Contributions à l'étude d'une marche aléatoire centrifuge et théorèmes limites pour des processus aléatoires conditionnés, Contribution to the study of a centrifugal random walk and limit theorems for conditioned random processes

Rodolphe Garbit

Description

Sous la direction de Emmanuel Lesigne, Marc Peigné
Thèse soutenue le 20 octobre 2008: Tours
Dans la première partie de cette thèse, nous étudions un modèle de marche aléatoire centrifuge. Nous démontrons une loi du logarithme itéré pour sa norme, et nous obtenons la loi asymptotique des fluctuations de sa direction. Nous donnons ensuite un encadrement du taux de décroissance exponentielle de la probabilité qu'elle se trouve à l'instant n dans un compact fixé en montrant que la probabilité qu'une marche aléatoire centrée classique retourne dans un compact à l'instant n sans quitter un cône ne décroît pas à vitesse exponentielle. Dans la seconde partie, nous étudions le mouvement brownien de dimension quelconque, conditionné à rester dans un cône de révolution pendant une unité de temps, et nous en déduisons un principe d'invariance pour une marche aléatoire conditionnée à rester dans un cône.
-Mouvement brownien conditionné
-Marche aléatoire centrifuge
In the first part of this thesis, we study a model of centrifugal random walk. We prove a Law of Iterated Logarithm for its norm, and find the asymptotic law of the fluctuations of its direction. We then give upper and lower bounds for the exponential decay of the probability that the centrifugal random walk visits a fixed compact set at time n; this is achieved by proving that the probability that a centered random walk visits a compact set at time n without having left a cone does not decrease exponentially. In the second part, we study the multidimensional Brownian motion conditioned to stay in a circular cone for a unit of time, and derive an Invariance Principle for a random walk conditioned to stay in a circular cone.
Source: http://www.theses.fr/2008TOUR4010/document

Informations

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• Langue: Français

Extrait

UNIVERSITE FRANC OIS-RABELAIS
DE TOURS
ECOLE DOCTORALE S. S. T.
LABORATOIRE DE MATHEMATIQUES ET PHYSIQUE THEORIQUE
THESE
presentee et soutenue par
Rodolphe GARBIT
le 20 octobre 2008
pour obtenir le grade de : Docteur de l’Universite Fran cois-Rabelais, Tours
Discipline : Mathematiques
CONTRIBUTIONS A L’ETUDE D’UNE MARCHE
ALEATOIRE CENTRIFUGE
ET
THEOREMES LIMITES POUR DES PROCESSUS
ALEATOIRES CONDITIONNES
THESE dirigee par :
M. LESIGNE Emmanuel Professeur, universite de Tours
M. PEIGNE Marc universite de Tours
RAPPORTEURS :
M. CARMONA Philippe Professeur, universite de Nantes
M. ENRIQUEZ Nathanael universite de Paris X
JURY :
M. ABRAHAM Romain Professeur, universite d’Orleans
M. CARMONA Philippe universite de Nantes
M. COULHON Thierry Professeur, universite de Cergy-Pontoise
M. ENRIQUEZ Nathanael universite de Paris X
M. LE PAGE Emile Professeur, universite de Bretagne-Sud
M. LESIGNE Emmanuel universite de Tours
M. PEIGNE Marc Professeur, universite de ToursResume Dans la premiere partie de cette these, nous etudions un modele de marche aleatoire
centrifuge. Nous demontrons une loi du logarithme itere pour sa norme, et nous obtenons la loi
asymptotique des uctuations de sa direction. Nous donnons ensuite un encadrement du taux de
decroissance exponentielle de la probabilite qu’elle se trouve a l’instant n dans un compact xe en
montrant que la probabilite qu’une marche aleatoire centree classique retourne dans un compact a
l’instant n sans quitter un c^one ne decro^ t pas a vitesse exponentielle.
Dans la seconde partie, nous etudions le mouvement brownien de dimension quelconque, condi-
tionne a rester dans un c^one de revolution pendant une unite de temps, et nous en deduisons un
principe d’invariance pour une marche aleatoire conditionnee a rester dans un c^one.
Mots cles : Marche aleatoire centrifuge, mouvement brownien conditionne, theoremes limite.
Abstract In the rst part of this thesis, we study a model of centrifugal random walk. We prove
a Law of Iterated Logarithm for its norm, and nd the asymptotic law of the uctuations of its
direction. We then give upper and lower bounds for the exponential decay of the probability that
the centrifugal random walk visits a xed compact set at time n; this is achieved by proving that
the probability that a centered random walk visits a compact set at time n without having left a
cone does not decrease exponentially.
In the second part, we study the multidimensional Brownian motion conditioned to stay in a
circular cone for a unit of time, and derive an Invariance Principle for a random walk conditioned
to stay in a circular cone.
Key words : Centrifugal random walk, conditioned Brownian motion, limit theorems.
2Table des matieres
Notations 7
Introduction 9
I Contributions a l’etude d’une marche aleatoire centrifuge 23
1 Presentation du modele 25
1.1 Modele elementaire et hypotheses d’isotropie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.2 Support de la marche centrifuge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.3 Estimations de moments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2 Comportement en norme 33
2.1 Loi des grands nombres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.2 Loi du logarithme itere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.3 Theoreme limite central fonctionnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3 Comportement en direction 39
3.1 Convergence de la . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.2 Theoreme limite central pour l’angle en dimension deux . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.2.1 Angle de la marche centrifuge : de nition et convergence . . . . . . . . . . . . 40
3.2.2 Quelques estimations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.2.3 Demonstration du theoreme limite central pour l’angle . . . . . . . . . . . . . 44
3.3 Theoreme limite central pour la direction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.3.1 Quelques commentaires a propos de la dimension deux . . . . . . . . . . . . . 47
3.3.2 De nouvelles estimations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.3.3 Demonstration du theoreme limite central pour la direction . . . . . . . . . . 48
4 Comportement global 51
4.1 Une conjecture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
4.2 Un theoreme limite central . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
5 Vers un theoreme limite local 55
5.1 Transformee de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
5.2 Encadrement du taux de decroissance de la probabilite de retour dans un compact . 57
5.2.1 Majoration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
5.2.2 Minoration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
5.3 Cas d’egalite des bornes de l’encadrement ; theoreme limite local . . . . . . . . . . . 62
35.3.1 Marche centrifuge plane aux quatre plus proches voisins . . . . . . . . . . . . 62
5.3.2 Marches centrifuges de loi invariante par rotation . . . . . . . . . . . . . . . . 64
6 Sur le temps de sortie d’un c^one pour une marche aleatoire 67
6.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
6.2 C^ one de securite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
6.3 Probabilite de retour a une distance inferieure a la racine carree du temps sans jamais
quitter le c^one . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
6.4 Probabilite de retour dans une boule sans jamais quitter le c^one . . . . . . . . . . . . 73
6.5 A propos des constantes du theoreme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
6.6 Application au cas decentre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
II Theoremes limites pour des processus aleatoires conditionnees a rester
dans des c^ones 77
7 Mouvement brownien conditionne a rester dans un c^one 79
7.1 Mouvement browniene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
7.1.1 Propriete de Markov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
7.1.2 Probabilites de transition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
7.1.3 Continuite a l’interieur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
7.1.4 Prolongement au bord . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
7.2 Le cas d’un demi-espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
7.2.1 Demi-droite et meandre brownien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
7.2.2 Demi-espace et m brownien en dimension superieure . . . . . . . . . . 98
7.2.3 Application a des ouverts « lisses» . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
7.3 Le cas d’un c^one de revolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
7.3.1 Prolongement en dehors du sommet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
7.3.2t au sommet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
8 Principe d’invariance pour des marches aleatoires conditionnees 117
8.1 Marche aleatoire et processus de Donsker conditionne . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
8.1.1 Quelques de nitions et proprietes elementaires . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
8.1.2 Propriete de Markov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
8.1.3 Convergence a l’interieur du c^one . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
8.2 Le cas d’un demi-espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
8.2.1 La methode de Bolthausen pour la dimension 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
8.2.2 Extension en dimension superieure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
8.2.3 Application aux bords localement lineaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
8.3 C^ one quelconque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
8.3.1 Enonces des principaux resultats obtenus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
8.3.2 La methode de Shimura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
8.3.3 Dans quels cas peut-on utiliser cette approche ? . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
Annexes 139
A Theoreme limite central pour martingales 139
B Convergence en loi de processus 141
4C Minimum des fonctions convexes 143
Bibliographie 145
5Remerciements
Je tiens d’abord a exprimer toute ma reconnaissance envers mes deux directeurs de these, Em-
manuel Lesigne et Marc Peigne. Ils ont su patiemment aiguiller mes recherches, me proposer des
pistes interessantes, et m’ont toujours soutenu dans les moments de doutes. Je les remercie pour le
temps qu’ils ont passe a lire et relire mes manuscrits, parfois obscurs, et pour celui passe a re echir
aux questions que je leur posais. Je me rememore avec une pointe de nostalgie toutes les fois ou je
frappais a leur porte avec une « petite question de mathematique elementaire » qui, generalement,
nous occupait pendant quelques heures. . . Encore merci.
Je voudrais remercier ensuite Emile Le Page de m’avoir genereusement accueilli a Vannes pen-