 1.3. Statistique classique de Maxwell-Boltzmann 2. R´ rtition la plus probable epa 3. Relation entre entropieSet nombre de complexionsW 4.Parame`tresαetβde la distribution de Boltzmann 4.1. Parametreα ` 4.2.Param`etreβ 5. Expression de la fonction de partitionZ 5.1.Expressiondufacteurded´ege´n´erescencegi 6.Expressiondele´nergieinterne 7. Expression de l’entropie en statistique classique de M-B 8. Le paradoxe de Gibbs 9. Statistiques quantiques 9.1.StatistiquedeMaxwell-Boltzmanncorrige´e 9.2.Ceraisonnementnestpastout`afaitexact 9.3. Statistique de Bose-Einstein 9.4. Statistique de Fermi-Dirac 10.Re´partitionlaplusprobable 10.1.R´epartitionlaplusprobableenStatistiquedeB-E 10.2.R´epartitionlaplusprobableenStatistiquedeF-D 11.EntropieenstatistiquequantiquedeM-Bcorrige´e 12.Param`etresdesstatistiquesquantiques 12.1.Parame`tresβ0etβ00des statistiques quantiques 12.2.Param`etresα0etα00des statistiques quantiques 13.Expressionsanalytiquesdesparame`tresα0etα00 13.1.Casdesbosonscomple`tementde´ge´ne´r´es 14. Annexes 14.1. Approximation de Stirling
Date: 22 octobre 2010.
1
2 4 4 5 7 9 10 10 10 15 15 17 18 19 20 21 21 23 24 26 26 27 29 30 30 32 33 36 37 37
2
14.2. 14.3. 14.4.
´ OLIVIER CASTERA
Me´thodedesmultiplicateursdeLagrange Calculdelinte´graledeGauss Fonction Gamma d’Euler
1.Statistique classique de Maxwell-Boltzmann
37 39 39
Pourmode´liserungazdansuneenceinte,imaginonsuneboıˆteopaque ferm´ee,contenantNtebgoauel`eesrry´aenpaarttiesauhasardsurune´ kniveaux
niveau 4
niveau 3
niveau 2
niveau 1
IciN= 9 etk= 4. Soitnile nombre de boules sur le niveaui, n1= 2 n2= 4 n3= 1 n4= 2. Onsupposequelesniveauxd´energiepotentielleεienernitsesd´di-veauxmod´elisentdesniveauxd´energiecine´tiquedetranslationdes particulesconstituantlegaz.Danslexemplesuivant,nousallonsde´-terminer l’ensemble desknombres de boules{n1 n2     nk}les plus probablessurchaqueniveau,grˆaceauxhypoth`esesdede´partsurle nombre total de boulesNne´lrusteneernteigierUdu gaz dans l’en-ceinte.Cetensembleseranot´e{n01 n02     nk0}.eriveCalheact`enrherc lare´partitiondesboulesquelonauraitleplusdechancedevoirsilon ouvraitlaboıˆte.
Exemple.:setnaviussntlertso´epasdede`esophtseyhL (1) le nombre total de boule estN= 2
(2)l´energieinterne(enJoules)dusyste`meestU=PNi=1εini= 2J (3)les´energiespotentiellesdechaqueniveausont: ε1= 0J,ε2= 1J,ε3= 2J. Ilyadonc3niveauxd´energie,correspondant`a3´etagespos-0 sibles. Nous recherchons l’ensemble des 3 nombres{n10 n20 n3}. Voicilesdie´rentespossibilite´sder´epartitiondes2boulesAetBdans la boˆıte :
ε3
ε2
ε1
B
A
THERMODYNAMIQUE STATISTIQUE
A
B
A
B
3
Il y a deux fois plus de chance d’avoir une boule sur le niveauε1et une sur le niveauε3, que deux boules sur le niveauε2. Par consequent, ´ lar´eponseauproble`meestn01= 1,n02= 0,n03= 1.
De´nition1.1.e´nnodaLsedeknombres de particules{n1 n2     nk} ou`lonassocieunnombreniauveedrgneiea`qahcineuεi=1kitn´e,d ´ une´tatmacroscopique.
En utilisant le vocabulaire de la thermodynamique statistique, nous dironsquel´etatmacroscopiqueleplusprobableestcelui-ci:
carilestr´ealisepardeuxcomplexions: ´
B
A
alorsquelautree´tatmacroscopique:
A
B
4
´ OLIVIER CASTERA
nestre´alisequeparuneseulecomplexion: ´
A
B
Lesprobabilite´sthermodynamiquesW(n1 n2 n3satets´dsed)tnere´i macroscopiquessontdonn´eesparleursnombresdecomplexions
W(101) = 2 W(020) = 1
Parcons´equent,le´tatmacroscopique{n1 n2     nk}le plus probable est celui qui a son nombre de complexionsW(n1 n2     nk) le plus e. ´elev´Cete´tatmacroscopiquesenote{n01 n20     nk0}, et son nombre de complexionsW(n01 n02     n0k) se noteW0. 1.1.esfoh`esypotHBeloeldsneatdnma.nnmatzLes complexions sonte´quiprobables. Laprobabilite´dune´tatmacroscopiqueest´egalaunombredecom-plexionsquipermettentdeler´ealiser. L´etatde´quilibrethermodynamiquecorresponda`le´tatmacroscopique le plus probable.
1.2.D´eg´ee.ncceesern´nuuqtnevuosevirarIlrgie´eneaudniveεisoit compos´ dgifnocudnoene´eigreaivduxso-nusercsneec´eg´en´es.Cetted e e confe`reauxdiversniveauxd´energiedespoidsstatistiquesgi.ts´diener D´enition1.2.udeuqitsitatssdiauvenie´´gLdaoupoencerescen´e d´energieεi, est le nombregide sous-niveaux contenus dans ce niveau de´nergie.
De´nition1.3.eds´neeadonLginombres de particules par sous-niveaude´nergie,pourchacundeskduxne´eneaivgreiεi it, d´fi un e n ´etatmicroscopique.
THERMODYNAMIQUE
εi
STATISTIQUE gi . 2 1
5
Lad´eterminationdun´etatmicroscopiqueestimpossible´eri exp men-talement. Par exemple, les complexions suivantes A B niveaud´energieε1{Betε1{ A
constituentunseuletmˆeme´etatmicroscopique. De meme les complexions ˆ B ε1{Aε2{Cetε1{
B
ε2{
A
C
sontaussiunseuletmeˆmee´tatmicroscopique,carseulimportele nombredeparticulesparsous-niveaud´energie.
1.3.Statistique classique de Maxwell-Boltzmann.Hysse`ethpo ded´epart: (1) le nombre de particulesN (2)l´energieinternedusystemeU ` (3)le´nergiedechaqueniveaui:εi=1k (4)lade´ge´ne´rescencedechaqueniveaui:gi=1k ` Leproblemeconsistea`d´eterminerl´etatmacroscopique{n1 n2     nk} le plus probable, celui dont le nombre de complexions i´ est le plus assoc e e´leve´. Supposons donc qu’il y aitn1particules discernables surε1,n2surε2, . . .,nksurεks,onablepeut´seepuopecnrdssipart.Lescisiattnsee´cilu lesinterchanger.Decombiendefaconcetter´epartitionpeut-elleˆetre ¸ r´ealis´ee?Endautrestermes,quelestsonnombredecomplexionsW? Proce´donspar´etapes a)Quelestlenombredefa¸consdedisposeruneparticulediscer-nablesurleniveaude´nergieε1rene´dgee´g1siofpo´ear?Lens ´ ´ estg1. b)Quelestlenombredefa¸consdedisposerdeuxparticulesdis-cernablessurleniveaud´energieε1d´eg´eenr´´eg1fois ? g1sspopalruopse´tilibiiculpart`ereremieetg1poesuril´tisibpso la seconde, doncg1×g1=g21. c)Quelestlenombredefa¸consdedisposern1particules discer-nablessurleniveaude´nergieε1ern´´ed´´eegg1fois ? g1×g1× ∙ ∙ ∙ ×g=gn1 11.