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Définition de : CONTINU /DISCRET, mathématique

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Article publié par Encyclopaedia Universalis CONTINU /DISCRET, mathématique Le langage commun fait intervenir l'adjectif continu et le verbe continuer, mais le substantif continu n'est employé que par la langue savante. Nous distinguons entre ce qui est continu et ce qui ne l'est pas, et, la plupart du temps, nous qualifions de continu ce qui est d'un seul tenant, ce qui ne comporte pas de rupture interne. Un processus est dit continu lorsqu'il ne présente pas d'interruption, de pause. De leur côté la philosophie et les mathématiques, dès l'époque grecque, s'attachent à concevoir un continu substantif au-delà de ce continu adjectival, à concevoir un substrat modèle pour ce que l'on dit continu. Le continu est donc une entité support accueillant en elle la non-divisibilité, la non-sécabilité. Nous disposons en quelque sorte d'incarnations intuitives de cette notion avec l'espace et le temps. Il nous semble bien, en effet, que, si les continents sur la surface terrestre forment des composantes autonomes, en revanche l'espace de cette surface terrestre est d'un seul tenant, il tient à lui-même de toute part et en toute région de soi, il est plein de lui-même en tout lieu, inséparable et insécable dans sa spatialité pure.
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CONTINU /DISCRET, mathématique

Le langage commun fait intervenir l'adjectif continu et le verbe continuer, mais le substantif continu n'est employé que par la langue savante. Nous distinguons entre ce qui est continu et ce qui ne l'est pas, et, la plupart du temps, nous qualifions de continu ce qui est d'un seul tenant, ce qui ne comporte pas de rupture interne. Un processus est dit continu lorsqu'il ne présente pas d'interruption, de pause. De leur côté la philosophie et les mathématiques, dès l'époque grecque, s'attachent à concevoir un continu substantif au-delà de ce continu adjectival, à concevoir un substrat modèle pour ce que l'on dit continu. Le continu est donc une entité support accueillant en elle la non-divisibilité, la non-sécabilité. Nous disposons en quelque sorte d'incarnations intuitives de cette notion avec l'espace et le temps. Il nous semble bien, en effet, que, si les continents sur la surface terrestre forment des composantes autonomes, en revanche l'espace de cette surface terrestre est d'un seul tenant, il tient à lui-même de toute part et en toute région de soi, il est plein de lui-même en tout lieu, inséparable et insécable dans sa spatialité pure. De même, il se peut que le processus de mes pleurs se divise en une série d'épisodes distincts, mais le temps lui-même dans lequel s'inscrivent à la fois les phases où je pleure et celles où je ne pleure pas est quant à lui radicalement d'un seul tenant, tout aussi plein de soi-même en toute période et insécable que l'espace.

Opposition du continu et du discret

Le nom de continu désigne alors une entité abstraite qui porterait ces propriétés d'insécabilité et de plénitude mais qui ne serait ni spatiale ni temporelle, dont au contraire l'espace et le temps seraient des exemples. Le discret, de son côté, désigne pour la compréhension classique un état du multiple tout différent : chaque élément s'y affirme comme insulaire par rapport à tous les autres, comme n'entretenant avec eux aucun rapport de proximité, de contagion, comme se contentant en quelque sorte de se poser comme distinct dans son autarcie. Vis-à-vis du supposé modèle intuitif offert pour le continu par la droite géométrique, le discret se laisse montrer ou manifester par les jalons qui s'associent à des points à coordonnées entières marqués sur cette droite : si l'on préfère, on se représentera ces points comme des arbres régulièrement plantées le long de la route infinie de la droite géométrique.

C'est Aristote qui a donné le coup d'envoi de la pensée du continu. Il l'a tout d'abord décrit comme simple, homogène, et comme non-compositionnel : le continu ne peut pas être reconstruit à partir de constituants détachables de lui-même. Il est tellement par essence l'unité que l'on ne peut pas l'obtenir comme agrégat de ses points ou de ses parties. Si cela était possible, les constituants en cause « avoueraient » qu'ils forment à l'origine une multiplicité discrète en quelque sorte. Aristote observait aussi qu'au sein du continu, les parties peuvent avoir des bords qui s'ajointent, et que le continu enveloppe l'infini : si je m'autorise à marquer des places en lui, que je le fasse en explorant une proximité toujours plus restreinte ou en m'éloignant toujours plus, le substrat continu ne me fixe aucune borne. Dans les siècles qui suivent, l'image que l'on se fait du continu reste pour l'essentiel la même. Leibniz et Newton, en inventant le calcul infinitésimal, semblent ouvrir la porte à une autre conception, où le continu serait comme l'addition de segments infiniment petits, inassignables, mais cette vision n'arrive jamais à se stabiliser au plan logique.

La révolution cantorienne et postcantorienne

Cantor et Dedekind, à la fin du xixe siècle, rompent avec cette longue tradition en décidant de concevoir le continu comme ensemble de points, c'est-à-dire en le rendant compositionnel. Le continu sera dès lors incarné exemplairement par l'ensemble ℝ des nombres réels, que Cantor construit en identifiant, parmi les suites de Cauchy de nombres rationnels, celles qui diffèrent d'une suite « nulle à l'infini ». Ce procédé fait fortement usage de la théorie des ensembles fondée dans le même mouvement : celle-ci permet d'envisager plus ou moins librement toutes les collections d'objets, même infinies, et de les poser comme de nouveaux objets de même dignité, disponibles à leur tour pour des procédures d'agrégation, de complication, etc.

Trois propriétés majeures s'attachent désormais au continu : la trans-dénombrabilité, la connexité, et la disponibilité à ce que les fonctions définies sur lui soient discontinues.

Le continu est trans-dénombrable : la multiplicité qui le réalise est infinie d'une infinité qui surpasse infiniment l'infinité minimale, celle des nombres entiers naturels s'égrenant de zéro vers l'infini, infinité dite du dénombrable. Le continu est donc un ensemble d'une richesse immense, débordant notre notion simple de l'infini.

Deuxièmement, le continu est connexe, notion qui relève d'une nouvelle discipline rendue possible par la théorie des ensembles, la topologie générale. Son concept de base est celui d'espace topologique, c'est-à-dire d'espace sur lequel est donnée une notion de lieu, ou de proximité. On a un tel espace chaque fois que l'on spécifie une topologie, c'est-à-dire un ensemble de sous-ensembles, baptisés ouverts, censés être des sous-ensembles « bien abritant », valant comme lieu entourant pour chacun de leurs points, ne laissant aucun de ceux-ci dans l'état « limite » de point-frontière : l'ensemble des « bassins d'intériorité ». L'ensemble de sous-ensembles invoqué doit – pour être une topologie – satisfaire à un certain nombre de conditions, qui expriment le contenu opératoire de la notion de lieu en quelque sorte. Un espace connexe est alors défini comme un espace qui ne se laisse pas diviser en deux bassins d'intériorité, en deux ouverts différant chacun à la fois du tout de l'espace et du vide. Le continu est donc « d'un seul tenant » au sens où il possède une propriété d'insécabilité se formulant en termes de ses sous-ensembles ouverts.

Troisièmement, le continu ℝ est désormais envisagé avec les fonctions définies sur lui, qui sont partie prenante de son identité théorique. Or la topologie définit la notion de fonction continue d'un espace topologique dans un autre : elle déclare une fonction continue en un point a si et seulement si l'on peut forcer l'image f(x) à toute proximité donnée vis-à-vis de f(a) en prenant la variable x dans une proximité correctement ajustée vis-à-vis de a. Suivant cette définition, il apparaît qu'une fonction quelconque définie sur ℝ avec sa topologie usuelle a toutes les chances d'être discontinue en un point arbitraire où je l'envisage. La mathématique arrive même, désormais, à imaginer des fonctions partout discontinues : elle est devenue capable d'envisager beaucoup plus de fonctions, avec des propriétés bigarrées.

Le nouveau point de vue ensembliste et topologique apporte aussi une définition du discret. Sur un ensemble quelconque X on définit en effet la topologie discrète : elle admet comme ensembles ouverts tous les sous-ensembles de X. Il est équivalent de dire que chaque ensemble réduit à un élément – chaque singleton du type {x} pour x ∈ X – est pris comme ensemble ouvert. Chaque élément représente donc par lui-même une perspective de proximité sans bord, au titre de laquelle il est tout seul, il ne rassemble que lui-même avec lui-même. Le résultat est que, pour le sens de proximité choisi, l'ensemble se désagrège en autant de féodalités topologiques qu'il a de points : chacun s'affirme comme un lieu s'isolant de tout autre point. On retrouve donc bien la situation typique des points à coordonnées entières sur la droite réelle, qui sont autant de jalons insulaires, chacun nettement à l'écart de tous les autres. La notion d'espace discret permet en général de décrire les multiplicités que nous voyons comme dissociées en ponctualités autarciques.

L'affaire philosophique, mathématique et scientifique du continu et du discret ne s'arrête par avec la révolution cantorienne, loin de là. Au cours du xxe siècle, les mathématiciens ont exploré de nouvelles manières de concevoir et de formaliser le continu, soit en essayant de « rétablir » la non-compositionnalité aristotélicienne, soit en mettant en relief au sein de la profusion du continu les éléments effectivement repérables, soit en faisant accéder aux normes de rigueur actuelles l'intuition infinitésimale qui fut celle de Leibniz. La physique, les nouvelles sciences cognitives et les sciences humaines se sont montrées concernées par le « conflit » du continu et du discret, de diverses et profondes manières : physique quantique, suggérant dans certains cas des descriptions particulières et discrètes, mais se référant à des modèles profondément continus ; computationnalisme, selon lequel l'esprit humain pourrait être appréhendé selon l'analogie de l'ordinateur, et connexionnisme, qui renvoie à une conception continue de l'opération de la pensée ; données statistiques (discrètes) interprétées continûment afin d'en étudier l'évolution, par exemple en économie, etc. La philosophie a fait écho à ces débats, tout en proposant des valeurs spéculatives pour le continu et le discret. Dans toutes ces aventures, la puissance dynamique et la fécondité de cette vieille opposition ne s'est jamais démentie.

Auteur: Jean-Michel SALANSKIS