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UNIVERSIDAD COMPLUTENSE DE MADRID
FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICAS
Departamento de Física Aplicada I(Termología)



CASIMIR EFFECT IN SYSTEMS IN AND OUT OF
EQUILIBRIUM|

MEMORIA PARA OPTAR AL GRADO DE DOCTOR
PRESENTADA POR

Pablo Rodríguez López
Bajo la dirección del doctor
Ricardo Brito López




Madrid, 2011




ISBN: 978-84-695-1202-9 ©Pablo Rodríguez López, 2011 Casimir Effect in systems in and
out of Equilibrium { Efecto
Casimir en sistemas en equilibrio
y fuera del equilibrio
By
Pablo Rodr guez L opez
Memoria que presenta a la
Universidad Complutense de Madrid
para optar al grado de Doctor en Ciencias F sicas
Departamento de F sica Aplicada I (Termolog a)
Facultad de Ciencias F sicas
Dirigida por el Dr. Ricardo Brito Lopezii
c Pablo Rodr guez L opez, 2011.
ATypeset in LT X 2 ."EAgradecimientos
No hay palabras para agradecer su cientemente a Ricardo Brito, con el que he com-
partido los anos~ que ha llevado producir esta tesis. Ricardo ha sido un mentor y un
amigo, lleno de una paciencia y comprensi on in nitas. Por supuesto, tambien quiero
agradecer al departamento de F sica Aplicada I (Termolog a) de la UCM (Universidad
Complutense de Madrid), por la inmejorable acogida y por los esfuerzos hechos para
que tuviera un espacio donde realizar esta tesis, no hay manera de sentirse m as acogido.
Lo mismo se puede decir de Thorsten Emig, desde que llegue a Colonia, ha sido un
placer trabajar y aprender a su lado. Tambien quiero agradecer al Instituto de F sica
Toricae de la Universidad de Colonia, Alemania (Institut fuer Theoretische Physik,
Koeln) su hospitalidad durante las distintas estancias que realice all .
Quiero agradecer a Rodrigo Soto, Adolfo Grushin y Alberto Cortijo el tiempo de-
dicado, con ellos es un placer hablar de F sica, siempre se aprende algo nuevo.
Agradezco tambien a mis compane~ ros del GISC por todo su apoyo, especialmente
a Ricardo, Juan, Luis, Edgar y Jordan, con los que he compartido conferencias, canas~
y charlas, formales e informales, habeis hecho que este camino valga la pena.
No existen palabras para expresar el agradecimento y carino~ que siento hacia mis
padres, Germ an y Carmina.~ Gracias a vosotros, a vuestro constante apoyo y con anza
sin l mite, todo esto ha sido posible. Tambien quiero agradecer a mi hermana Mar a
y a su marido, Antoine, los sabios consejos que siempre me han sabido dar, y a mi
sobrinita Ines, por la alegr a que rebosa de la que nos hace a todos part cipes.
No puedo evitar acordarme aqu de mis abuelos, Vicente, por desgracias del destino
iiiiv Agradecimientos
nunca llegue a conocerte. Eduardo, Mercedes, Jexuxa, no pasa un d a sin que me
acuerde de vosotros, y ahora que ya no est ais, me doy cuenta de lo mucho que os hecho
de menos. Espero que esteis donde quiera que esteis, os pod ais sentir orgullosos de m .
Yo lo estoy de vosotros.
Por supuesto que me acuerdo del resto de mi familia: mis padrinos, mis primos,
t os, sobrinos . . . . La lista es afortunadamente interminable, muchas gracias a todos
vosotros.
Y que decir de mis amigos, Javier, Eduardo y Jacobo especialmente, de la gente de
la Facultad y de Hypatia en particular. Y de toda la gente del Calasancio (esas clases
de baile de Alfredo), vale la pena cada minuto que se pasa a vuestro lado.
Por ultimo, mi m as sincero agradecimiento a t , Bea. El motivo ultimo de esta tesis
ha sido la busqueda de la felicidad, y a medida que la he ido escribiendo he aprendido
que esta felicidad no est a completa si no es contigo. Gracias por acompanarme~ en este
camino.
Mientras que estaba escribiendo esta tesis, mi abuela Jexuxa fallecio tras una larga
enfermedad. Esta tesis se la dedico especialmente a ella. Descanse en Paz.
Durante el desarrollo de esta tesis he recibido nanciaci on del programa de becas
de Formaci on de Personal Universitario (FPU), numero de referencia de la beca: 2006-
01310 del Ministerio de Educaci on y Ciencia (MEC). Dicho programa tambien nanci o
una de las estacias en Colonia. Tambien he recibido nanci on de los proyectos: Grupo
Interdisciplinar de Sistemas Complejos (MODELICO-CM), Grupo Interdisciplinar de
Sistemas Complejos. Modelizaci on y Caracterizaci on (Ref: GR58/08), Fluctuaciones
en sistemas f sicos complejos (Ref: CCG07/UCM/ESP-2870), Fluctuaciones en Sis-
temas Fsicos de no equilibrio. Aplicaci on a Medios Granulares (Ref: PR34/07-15859),
Modelizaci on, Simulaci on y An alisis de Sistemas Complejos (MOSAICO) y Orden y
Fluctuaciones en Sistemas Complejos (Ref: FIS2004/271).Acknowledgements
I do not have the words to thank my supervisor Ricardo Brito with whom I have
shared the long years it took to produce this thesis. Ricardo has been a mentor and
a friend, always full of patience and comprehension. Of course, I also thank to the
department of F sica Aplicada I (Termolog a) (Applied Physics I (Thermology)) of
the UCM (Universidad Complutense de Madrid), for the excellent hospitality and the
e orts made to have a place to carry out this thesis, there is no way to feel most
welcome.
The same can be said about Thorsten Emig, since I arrived in Cologne, it has been
a pleasure to work and learn at your side. I also thank the Institute of Theoretical
Physics at the University of Cologne, Germany (Institut fuer Theoretische Physik,
Koeln) their hospitality during the fellowships that I made there.
I want to thank to Rodrigo Soto, Adolfo Grushin and Alberto Cortijo the pleasure
to talk about physics with them, you always learn something new with them.
I also thank my colleagues of GISC for their support, especially Ricardo, Juan, Luis,
Edgar and Jordan, with whom I shared conferences, drinks and talks, both formal and
informal, you have made this journey worthwhile.
No words can express the acknowledgments and a ection I feel toward my par-
ents, Germ an and Carmina.~ Thanks to them, their continued support and con dence
without limitation, all this has been possible. I also thank my sister Mar a and her
husband, Antoine, the wise advices that they have always been able to give me, and
my niece Ines, she always makes us participants of her full joy.
vvi Acknowledgements
I can not avoid thinking of my grandparents, as my grandfather Vicente, whom for
misfortunes of fate I never got to meet him. Eduardo, Mercedes, Jexuxa, not a day
goes by without remembering you, and now that you are not here with us, I realize
how much I miss you. I hope that wherever you are, you can feel proud of me. I am
proud of you.
Of course I remember the rest of my family, my godparents, my cousins, uncles,
nephews, . . . . Fortunately the list is endless, thank you very much to all of you.
And what about my friends, Javier, Eduardo and Jacobo especially, the people of
the Faculty and Hypatia in particular. And all the people of Calasancio (those dance
classes with Alfredo), every minute spent at your side is worth.
Finally, my deepest thanks to you, Bea. The reason of this dissertation has been
the pursuit of happiness, and as I was writing I learned that happiness is incomplete
without you. Thanks for joining me in this way.
While I was writing this thesis, my grandmother Jexuxa died after a long illness.
This thesis is dedicated speci cally to her. Rest in Peace.
During the development of this thesis I was supported by a FPU grant (Becas de
Formaci on de Personal Universitario), the reference number of the scholarship: 2006-
01310 of the Ministry of Education and Science (MEC). This program also funded one
of the fellowships in Cologne. I have also received nancing from the projects: Grupo
Interdisciplinar de Sistemas Complejos (MODELICO-CM), Grupo Interdisciplinar de
Sistemas Complejos. Modelizaci on y Caracterizaci on (Ref: GR58/08), Fluctuaciones
en sistemas f sicos complejos (Ref: CCG07/UCM/ESP-2870), Fluctuaciones en Sis-
temas Fsicos de no equilibrio. Aplicaci on a Medios Granulares (Ref: PR34/07-15859),
Modelizaci on, Simulaci on y An alisis de Sistemas Complejos (MOSAICO) y Orden y
Fluctuaciones en Sistemas Complejos (Ref: FIS2004/271).Contents
Title i
Agradecimientos iii
Acknowledgements v
Table of contents xi
1 Introduction 1
1.1 Introduction and objectives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Structure of the thesis dissertation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
Part I: Casimir e ect in systems subject to noise 11
2 Dynamical approach to the Casimir e ect 13
2.1 Equilibrium and nonequilibrium uctuations . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.2 Casimir forces from the average stress tensor . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.3 Computation of Casimir forces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.4 Reaction{di usion systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.4.1 Uncorrelated noise in time and space . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.4.2 Temporally correlated noise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.4.3 Maximally spatially correlated noise . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.5 Liquid crystals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
viiviii Contents
2.5.1 Uncorrelated noise in time and space . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.5.2 Temporally correlated noise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.5.3 Maximally spatially correlated noise . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.6 Two non hermitian elds system . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.7 Discussion and conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.8 Appendix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.8.1 Appendix A: Elizalde zeta function . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.8.2 Appendix B: Derivation of Eq. (2.33) . . . . . . . . . . . . . . . 44
3 Stochastic quantization and Casimir forces. 47
3.1 Parisi-Wu formalism . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.2 Casimir forces from the average stress tensor . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.3 Perfect metal pistons of arbitrary cross section . . . . . . . . . . . . . . 53
3.3.1 Short distance limit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.3.2 Large distance limit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.4 Thermal Casimir force . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.5 Fluctuation of Casimir forces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.6 Equivalence between dynamical approach to Casimir e ect, Stress Ten-
sor formalism and Partition function formalism . . . . . . . . . . . . . 60
3.7 Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
3.8 Appendices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
3.8.1 Appendix A: Derivation of averaged stress tensor over the piston
surface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
3.8.2 Appendix B: Derivation of the uctuations of the force. . . . . . 67
4 Extension of Langevin formalism to higher temporal derivatives and
its application to Casimir e ect. 75
4.1 Langevin equation with higher temporal derivatives . . . . . . . . . . . 76
4.2 Green function of the Generalized Langevin Equation . . . . . . . . . . 77
4.3 Correlation function in the steady state . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
4.4 Casimir force between in nite parallel plates . . . . . . . . . . . . . . . 81Contents ix
4.5 Discussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
Part II: Multiscattering formalism of Casimir e ect 85
5 Introduction to the multiscattering formalism of Casimir e ect 87
5.1 Partition function description of the problem . . . . . . . . . . . . . . . 88
5.2 Free energy of the system . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
6 Three-body Casimir e ects and non-monotonic forces 95
6.1 General approach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
6.2 Two atoms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
6.3 Two macroscopic metallic spheres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
6.3.1 Analytical results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
6.3.2 Numerical results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
6.4 Discussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
7 Pairwise Summation Approximation of Casimir energy 109
7.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
7.2 Diluted limit at zero temperature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
7.2.1 Purely electric and purely magnetic Casimir energy . . . . . . . 114
7.2.2 Coupled electromagnetic Casimir energy . . . . . . . . . . . . . 116
7.2.3 Asymptotic Casimir energy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
7.3 Diluted limit at any temperature T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
7.3.1 Purely electric and purely magnetic energy . . . . . . . . . . . . 119
7.3.2 Coupled magnetic - electric Casimir energy terms . . . . . . . . 120
7.3.3 Low and zero temperature limit . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
7.3.4 High temperature and classical limit . . . . . . . . . . . . . . . 121
7.4 PSA for three bodies system . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
7.4.1 PSA for general N bodies system . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
7.5 Second order expansion of diluted limit . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
7.6 PSA for objects with general magneto{electric coupling . . . . . . . . . 128
7.7 PSA for Topological Insulators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

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