Cosmological sectors in loop quantum gravity [Elektronische Ressource] / vorgelegt von Tim Andreas Koslowski

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• Publié le: 01 janvier 2008
• Nombre de lectures: 5
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Extrait

Cosmological Sectors in
Loop Quantum Gravity
Dissertation zur Erlangung des
naturwissenschaftlichen Doktorgrades
der Julius-Maximilians-Universit at Wurzburg
vorgelegt von
Tim Andreas Koslowski
aus Dusseldorf
Wurzburg 2008Eingereicht am: 20. Mai 2008
bei der Fakult at fur Physik und Astronomie
1. Gutachter: Prof. T. Ohl
2.hter: Prof. M. Bojowald (Pennsylvania State University)
der Dissertation.
1. Prufer Prof. T. Ohl
2. Prufer Prof. M. Bojoald
3. Prufer Prof. T. Trefzger
im Promotionskolloquium
Tag des Promotionskolloquiums: 16. Juli 2008
Doktorurkunde ausgehndigt am: .....Abstract
Loop Quantum Gravity is the most developed canonical quantization of General
1Relativity based on Ashtekar’s connection formulation of classical General Rel-
ativity and is as such a di eomorphism-invariant SU(2)-gauge theory together
with a set of scalar constraints that constrain the total Hamiltonian to vanish.
The elementary degrees of freedom are Wilson lines of the Ashtekar connec-
tion and uxes of the conjugated electric eld through surfaces. The theory is
constructed as a mathematically consistent generalization of lattice gauge the-
ories that supports the di eomorphisms as unitary transformations. The states
of Loop Quantum Gravity are linear combinations of spin network functions,
which describe microscopic gravity. It turns out that the geometry of the spin
network states is highly distributional: quanta of area are carried on edges of
the spin network function and quanta of volume on its vertices. It is conjec-
tured that ne weaves of spin network functions could give rise to semiclassical
geometries, but this picture is still under development.
This thesis is concerned with the description of macroscopic geometries
through Loop Quantum Gravity, and there particularly with the description
of cosmology within full Loop Quantum Gravity. For this purpose we depart
from two distinct (classically virtually equivalent) ans atze: One is phase space
reduction and the other is the restriction to particular states. It turns out that
the quantum analogue of these two approaches are fundamentally di erent:
The quantum analogue of phase space reduction needs the reformulation in
terms of the observable Poisson algebra, so it can be applied to the noncom-
mutative quantum phase space: It rests on the observation that the observable
Poisson algebra of classical canonical cosmology is induced by the embedding of
the reduced cosmological phase space into the phase space of full General Rela-
tivity. Using techniques related to Rie el-induction, we develop a construction
for a noncommutative embedding that has a classical limit that is described by
a Poisson embedding (chapter 4).
To be able to use this class of noncommutative embeddings for Loop Quan-
tum Gravity, one needs a complete group of di eomorphisms for the quantum
theory, which is constructed (chapter 3). These two results are applied in chap-
ter 5 to construct a quantum embedding of a cosmological sector into full Loop
Quantum Gravity. The embedded cosmological sector turns out to be discrete,
2like standard Loop Quantum Cosmology and can be interpreted as a super-
selection sector thereof; however due to pathologies of the dynamics of full Loop
Quantum Gravity, one can not induce a meaningful dynamics for this cosmo-
logical sector.
1M-theory, as a theory of everything, is also a very far developed quantum theory, which
does however not represent a canonical quantization of General Relativity, but a, which
as a conjectured theory of everything has to describe classical gravity in a suitable limit.
2Standard Loop Quantum Cosmology is a loop quantization of classical cosmology that
implements many features of full Loop Quantum Gravity.
iThe quantum analogue of restricting the space of states is achieved by ex-
plicitly constructing states for Loop Quantum Gravity with smooth geometry in
chapter 6. These states do not exist within the Hilbert space of Loop Quantum
Gravity, but as states on the observable algebra of Loop Quantum Gravity. This
observable algebra is built from spin network functions, area operators and a
restricted set of uxes. For this algebra to be physically complete, we needed to
construct a version of Loop Quantum Geometry based on a fundamental area
operator. This version of Loop Quantum is constructed in chapter 8.
Since the smooth geometry states are not in the Hilbert space of standard
Loop Quantum Gravity, we needed to calculate the Hilbert space representa-
tion that contains them using the GNS construction. This representation of
the observable algebra can be illustrated as a classical condensate of geometry
with quantum uctuations thereon. Using these representations we construct
a quantum-minisuperspace in chapter 7, which allows for an interpretation of
standard Loop Quantum Cosmology in terms of these states and led us to con-
jecture a new approach for the implementation of dynamics for Loop Quantum
Gravity.
iiZusammenfassung
Die Schleifenquantengravitation ist die am weitesten entwickelte kanonische
3Quantisierung der Allgemeinen Relativit atstheorie , die auf der Ashtekar Zusam-
menhangsformulierung der klassischen Allgemeinen Relativit atstheorie basiert
und ist als solche eine di eomorphismusinvariante SU(2)-Eichtheorie mit einem
Satz von skalaren Zwangsbedingungen, welche bewirken, dass der Gesamthamil-
tonian verschwindet. Die elementaren Freiheitsgrade sind Wilsonlinien des Ash-
tekar Zusammenhanges und Flusse des konjugierten elektrischen Feldes durch
Ober achen. Die Theorie ist als eine mathematisch konsistente Verallgemeiner-
ung von Gittereichtheorien konstruiert, welche die Di eomorphismen als unit are
Transformationen tr agt. Die Zust ande der Schleifengravitation sind Linearkom-
binationen von Spinnetzwerkfunktionen, welche Mikrogravitation beschreiben.
Es stellt sich heraus, dass die Geometrie der Spinnetzwerke hochgradig entartet
ist: Fl achenquanten werden auf Kanten des Spinnetzwerkes getragen, wogegen
Volumensquanten an den Vertizes residieren. Es wird vermutet, das ein feines
Gewebe von Spinnetzwerkfunktionen semiklassiche Geometrie erzeugen kann,
aber dieses Bild ist noch unvollst andig.
Die vorliegende Arbeit ist mit der Beschreibung makroskopischer Geome-
trien durch Schleifengravitation befasst und zwar insbesondere mit der Beschrei-
bung von Kosmologie innerhalb der vollen Schleifengravitation. Fur dieses Ziel
verwenden wir zwei unterscheidliche (jedoch auf klassischem Level scheinbar
aquiv alente) Ans atze: Einerseits betrachten wir die Reduktion des Phasen-
raumes und andererseits die Beschr ankung auf bestimmte Zust ande. Es stellt
sich jedoch heraus, dass sich die Quantenanaloga dieser beiden Zuangeg funda-
mental unterscheiden:
Das Quantenanalogon der Phasenraumreduktion muss als Aussage ub er die
Observablen-Poissonalgebra umformuliert werden bevor sie auf den nichtkom-
mutativen Phasenraum von Quantentheorien angewendet werden kann: Die
zugrundeliegende Beobachtung ist, dass die Observablen-Poissonalgebra von
klassischer kanonischer Kosmologie durch die Einbettung des kosmologischen
Phasenraumes in den Phasenraum der Allgemeinen Relativit atstheorie induziert
wird. Damit k onnen wir eine Technik, die von der Rie elinduktion abgeschaut
ist, anwenden um die Konstruktion einer nichtkommutativen Einbettung zu en-
twickeln, welche sich im klassischen Limes zu einer Poissoneinbettung reduziert
(Kapitel 4).
Um diese Konstruktion der Einbettung auf die Schleifenquantengravitation
anwenden zu k onnen ben otigt man eine vollst andige Di eomorphismengruppe
fur die Quantentheorie, welche in Kapitel 3 erarbeitet wird. Diese beiden Ergeb-
nisse werden in Kapitel 5 angewendet um die Quanteneinbettung eines kosmolo-
3Die M-Theorie, als eine Theorie von Allem, ist eine ebenfalls sehr weit entwickelte Quan-
tentheorie, welche aber keine kanonische Quantisierung der Allgemeinen Relativit atstheorie
darstellt, sondern eine Theorie, die als vermutliche Theory of Everything auch klassische
Gravitation in einem geeigneten Limes beschreiben muss.
iiigischen Sektors in die volle Schleifengravitation zu konstruieren. Dieser ist, wie
4die standard Schleifenkosmologie diskret und kann als Auswahlsektor dersel-
ben interpretiert werden; aufgrund von Pathologien in der Dynamik der vollen
Schleifengravitationasstl sich aus dieser jedoch keine sinnvolle Dynamik fur den
kosmologischen Sektor induzieren.
Das Quantenanalogon der Beschr ankung des Raumes der Zust ande basiert
auf der expliziten Konstruktion von Zust anden, die eine glatte aumlicr he Ge-
ometrie beschreiben (Kapitel 6). Diese Zust ande existieren zwar nicht im Hilber-
traum der Schleifenquantengravitation, aber als Zust ande auf der Observable-
nalgebra der Sctengravitation. Diese Observablenalgebra wird aus
den Spinnetzwerken, den Fl achenoperatoren und einer eingeschr ankten Menge
der Flusse konstruiert. Um zu zeigen, dass diese Observ physikalisch
vollst andig ist ben otigen wir eine Schleifenquantengeometrie, die auf einem fun-
damentalen Fl achenoperator aufbaut. Diese Schleifenquantengeometrie wird in
Kapitel 8 konstruiert.
Nachdem die Zust ande mit glatter Geometrie nicht im Hilbertraum der stan-
dard Schliefengravitation liegen, mussen wir aus diesen Zust anden Hilbertraum-
darstellungen der Obs