Boundary conformal field theory analysis of the H_1hn+_1tn3 model [Elektronische Ressource] / von Hendrik Adorf

Hendrik Adorf

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• Publié par: gottfried_wilhelm_leibniz_universitat_hannover
• Publié le: 01 janvier 2008
• Nombre de lectures: 29
• Langue: Deutsch
• Poids de l'ouvrage: 1 Mo

Extrait

Boundary Conformal Field Theory Analysis
+of the H Model
3
Von der Fakultät für Mathematik und Physik
der Gottfried Wilhelm Leibniz Universität Hannover
zur Erlangung des Grades
Doktor der Naturwissenschaften
Dr. rer. nat.
genehmigte Dissertation
von
Hendrik Adorf
geboren am 30. Juni 1980
in HannoverReferent: PD. Dr. Michael Flohr
Koreferent: Prof. Dr. Olaf Lechtenfeld
Tag der Promotion: 30. Mai 2008
ITP-UH-08/08[...] nämlich mit dem Vorsatze, in der
Wissenschaft auf die Autorität sich den
Gedanken anderer nicht zu ergeben,
sondern alles selbst zu prüfen und nur der
eigenen Überzeugung zu folgen, oder besser
noch, alles selbst zu produzieren, und nur
die eigene Tat für das Wahre zu halten. [...]
Georg Wilhelm Friedrich Hegel, Einleitung
zur Phänomenologie des GeistesZusammenfassung
Zentrales Thema dieser Arbeit sind Konsistenzbedingungen an maximal symme-
+trischeBranendesH Modells.SiewerdeninFormsogenannterShiftGleichungen3
hergeleitet und auf ihre Lösungen untersucht. Das Resultat sind explizite Aus-
drücke für die Ein-Punkt Funktionen in den verschiedenen Bran-Hintergründen.
Das Bran-Spektrum organisiert sich in kontinuierlichen und diskreten Serien.
Zunächst geben wir eine Einführung in die zweidimensionale konforme Feld-
theorie (CFT) im Rahmen der Theorie von Vertexoperatoralgebren und ihren Mo-
duln. Wir versuchen diesen Zugang an die speziellen Bedürfnisse des nichtratio-
+nalen H Modells anzupassen.3
Zu Beginn des zweiten Teils werden kurz die benötigten Analysetechniken für
CFTen mit Rand bereitgestellt, darunter insbesondere die Cardy-Lewellen Klebe-
bedingung, die den folgenden Konstruktionen wesentlich zu Grunde liegt. Da-
nach führen wir in die Systematik der Bran-Lösungen ein der wir in dieser Arbeit
folgen. Mit der Unterscheidung zwischen regulären und irregulären Ein-Punkt
Funktionen schlagen wir ein neues, zusätzliches Ordnungskriterium für Bran-
Lösungen vor. Weiter argumentieren wir, dass alle Isospin-Abhängigkeiten den
Klebebedingungen unterworfen werden müssen. An dieser Stelle ist das auszu-
führende Programm skizziert und wir beginnen seine Umsetzung mit der Herlei-
tungvonneuen1/2-ShiftGleichungen,welchedievorher bekanntenGleichungen
dieses Typs zu einer vollständige Liste für den Fall vonAdS Branen komplettie-2
ren.
−2Wirwendenunsdanndenb /2-ShiftGleichungenzu.IhreHerleitungfunktio-
niertnichtsodirektwieimvorhergehendenFall:DerursprünglicheDefinitionsbe-
reicheinerbestimmtenZwei-PunktFunktion(derCFTmitRand)mussaufeinege-
eigneteRegionausgedehntwerden.Dazuistesunumgänglich,eineFortsetzungs-
vorschrift anzunehmen. Der natürliche Kandidat ist analytische Fortsetzung. Wir
demonstrieren, dass eine solche mit einigem Aufwand unter Benutzung verallge-
meinerter hypergeometrischer Funktionen durchgeführt werden kann. Auf diese
−2WeisegewinnenwireinevollständigeListevonb /2-ShiftGleichungenfürAdS2
Branen, untersuchen ihre Lösungen und lesen das Bran-Spektrum ab.
+Nachfolgend rekapitulieren wir kurz die H /Liouville Korrespondenz und das3
Hosomichi-Ribault Proposal, welches Anlass zu unserer nächsten Konstruktion
gibt. Sie realisiert das Hosomichi-Ribault Proposal, welches eine von obiger An-
+nahme abweichende Fortsetzungsvorschrift vorschlägt, explizit im H Modell.3−2Wir zeigen, dass mit unserer Konstruktion wiederum sinnvolleb /2-Shift Glei-
chungen hergeleitet werden können und diskutieren deren Lösungen. Das resul-
tierendeSpektrumvonAdS -Branenistdemobigenanalog.Abschließendwerden2
beide Zugänge verglichen. Wir skizzieren ein mögliches Unterscheidungskriteri-
umundspekulieren,wiesichunsereResultateaufeinegewisseKlassenichtkom-
pakter nichtrationaler CFTen verallgemeinern könnten.
+Schlagworte: Nichtrationale Konforme Feldtheorie, H Modell, D-Branen3
iAbstract
The central topic of this thesis is the study of consistency conditions for the
+maximally symmetric branes of the H model. It is carried out by deriving con-3
straints in the form of so-called shift equations and analysing their solutions.
This results in explicit expressions for the one point functions in the various
brane backgrounds. The brane spectrum becomes organized in certain continu-
ous and discrete series.
In the first part, we give an introduction to two dimensional conformal field
theory (CFT) in the framework of vertex operator algebras and their modules. As
this approach has been developed along with rational CFT, we pay attention to
+adapt it to the special needs of the nonrational H model.3
Part two deals with boundary CFT only. We start with a review of some ba-
sic techniques of boundary CFT and the Cardy-Lewellen sewing relations that
will be at the heart of all following constructions. Afterwards, we introduce the
systematics of brane solutions that we are going to follow. With the distinction
between regular and irregular one point functions, we propose a new additional
patternaccordingtowhichthebranesolutionsmustbeorganized. Wearguethat
all isospin dependencies must be subjected to the sewing constraints. At this
point, the programme to be carried out is established and we are ready to derive
the missing 1/2-shift equations for the various types ofAdS branes in order to2
make the list of this kind of equation complete.
−2Then we address theb /2-shift equations. It turns out that their derivation
is not straightforward: One needs to extend the initial region of definition of a
certain (boundary CFT) two point function to a suitable patch. Therefore, a con-
tinuation prescription has to be assumed. The most natural candidate is analytic
continuation. We show that it can be carried out, although it is rather technical
andinvolvestheuseofcertaingeneralizedhypergeometric functionsintwovari-
−2ables. In this way, we derive a complete set ofb /2-shift equations forAdS2
branes, study their solutions and extract the resulting brane spectrum.
+InafollowinginterludewereviewtheH /Liouvillecorrespondenceandexplain3
the Hosomichi-Ribault continuity proposal, which motivates our next construc-
tion. Its purpose is the explicit realization of the Hosomichi-Ribault proposal
+within the H model. As this proposal suggests a continuation prescription that3
differs from the above, one needs to study its implications for the brane solu-
−2tions. Based on our explicit realization, we show that sensibleb /2-shift equa-
tions can be extracted from the Hosomichi-Ribault proposal and we study their
solutions and the corresponding brane spectrum. The two approaches are fi-
nally compared. We outline a possible demarcation criterion that still has to be
worked out and speculate about how our results might generalize to a certain
class of noncompact nonrational CFTs.
+Keywords: Nonrational Conformal Field Theory, H Model, D-Branes3
iiiContents
1 Introduction 1
1.1 String Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Two Dimensional Conformal Field Theory and Mathematical Physics 4
1.3 Topics and Outline of this Thesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
I The Bulk Theory 15
2 Chiral Vertex Operators and Conformal Field Theory 17
2.1 The Worldsheet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.2 Chiral Vertex Operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.2.1 Vertex Algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.2.2 Vertex Operator Algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.3 Virasoro Representation Theory I: Modules for a Vertex Operator
Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.3.1 Modules for a Vertex Operator Algebra . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.3.2 Virasoro Representations: Construction of Vertex Operator
Algebras and Modules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.4 Correlation Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.4.1 Intertwining Operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.4.2 A Special OPE and some Transformation Formulae . . . . . . . 32
2.4.3 Correlation Functions of Descendant Operators . . . . . . . . . 34
2.4.4 Correlation Functions of Primary Operators . . . . . . . . . . . . 35
2.5 Virasoro Representation Theory II: Submodules and Reducibility . . . 37
2.6 The General Operator Product Expansion. . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.7 Conformal Field Theory with Lie Algebra Symmetry . . . . . . . . . . . 39
2.7.1 Vertex Operator Algebra build from Lie Algebra . . . . . . . . . 39
2.7.2 Affine Modules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.7.3 Further Restrictions on Correlation Functions . . . . . . . . . . 44
2.8 Modular Invariance and Conformal Fields: Gluing Together Chiral
Halves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
+3 Review of the Bulk H CFT 473
3.1 Action and Spectrum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.2 The Vertex Operator Algebra and its Modules . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.3 Correlation Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50<