Construction of quantum symmetries for realistic field theories on noncommutative spaces [Elektronische Ressource] / Florian Koch

Florian Koch

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• Physik

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• Publié par: ludwig-maximilians-universitat_munchen
• Publié le: 01 janvier 2006
• Nombre de lectures: 18
• Langue: Deutsch

Extrait

Construction of Quantum Symmetries for
Realistic Field Theories on
Noncommutative Spaces
Doctoral Thesis
¨ ¨Fakultat fur Physik
¨ ¨Ludwig-Maximilians-Universitat Munchen
Germany
Florian Koch
born November 7, 1972 in Hamburg
Germany
August 11, 20061. Gutachter: Prof. Dr. Julius Wess
2. Gutachter: Prof. Dr. Peter Mayr
Datum der mundlic¨ hen Pruf¨ ung: 22.12.2006Zusammenfassung
Die nichtkommutative Geometrie stellt den alt¨ esten Zugang zur Regularisier-
ungvonUltraviolettdivergenzenderPunktwechselwirkungeninderSt¨ohrungs-
theorie dar. Dieser Zugang ist eine Verallgemeinerung der Quantenmechanik.
Die Regularisierung erfolgt durch nichtverschwindende Unsch¨arferelationen,
die sich aus der neu eingefuhrten¨ Nichtkommutativitat¨ der Ortsoperatoren
ergibt. Zus¨atzlich ist das Ortseigenwertspektrum quantisiert - der messbare
Raum erh¨alt eine diskrete Struktur. Diese wird physikalisch als gravitativer
Hochenergieeffekt auf der Planck-Skala verstanden. Der Bruch der Poincar´e-
Symmetrie durch nichkommutative Ortsoperatoren stellt die zentrale techni-
sche Problematik der nichtkommutativen Geometrie dar. Die mathematis-
che Handhabung dieser Problemstellung ist aufwendig und wird im math-
ematischen Fachgebiet der Quantengruppen behandelt. Die mathematische
Entwicklung hat sich dabei teilweise von den Bedurfniss¨ en der Physik ent-
fernt. Diese Doktorarbeit leistet einen Betrag dazu, Quantengruppen fur¨
die Anforderungen der Quantenfeldtheorie besser zuganglic¨ h zu machen. Zu
diesem Zweck wird im Rahmen dieser Arbeit die Quantisierung der Poincar´e-
Algebra fur¨ nichtkommutative R¨aume mit kanonischen Kommutatorrelation-
en berechnet. Diese Raume¨ sind ¨außerst popul¨ar unter Feldtheoretikern und
verfug¨ ten bisher nur ub¨ er Translationsinvarianz. Die Deformationen werden
ub¨ er einen notwendigen Satz von Bedingungen und einem allgemeinen Ansatz
fur¨ die Lorentz-Generatoren bestimmt. Es wird eine zweiparametrige Schar
von ¨aquivalenten aber nichttrivialen Deformationen der Poincar´e-Algebra er-
halten. Dievollst¨andigeHopf-Strukturwirdberechnetundbewiesen. Casimir-
Operatoren und Raumzeitinvarianten werden bestimmt. Desweiteren wird ein
allgemeines Quantisierungsverfahren entwickelt, in dem die universelle Ein-
hullende¨ von Matrix-Darstellungen von Lie-Algebren in eine eigens konstru-
ierte Hopf-Algebra von Vektorfeldern als Unteralgebra eingebettet wird. Die
unter Physikern popul¨aren Sternprodukte k¨onnen damit generell zur Twist-
Quantisierung von Lie-Algebren verwendet werden. Da die Hopf-Algebra der
Vektorfelder g¨oßer ist als die universelle Einhullende¨ der Lie-Algebra, sind
allgemeinere Deformationen m¨oglich als bisher. Dieses Verfahren wird weiter-
hin auf die Heisenbergalgebra mit Minkowski-Signatur angewendet. Dadurch
erh¨alt man eine fundamentale Verallgemeinerung der Quantenmechanik, mo-
tiviert als gravitativer Hochenergieeffekt. Nichtkommutativitat wird dadurch
in Abh¨angigkeit von Energie und Impuls gesetzt. Technisch wird dazu das
Quantisierungsverfahren von Weyl und Moyal formalisiert. Die Mehrfach-
anwendung von Twists wird eingefuhrt.¨In diesen heil’gen Hallen
Kennt man die Rache nicht,
Und ist ein Mensch gefallen,
Fuh¨ rt Liebe ihn zur Pflicht.
Dann wandelt er an Freundes Hand
Vergnugt¨ und froh ins bess’re Land.
In diesen heil’gen Mauern
Wo Mensch den Menschen liebt,
¨Kann kein Verrater lauern,
Weil man dem Feind vergibt.
Wen solche Lehren nicht erfreun,
Verdienet nicht, ein Mensch zu sein.
(Aria No. 15, The Magic Flute, E. Schikaneder)To Whom It May ConcernContents
1 Introduction 11
1.1 Noncommutative Geometry: A brief Status Report . . . . . . . 11
1.2 Thesis Objective . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.3 Outline and Results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.4 Aftermath and Acknowledgement . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.5 Outlook . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2 Mathematical Introduction 23
2.1 Quantum Groups from Physics Perspective . . . . . . . . . . . . 24
2.1.1 QuantumMechanicswithintheSetupofQuantumGroups 25
2.1.2 Quantization of Lie-algebras and their Representation . . 33
2.1.3 Discussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.2 Hopf Algebras: A Conceptual Introduction . . . . . . . . . . . . 39
2.2.1 Hopf Algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.2.2 Duality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.2.3 Representations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.3 Quantization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
2.3.1 Quasitriangular Hopf Algebras and their Duals. . . . . . 61
2.3.2 Deformation of U(g) andF(G) and their Representations 66
2.3.3 Drinfeld-Twist and quasitriangular Structure . . . . . . . 71
3 Construction of θ-Poincar´e Algebra and its Invariants on M 73θ
3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
λ3.2 The Poincar´e Algebra and its θ - Deformations U (p) . . . . . . 74θ
λ3.2.1 Conditions for Deformations U (p) as Actions onX . . 75θθ
(λ ,λ )1 23.2.2 The Computation of Explicit Solutions U (p) . . . . 81θ
(λ ,λ )1 23.2.3 The Hopf Algebra Structure of U (p) . . . . . . . . 83θ
(λ ,λ )1 23.2.4 Equivalence among derived Solutions U (p) . . . . . 84θ
3.3 Casimir Operators and Space Invariants . . . . . . . . . . . . . 86
3.3.1 Pauli-Lubanski vector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
9Contents
3.3.2 Spacetime Invariants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
3.4 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
4 Vector Field Twisting of Lie-Algebras 91
4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
4.2 Representation of U(g) on U(X) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
4.3 A Hopf-Algebra of Vector FieldsW(Π,X) . . . . . . . . . . . . 97
4.3.1 A Hopf-Algebra U(Π) of Momenta . . . . . . . . . . . . 97
4.3.2 The Left Cross-Product U(X)>/U(Π) . . . . . . . . . . 98
4.3.3 The Hopf-algebraW(Π,X) of vector fields . . . . . . . . 100
4.3.4 Representation ofW(Π,X) on U(X) . . . . . . . . . . . . 101
4.4 Representation of U(g) inW(Π,X) . . . . . . . . . . . . . . . . 103
4.5 Twisting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
4.6 Deformation of a two-dimensional Representation of U(sl ) . . . 1082
4.7 Closing Remarks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
5 Twist-Deformed Lorentzian Heisenberg-Algebras 111
5.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
5.2 Quantum Mechanics according to Weyl and Moyal . . . . . . . . 114
5.2.1 The Minkowskian Heisenberg-Algebra . . . . . . . . . . . 114
5.2.2 Phase Space Quantization with Starproducts . . . . . . . 117
5.3 Vector FieldsW(Π,Γ) on Minkowskian Phase Space . . . . . . . 121
5.3.1 The Algebra of Momenta U(Π) represented on U(Γ) . . . 122
5.3.2 The Hopf-AlgebraW(Π,Γ) of Vector Fields . . . . . . . 123
5.4 The Vector Field Representation of the Lorentz-Algebra. . . . . 125
5.5 Twisting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
5.5.1 Double Twisting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
5.5.2 Twists, Starproducts and Vector Fields . . . . . . . . . . 128
5.6 An Example for a Twisted Heisenberg-Algebra . . . . . . . . . . 130
5.7 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
10