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Définition de : CONSTRUCTION, mathématique

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Article publié par Encyclopaedia Universalis CONSTRUCTION, mathématique Pendant des millénaires les objets mathématiques ont été considérés comme e ayant une existence propre. Depuis la fin du xix siècle et surtout le début du e xx , on a mis au point une méthode axiomatique consistant à tout reprendre afin de donner une base solide à la mathématique à partir du très strict nécessaire. Après de nombreuses crises, on en est arrivé à bâtir cette science sur le socle de la théorie des ensembles, elle-même axiomatisée (par exemple par les systèmes de Zermelo-Fraenkel ou Gödel-von Neumann). Aujourd'hui, tout objet mathématique est (ou plus exactement peut être représenté comme) un ensemble, même si sa genèse résulte souvent d'une chaîne compliquée. Par exemple, une application f d'un ensemble E dans un ensemble F peut être considérée comme un triplet (E, F, G) où G, le graphe de f, est une partie du produit cartésien × [c'est-à-dire des couples (x, y) où x décrit E et y décrit F, un couple ( x, y) étant lui-même l'ensemble {{x}, {x, y}}, où {x} représente l'ensemble dont le seul élément est x, et un triplet (a, b, c) étant le couple ((a, b), c), donc un ensemble] telle que, pour tout élément x de E, il existe un y et un seul de F tel que (x, y) appartienne à f ; cet y sera naturellement noté en abrégé y = f(x).
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CONSTRUCTION, mathématique

Pendant des millénaires les objets mathématiques ont été considérés comme ayant une existence propre. Depuis la fin du xixe siècle et surtout le début du xxe, on a mis au point une méthode axiomatique consistant à tout reprendre afin de donner une base solide à la mathématique à partir du très strict nécessaire. Après de nombreuses crises, on en est arrivé à bâtir cette science sur le socle de la théorie des ensembles, elle-même axiomatisée (par exemple par les systèmes de Zermelo-Fraenkel ou Gödel-von Neumann). Aujourd'hui, tout objet mathématique est (ou plus exactement peut être représenté comme) un ensemble, même si sa genèse résulte souvent d'une chaîne compliquée. Par exemple, une application f d'un ensemble E dans un ensemble F peut être considérée comme un triplet (E, F, G) où G, le graphe de f, est une partie du produit cartésien × [c'est-à-dire des couples (x, y) où x décrit E et y décrit F, un couple (x, y) étant lui-même l'ensemble {{x}, {x, y}}, où {x} représente l'ensemble dont le seul élément est x, et un triplet (a, b, c) étant le couple ((a, b), c), donc un ensemble] telle que, pour tout élément x de E, il existe un y et un seul de F tel que (x, y) appartienne à f ; cet y sera naturellement noté en abrégé y = f(x).

La théorie des ensembles permet, d'après John von Neumann (1903-1957), de construire les objets mathématiques rudimentaires suivants : Ø (le vide), encore noté 0, et, pour tout ensemble x, son « successeur » x+ = x∪{x}. À partir de là, on peut imaginer une suite de successeurs bâtis à partir de 0 de la manière suivante : 1 = 0+ = Ø∪{Ø} = {Ø} = {0}, 2 = 1+ = 1∪{1} = {0}∪{1} = {0,1}, 3 = 2+ = 2∪{2} = {0, 1, 2} et ainsi de suite. Revenant aux notions ensemblistes de base, on peut montrer, de manière fastidieuse, que tous les objets ainsi construits peuvent s'exprimer en fonction du vide et des accolades { et } ; par exemple, ce que nous notons 4 peut s'écrire sous la forme 4={Ø, {Ø},{Ø, {Ø}},{Ø, {Ø},{Ø, {Ø}}}}.

Les axiomes de la théorie des ensembles permettent de dire que l'on a ainsi défini un ensemble infini noté ℕ, dont les éléments, appelés entiers naturels, sont deux à deux distincts et liés par la succession s, définie par s(n) = n+ = n∪{n}. Cet ensemble peut être muni d'opérations internes, dont l'addition, ce qui permet d'écrire plus simplement n+ = n + 1.

On aurait pu d'ailleurs définir autrement cet ensemble, comme muni d'une opération interne injective et non surjective s vérifiant la propriété dite de récurrence : toute partie A de ℕ vérifiant (A) ⊂ A et distincte de ℕ est incluse dans s (ℕ) ; c'est la construction axiomatique de Peano-Dedekind. Le processus de définition de l'addition et de la multiplication est un peu moins simple qu'il ne pourrait y paraître a priori, mais nous en avons tous une idée intuitive très forte ; pour beaucoup de personnes, c'est même le seul fragment mathématique qui serve quotidiennement.

Ainsi forts d'une théorie cohérente des entiers naturels, nous pouvons construire les autres ensembles de nombres assez facilement, à l'exception de l'un d'entre eux (celui des nombres réels). Voici quelques explications destinées à faire comprendre comment définir, à partir de ℕ, les ensembles ℤ (entiers relatifs), ℚ (rationnels), ℝ (réels) et C (complexes).

La construction de ℤ et celle de ℚ sont très voisines. Développons un peu la première. Une fois définie l'opération d'addition dans ℕ, il est naturel de se demander si, a et b étant donnés, il existe un x tel que a = b + x. Ce nombre est la différence de a et de b : si a est supérieur ou égal à b, il n'y a aucun problème, on dispose alors d'une opération partielle, la soustraction, notée avec le signe « moins », et a – b. Si a < b, il est clair qu'aucun x ne peut convenir. L'extension des entiers naturels aux entiers relatifs a été conçue de manière à rendre la soustraction partout définie.

Soit donc (a, b) un couple tel que a < b. Si la soustraction était partout définie, un calcul simple montre qu'une solution de a = b + x serait également une solution d'autres équations a' = b' + x, de manière précise pour tous les couples (a', b') tels que a – b = a' – b' avec a + b' = a' + b. Cela constitue la clef de la construction de ℤ : la relation a + b' = a' + b constitue une relation d'équivalence entre couples du produit cartésien ℕ×ℕ. Les couples vérifiant entre eux cette relation forment une classe d'équivalence ; on décrète alors que le quotient du carré de ℕ par cette relation, c'est-à-dire l'ensemble de ces classes d'équivalence, est l'ensemble des entiers relatifs.

Prenons un exemple : l'entier traditionnellement noté –3 est une classe d'équivalence de ℕ×ℕ, celle des couples (0, 3) [puisque l'on veut que 0 = 3 + (–3)], (1, 4), (2, 5) et, plus généralement, (n, 3 + n). Toutes les classes d'équivalence ainsi définies par (a, b) avec a × b permettent ainsi de définir une soustraction devenue partout possible. Il existe d'autres classes d'équivalence, celles où b a, qui n'introduisent pas en fait de nouveaux nombres, car par exemple la classe du couple (5, 3), que l'on note + 2 puisque 5 = 3 + 2, peut être considérée, sans dommages particuliers, comme pouvant être confondue avec l'entier naturel 2. Cela signifie naturellement que l'entier relatif +2 n'est autre qu'une représentation, à peine différente, du naturel 2.

Dans ℤ la soustraction est maintenant partout définie. Il est très facile de prolonger aux entiers relatifs les autres opérations usuelles de ℕ, à savoir l'addition et la multiplication. Elles y gardent l'essentiel de leurs propriétés. L'ensemble des entiers relatifs est ainsi structuré en anneau commutatif. Cela dit, une opération partielle de ℤ ne peut être partout définie : il s'agit cette fois-ci de la division, puisque, si a et b sont donnés, il est assez rare qu'il existe un relatif x tel que a = bx. Un processus très analogue à celui qui nous a permis de passer de ℕ à ℤ donne naissance à l'ensemble ℚ des nombres rationnels (autrement dit des fractions). Cette fois-ci, le nouvel ensemble de nombres est presque parfait, puisqu'on peut partout ajouter, soustraire, multiplier et diviser (à l'exception toutefois de l'incontournable interdiction de la division par 0, qui pose quelques problèmes). On dit que ℚ est un corps (commutatif lui aussi).

Tout cela reste du ressort de l'algèbre, comme le sera le passage ultérieur du corps ℝ des nombres réels à celui des complexes, noté C. Un nombre complexe, habituellement noté a + bi, est en fait un couple (a, b) de réels sur lequel on fait agir certaines opérations ; ainsi, de ce point de vue, C n'est autre que le carré cartésien ℝ2 de ℝ, muni d'une certaine structure, où est notamment justifiée l'égalité i × i = – 1 où i = (0, 1), impossible entre réels.

Tout autre est la construction de ℝ à partir de ℚ. Cette fois-ci, il s'agit d'analyse, et la technique est beaucoup plus délicate. Elle ne sera d'ailleurs bien mise au point qu'à la fin du xixe siècle, grâce notamment à Dedekind. Il est difficile de donner en quelques mots une base rigoureuse à cette construction. Partant de la pratique usuelle, par exemple celle des commerçants, habitués aux opérations numériques, on peut pourtant définir un nombre réel par son développement décimal. Un nombre réel peut être vu comme un triplet formé d'un entier relatif n, d'une virgule et d'une suite infinie de chiffres (c'est-à-dire d'entiers compris au sens large entre 0 et 9). Ainsi le réel – 2,333... n'est autre que le rationnel – 7 /3, tandis que des suites moins régulières engendrent des réels non rationnels, dits irrationnels, comme la racine carrée de 2 dont le début du développement est 1,414 2...

Auteur: André WARUSFEL
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