Bases de fonctions sur les variétés, Function bases on manifolds

Bruno Vallet

Description

Sous la direction de Jean-Claude Paul, Bruno Levy
Thèse soutenue le 10 juillet 2008: INPL
Les bases de fonctions sont des outils indispensables de la géométrie numérique puisqu'ils permettent de représenter des fonctions comme des vecteurs, c'est à dire d'appliquer les outils de l'algèbre linéaire à l'analyse fonctionnelle. Dans cette thèse, nous présentons plusieurs constructions de bases de fonctions sur des surfaces pour la géométrie numérique. Nous commençons par présenter les bases de fonctions usuelles des éléments finis et du calcul extérieur discret, leur théorie et leurs limites. Nous étudions ensuite le Laplacien et sa discrétisation, ce qui nous permettra de construire une base de fonctions particulière~: les fonctions propres de l'opérateur de Laplace-Beltrami, ou harmoniques variétés. Celles-ci permettent de généraliser la transformée de Fourier et le filtrage spectral aux fonctions définies sur des surfaces. Nous présentons ensuite des applications de cette base de fonction à la géométrie numérique. En particulier, nous montrons qu'une fois calculée, cette base de fonction permet de filtrer la géométrie en temps interactif. Pour pouvoir définir des bases de fonctions de façon plus indépendante du maillage de la surface, nous nous intéressons ensuite aux paramétrisations globales, et en particulier aux champs de directions à symétries qui permettent de les définir. Ainsi, dans la dernière partie, nous étudions ces champs de directions à symétries, et en particulier leur géométrie et leur topologie. Nous donnons alors des outils pour les construire, les manipuler et les visualiser
-Variétés
-Géométrie différentielle
-Espaces de Hilbert
-Eléments finis
-Calcul extérieur
-Champs de directions
-Paramétrisation globale
Function bases are fundamental objects in geometry processing as they allow to represent functions as vectors, that is to apply tools from linear algebra to functional analysis. In this thesis, we present various constructions of useful functions bases for geometry processing. We start by presenting usual function bases, their theory and limits. We then study the Laplacian operator and its discretization, and use it to define a particular function basis: Laplacian eigenfunctions or Manifold harmonics. The Manifold Hamonics form a function basis that allows to generalize the Fourier transform and spectral filtering on a surface. We present some applications and extensions of this basis for geometry processing. To define function bases in a mesh-independant manner, we need to build a global parameterization, and especially the direction fields required to define them. Thus, in the last part of this thesis we study N-symmetry direction fields on surfaces, and in particular their geometry and topology. We then give tools to build, edit, control and visualize them
-Manifold
-Global parameterization
-Direction field
-Exterior calculus
-Differential geometry
-Hilbert space
-Finite elements
Source: http://www.theses.fr/2008INPL034N/document

Sujets

• Variété
• Géométrie différentielle
• Méthode des éléments finis

Informations

• Publié par: Thesee
• Nombre de lectures: 58
• Langue: Français
• Poids de l'ouvrage: 71 Mo

Extrait

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Departement de formation doctorale en informatique
Institut National
Ecole doctorale IAEM LorrainePolytechnique de Lorraine
Bases de fonctions sur les varietes
THESE
presentee et soutenue publiquement le 10 juillet 2008
pour l’obtention du
Doctorat de l’Institut National Polytechnique de Lorraine
(specialite informatique)
par
Bruno Vallet
Composition du jury
President : Karl Tombre INRIA Nancy - Grand Est
Rapporteurs : Claude Puech Universite Paris-Sud
Leif Kobbelt RWTH Aachen
Examinateur : Jean-Daniel Boissonat INRIA Sophia Antipolis - Mediterranee
Directeurs de these : Jean Claude Paul Tsinghua University
Bruno Levy INRIA Nancy - Grand Est
Laboratoire Lorrain de Recherche en Informatique et ses Applications | UMR 7503Mis en page avec la classe thloria.Résumé
Les bases de fonctions sont des outils indispensables de la géométrie numérique puisqu’ils permettent
de représenter des fonctions comme des vecteurs, c’est à dire d’appliquer les outils de l’algèbre linéaire
à l’analyse fonctionnelle.
Dans cette thèse, nous présentons plusieurs constructions de bases de fonctions sur des surfaces pour
la géométrie numérique. Nous commençons par présenter les bases de usuelles des éléments
finis et du calcul extérieur discret, leur théorie et leurs limites. Nous étudions ensuite le Laplacien et
sa discrétisation, ce qui nous permettra de construire une base de fonctions particulière : les fonctions
propres de l’opérateur de Laplace-Beltrami, ou harmoniques variétés. Celles-ci permettent de généraliser
la transformée de Fourier et le filtrage spectral aux fonctions définies sur des surfaces. Nous présentons
ensuite des applications de cette base de fonction à la géométrie numérique. En particulier, nous montrons
qu’une fois calculée, cette base de fonction permet de filtrer la géométrie en temps interactif.
Pour pouvoir définir des bases de fonctions de façon plus indépendante du maillage de la surface, nous
nous intéressons ensuite aux paramétrisations globales, et en particulier aux champs de directions à
symétries qui permettent de les définir. Ainsi, dans la dernière partie, nous étudions ces champs de
directions à symétries, et en particulier leur géométrie et leur topologie. Nous donnons alors des outils
pour les construire, les manipuler et les visualiser.
Mots-clés: Variétés, géométrie différentielle, espaces de Hilbert, éléments finis, calcul extérieur, champs
de directions, paramétrisation globale.
Abstract
Function bases are fundamental objects in geometry processing as they allow to represent functions as
vectors, that is to apply tools from linear algebra to functional analysis.
In this thesis, we present various constructions of useful functions bases for geometry processing. We
start by presenting usual function bases, their theory and limits. We then study the Laplacian operator and
its discretization, and use it to define a particular function basis : Laplacian eigenfunctions or Manifold
harmonics. The Manifold Hamonics form a function basis that allows to generalize the Fourier transform
and spectral filtering on a surface. We present some applications and extensions of this basis for geometry
processing.
To define function bases in a mesh-independant manner, we need to build a global parameterization, and
especially the direction fields required to define them. Thus, in the last part of this thesis we study N-
symmetry direction fields on surfaces, and in particular their geometry and topology. We then give tools
to build, edit, control and visualize them.
Keywords: Manifold, differential geometry, Hilbert space, finite elements, exterior calculus, direction
field, global parameterization.
iiiRemerciements
Je commencerai évidemment par remercier Bruno Lévy pour m’avoir convaincu de venir faire ma thèse
au sein de son équipe-projet Alice, et pour m’avoir encadré en faisant preuve d’une grande originalité
dans les choix des sujets qu’il m’a fait aborder.
Je souhaite aussi remercier tous les membres du jury pour avoir pris du temps pour lire et commenter
cette thèse, et pour venir, souvent de loin, assister à ma soutenance.
Je tiens à remercier aussi mon directeur de thèse Jean Claude Paul, pour son immense gentillesse tout
d’abord, mais aussi pour avoir su orienter mes choix professionnels de façon judicieuse à un moment
clef.
Cette thèse doit énormément à Nicolas Ray qui m’a soutenu et supporté pendant ces trois années. Je le
remercie d’avoir fait preuve d’autant de créativité et de pragmatisme dans nos discussions, et de m’avoir
aiguillé dans des directions de recherche toujours passionnantes.
Les conseils avisés et la qualité scientifique de Laurent Alonso m’ont été d’un grand secours tout au long
de ma thèse.
Tous mes collègues du projet ALICE ont à leur façon contribué à cette thèse, que ce soit par leur support
scientifique, technique ou moral.
Je remercie en particulier Wan-Chiu Li et Grégory Lecot pour leur bonne humeur communicative, Ro-
drigo Toledo, Laurent Castanié, Luc Buatois, Cedric Borghese, Nicolas Stoibert, Olivier Genevaux, Ma-
thieu Chavent et Aurélien Martinet pour leur disponibilité et leur gentillesse.
Je remercie aussi Vincent, Ahmed, Jérôme, Cécile et Nicolas pour avoir amené leur gentillesse et leur
dynamisme au service du projet ALICE.
Un grand merci à Isabelle Herlich et Nadine Beurné dont les compétences ont allégé mon fardeau admi-
nistratif.
Enfin, et par dessus tout, mon soutien le plus précieux pendant ces trois années a été l’amour de ceux que
je chéris le plus et qui se reconnaitrons si ils lisent ces lignes.
iiiivJe dédie cette thèse à mon père,
qui m’a appris son amour pour la Science.
vviTable des matières
Notations xiii
Introduction générale 1
Partie I Calcul géométrique 7
Chapitre 1
Le problème de la représentation géométrique
1.1 De la géométrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.1.1 Les objets géométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.1.2 Les variétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.1.3 Les représentations géométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2 Variétés affines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.2.1 Géométrie projective . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.2.2 Le plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.2.3 Définition implicite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.2.4 Indépendance géométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.2.5 Coordonnées barycentriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.3 Les complexes simpliciaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
Chapitre 2
Méthode des Éléments finis
2.1 Théorie des éléments finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.1.1 Espaces de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.1.2 Espaces de Hilbert fonctionnels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.1.3 Théorie de Lax-Milgram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.1.4 Approximation interne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.1.5 Galerkin et les éléments finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
vii