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Comment démontrer des formules sans effort ? exposé de maîtrise

22 pages
Comment démontrer des formules sans effort ?
exposé de maîtrise
Marc Mezzarobba Sam Zoghaib
Sujet proposé par François Loeser
Résumé
Nous exposons un ensemble de méthodes qui permettent d’évaluer
P
« en forme close », c’est-à-dire sans signe , de vastes classes de sommes
discrètes, et de trouver des démonstrations faciles à vérifier des identi-
tés obtenues. Les principaux ingrédients sont l’algorithme de Gosper, quiPntraite le cas des sommes « indéfinies » t(k), celui de Zeilberger, qui
« devine » une relation de récurrence vérifiée par une somme « définie »P
t(n,k), celui de Petkovšek, qui résout ce type de récurrence, et lesk
certificats WZ, une façon originale de démontrer des formules.
Ces méthodes forment le cœur de l’ouvrage de Petkovšek, Wilf et Zeil-
berger, A = B [1]. Nous ne prétendons pas rivaliser en pédagogie avec
ses auteurs, aussi nous essayons plutôt de donner une présentation plus
concise des seuls résultats importants, sans pour autant omettre de justi-
fication.
1 Table des matières
Introduction 3
1 Termes et récurrences 3
1.1 Quelques notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Opérateurs sur les suites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3 Termes hypergéométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3.2 Termes associés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.4 Forme normale des fractions rationnelles . . . . . . . . . . . . ...
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Comment démontrer des formules sans effort ? exposé de maîtrise Marc Mezzarobba Sam Zoghaib Sujet proposé par François Loeser Résumé Nous exposons un ensemble de méthodes qui permettent d’évaluer P « en forme close », c’est-à-dire sans signe , de vastes classes de sommes discrètes, et de trouver des démonstrations faciles à vérifier des identi- tés obtenues. Les principaux ingrédients sont l’algorithme de Gosper, quiPntraite le cas des sommes « indéfinies » t(k), celui de Zeilberger, qui « devine » une relation de récurrence vérifiée par une somme « définie »P t(n,k), celui de Petkovšek, qui résout ce type de récurrence, et lesk certificats WZ, une façon originale de démontrer des formules. Ces méthodes forment le cœur de l’ouvrage de Petkovšek, Wilf et Zeil- berger, A = B [1]. Nous ne prétendons pas rivaliser en pédagogie avec ses auteurs, aussi nous essayons plutôt de donner une présentation plus concise des seuls résultats importants, sans pour autant omettre de justi- fication. 1 Table des matières Introduction 3 1 Termes et récurrences 3 1.1 Quelques notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2 Opérateurs sur les suites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.3 Termes hypergéométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.3.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.3.2 Termes associés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.4 Forme normale des fractions rationnelles . . . . . . . . . . . . . . 6 2 Sommation 7 2.1 indéfinie : algorithme de Gosper . . . . . . . . . . . . 8 2.1.1 Équation de Gosper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2.1.2 Degré des solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2.1.3 Solutions en forme close . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.2 Sommation définie : algorithme de Zeilberger . . . . . . . . . . . 10 2.2.1 Termes hypergéométriques propres . . . . . . . . . . . . . 11 2.2.2 Algorithme de Zeilberger . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 3 Formules closes et preuves 15 3.1 Preuves WZ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 3.2 Résolution des récurrences : algorithme de Petkovšek . . . . . . . 17 3.2.1 Calcul d’une solution hypergéométrique . . . . . . . . . . 18 3.2.2 Espace des solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Conclusion 22 Références 22 2 Introduction Cet exposé porte sur certaines identités entre fonctions discrètes, de celles qui apparaissent naturellement dans les manipulations « combinatoires ». Un exemple typique est l’identité de Dixon ¶ ¶ ¶X a+b b+c c+a (a+b+c)!k(−1) = . a+k b+k c+k a!b!c! k On s’intéresse à la manipulation automatique, par un logiciel de calcul formel, de ce genre de somme. Deux problèmes se posent. Premièrement, face à une somme comme celle du membre gauche, comment la calculer, autrement dit en trouver une expressionP débarrassée du signe ? Deuxièmement, comment démontrer à moindres frais detellesidentités,qu’ellesaientététrouvéesparl’ordinateurouconjecturéespar un humain? Il est souhaitable d’obtenir des démonstrations autonomes, faciles à vérifier à la main, qui n’exigent de faire confiance ni au logiciel qui a donné la formule, ni à un gros «méta-théorème» dont chaque preuve ne serait qu’une instance. Pour certifier de façon relativement aisée à vérifier une identité compliquée, une démarche naturelle serait d’exhiber une relation de récurrence satisfaite par les deux membres, et de s’assurer qu’ils coïncident en un nombre convenable de valeurs initiales. C’est en effet une des idées de base qui reviendront tout le long du texte. Le point de départ de presque toutes nos manipulations est l’algorithme de 1Gosper, qui permet de trouver à coup sûr, dès qu’elle existe, la « primitive » d’une suite hypergéométrique. Nous présenterons plusieurs autres méthodes, dues notamment à Zeilberger, qui permettent, en utilisant astucieusement des variantesdecetalgorithme,detrouverdesrécurrences,voiredesformulescloses, pour des sommes définies, ou encore des preuves peu naturelles mais vérifiables en quelques lignes d’un grand nombre d’identités. 1 Termes et récurrences Dans cette section, on étudie quelques propriétés des suites hypergéomé- triques à valeurs dans un corps, qui fonderont les manipulations des sections suivantes. 1.1 Quelques notations Sauf mention contraire, dans tout l’exposé,K est un corps de caractéristique nulle. Notation. Soient x∈K et k∈N. On introduit les deux notations kx =x(x−1)...(x−k+1) (factorielle descendante) kx =(x+1)...(x+k) montante). 1l’image réciproque par l’opérateur aux différences finies 3 (Soulignons qu’avec cette définition, et contrairement à une autre convention kfréquente, les k facteurs de x ne commencent qu’à x+1.) Notation. Si p et q sont deux polynômes, p∧q désigne leur pgcd normalisé. Si p est un polynôme en une variable n, on note λ(p) son coefficient j jdominant et (p(n))[n ] le coefficient de son monôme en n . On s’autorise aussi certains abus de notation dans la manipulation des po- lynômes et fractions rationnelles, considérés tantôt comme tels, tantôt comme fonctions, sans distinction entre variables et indéterminées. Deux polynômes se- ront donc vus comme égaux s’il coïncident en les valeurs considérées de leurs variables. 1.2 Opérateurs sur les suites N×ZSoitK un corps. On introduit surK les opérateurs linéaires de décalage de chacune des variables N :t(n,k)7→t(n+1,k) et K :t(n,k)7→t(n,k+1). N ZIndifféremment surK ouK , on dispose de l’opérateur t(n)7→ t(n+1), éga- lement noté N. Dans ce cas Δ = N − 1 désigne l’opérateur aux différences finies. Un de nos principaux objectifs, nous l’avons dit, est de trouver des récur- rences vérifiées par des suites données sous forme de sommes. Nous cherchons plus précisément des récurrences linéaires à coefficients polynomiaux. Définition. Un opérateur de récurrence linéaire d’ordre J (à coefficients poly- nomiaux) est un opérateur de la forme JX jL= a (n)Nj j=0 où les a sont des polynômes en n, avec a et a non nuls.j 0 J Nous tenons là notre premier procédé de démonstration : pour montrer que deux suites sont égales, il suffit de montrer qu’elles satisfont une même récur- rence de cette forme, puis de vérifier l’égalité en un nombre fini de valeurs. Ce nombre n’est pas en général l’ordre de la récurrence, puisque les coefficients peuvent s’annuler. Cependant, ils ne s’annulent qu’un nombre fini de fois, de sorte que la récurrence garantit quand même l’égalité des deux suites à partir d’un certain rang. 1.3 Termes hypergéométriques 1.3.1 Définition Onsouhaiteautomatiserdescalculsrelativementcomplexeset a priori guère systématiques.Uneidéerécurrenteseradelesrameneràdesmanipulationsalgo- rithmiques de routine : algèbre linéaire de base et opérations sur les polynômes. 4 6 6 6 Il est donc assez naturel de prendre pour objets de base les termes hypergéo- 2métriques, qui sont en quelque sorte les fonctions les plus générales dont la manipulation se réduit facilement à celle de fractions rationnelles, et donc de polynômes. Définition. Une suite (t(k)) d’éléments d’un corpsK est un terme hyper-k∈Z géométrique si et seulement si t = 0 et t /t est une fraction rationnelle en0 k+1 k k sans pôle entier. Si les a et b sont respectivement les racines et les pôlesi j de t /t dans une clôture algébrique de K, comptés avec mutiplicité, celak+1 k équivaut à k−1 k−1 a ...ap1 kt(k)=t x .0 k−1 k−1 b ...bq1 On a des définitions analogues pour les suites indicées par N ou par n’im- porte quel intervalle d’entiers, avec les restrictions correpondantes sur les pôles du rapport de deux termes. La notion s’étend naturellement à plusieurs va- riables; en particulier, t(n,k) sera dit doublement hypergéométrique lorsque t(n+1,k)/t(n,k) et t(n,k+1)/t(n,k) appartiennent àK(n,k), et t(0,0)=0. Une formule close pour une suite t(n) est une expression explicite de cette suite comme combinaison linéaire de termes hypergéométriques. Une formule close n’est pas nécessairement une formule « simple », et réciproquement. La définition est tout de même raisonnable : elle signifie qu’on considère que l’on a calculé une somme si on a réussi à l’écrire comme somme d’un nombre constant, et fini, de termes. 1.3.2 Termes associés Définition. On dit que deux termes hypergéométriquess ett sont associés si et seulement si leur rapport est une fraction rationnelle. Cela définit une relation d’équivalence. Lemme. Une somme de termes hypergéométriques associés est nulle ou elle- même hypergéométrique. Démonstration. Si s(n) et t(n) = −s(n) sont deux termes hypergéométriques associés, s(n+1) s(n) t(n+1)+s(n+1)+t(n+1) s(n) t(n) t(n) = s(n)s(n)+t(n) +1 t(n) est une fraction rationnelle. Proposition. Toute combinaison linéaire de termes hypergéométriques s’écrit de façon unique (à l’ordre près) comme somme de termes deux à deux non associés. Démonstration. D’après le lemme, il suffit de regrouper les termes associés pour obtenir l’écriture voulue. Pour l’unicité, montrons par récurrence sur p>1 qu’une somme dep termes hypergéométriques deux à deux non associés n’est pas nulle. C’est évident si 2Presque : il existe des classes plus vastes de termes pouvant prétendre à ce titre, à com- mencer par les termes q-hypergéométriques de Heine. Il se trouve que les résultats que nous exposons s’y généralisent assez bien. 5 6 P Pp+1 p+1p = 1 ou 2. Soit p> 2, et supposons t = 0. Alors t (n+1) = 0, eti ii=1 i=1Pt (n+1) n+1p+1 t (n)=0. Soustrayons la seconde relation de la première :it (n) i=1p+1 ¶pX t (n+1) t (n+1)p+1 i− t (n)=0.i t (n) t (n)p+1 i i=1 Si l’un des termes de la somme est nul, c’est que t et un certaint ,i6p sontp+1 i proportionnels, et donc associés. Sinon, chaque terme est un terme hypergéo- métrique, et par hypothèse de récurrence il y en a deux d’associés, i.e. il existe i=j tels que t (n+1) t (n+1)p+1 i − t (n) t (n) t (n)p+1 i i ∈K(n). t (n+1) t (n+1) t (n)p+1 j j− t (n) t (n)p+1 j Le premier facteur étant une fraction rationnelle, t et t sont associés.i j 0Si maintenant s(n) s’écrit de deux façons t (n)+···+t (n) et t (n)+···+1 p 1 0t (n) comme somme de termes hypergéométriques deux à deux non associés,q 0 0t (n)+···+t (n)−t (n)−···−t (n)=0 ne peut s’écrire comme somme non1 p 1 q vide de termes hypergéométriques non associés; ainsi chacun des t est associé,i 0et donc égal, à exactement un des t .j Signalons enfin un résultat immédiat mais utile. Proposition. Soient L un opérateur de récurrence linéaire à coefficients poly- nomiaux et t(n)6∈ kerL un terme hypergéométrique. Alors Lt(n) est un terme hypergéométrique associé à t(n). 1.4 Forme normale des fractions rationnelles Gosper a introduit une écriture des fractions qui s’avèrera fon- damentale à plusieurs reprises dans la suite. SoitK un corps de caractéristique nulle. Supposons en outre que l’on dispose d’un algorithme pour, étant donné P ∈K[X], calculer l’ensemble de ses racines 3entières . Théorème 1. Toute fraction rationnelle R∈K(n)\{0} s’écrit sous la forme p(n) r(n+1) R(n)=c (1) q(n+1) r(n) où c ∈ K et où p, q, r sont des polynômes unitaires vérifiant p(n)∧ r(n) = ∗q(n)∧r(n) = 1 et p(n)∧q(n+h) = 1 pour tout h ∈N . L’algorithme de la figure 1 calcule c, p, q et r. 3C’est vrai dans tous les cas qui nous intéressent en pratique : siK=Q, on peut se ramener à P ∈Z[X], diviser P par une puissance de X telle que 0 ne soit plus racine, et les racines entières restantes divisent alors le terme constant. SiK=k(α) et si l’on sait trouver les Pd ientières d’un polynôme de k[X], on pose Q(α)P = P (X)α avec d