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Définition de : FONCTION, mathématique

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Article publié par Encyclopaedia Universalis FONCTION, mathématique Depuis l'introduction en mathématique du mot « fonction » et de la notation y   =  f  (x) par Gottfried Wilhelm Leibniz en 1692, à propos de parties de droites dépendant d'un point variable sur une courbe, cette notion, déjà présente e implicitement dans la pensée de mathématiciens du xvii siècle comme René Descartes (1596-1650), a été précisée en évoluant vers une plus grande généralité, jusqu'à ce que Maurice Fréchet lui donne en 1909 son aspect définitif, la variable et les valeurs de la fonction appartenant à des ensembles quelconques. Il s'agit d'exprimer mathématiquement l'idée intuitive d'associer, selon une certaine règle, certains objets avec d'autres ou avec eux-mêmes. Une fonction étant une correspondance particulière, et certaines fonctions étant des applications, voire des applications particulières que sont les injections, les surjections et les bijections, il faut préciser chacune de ces notions. Soient E et F deux ensembles, distincts ou non (et quelconques, en particulier finis ou non). Pour favoriser une compréhension intuitive, supposons que E et F soient des ensembles de personnes humaines et considérons la situation « envoi de courrier par des personnes de E à des personnes de F », par voie postale ou électronique. Le modèle mathématique de cette situation est une correspondance (au sens mathématique).
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FONCTION, mathématique

Depuis l'introduction en mathématique du mot « fonction » et de la notation y = f (x) par Gottfried Wilhelm Leibniz en 1692, à propos de parties de droites dépendant d'un point variable sur une courbe, cette notion, déjà présente implicitement dans la pensée de mathématiciens du xviie siècle comme René Descartes (1596-1650), a été précisée en évoluant vers une plus grande généralité, jusqu'à ce que Maurice Fréchet lui donne en 1909 son aspect définitif, la variable et les valeurs de la fonction appartenant à des ensembles quelconques.

Il s'agit d'exprimer mathématiquement l'idée intuitive d'associer, selon une certaine règle, certains objets avec d'autres ou avec eux-mêmes.

Une fonction étant une correspondance particulière, et certaines fonctions étant des applications, voire des applications particulières que sont les injections, les surjections et les bijections, il faut préciser chacune de ces notions.

Soient E et F deux ensembles, distincts ou non (et quelconques, en particulier finis ou non).

Pour favoriser une compréhension intuitive, supposons que E et F soient des ensembles de personnes humaines et considérons la situation « envoi de courrier par des personnes de E à des personnes de F », par voie postale ou électronique. Le modèle mathématique de cette situation est une correspondance (au sens mathématique). Une correspondance de E vers F est un triplet (E, F, G) tel que G soit une partie du produit cartésien E×E, c'est-à-dire de l'ensemble des couples (x, y) où x appartient à E et y à F ; les ensembles E, F et G sont appelés respectivement ensemble de départ (ou ensemble source), ensemble d'arrivée (ou ensemble but) et graphe de la correspondance (E, F, G). La notation (x, y) ∈ G (où le signe ∈ se lit « appartient à ») traduit alors le fait que la personne x (de E) a envoyé au moins un courrier à la personne y (de F).

Supposons que chaque personne de E soit n'envoie aucun courrier, soit en envoie à une seule personne de F. Cette situation se traduit mathématiquement par le fait que la correspondance a une propriété particulière qui en fait une fonction. Une fonction de E dans F est une correspondance (E, F, G) de E vers F telle que, pour tout x appartenant à E, il existe au plus un y appartenant à F tel que (x, y) appartienne à G. Lorsque f = (E, F, G) est une fonction, on convient en général d'écrire « y = f (x) » pour signifier « (x, y) ∈ G », l'élément y de F est appelé valeur de la fonction f en x et la partie D de E telle que, pour tout x appartenant à D, il existe un seul y appartenant à F tel que (x, y) appartienne à G, est appelée ensemble de définition de f.

Supposons que chaque personne de E envoie du courrier à une seule personne de F. Cette situation se traduit mathématiquement par le fait que la fonction a une propriété particulière qui en fait une application. Une application de E dans F est une fonction f = (E, F, G) de E dans F telle que, pour tout x appartenant à E, il existe un seul y appartenant à F tel que (x, y) appartienne à G, c'est-à-dire une fonction dont l'ensemble de définition D est confondu avec l'ensemble de départ E.

Une loi de composition est une application du produit cartésien E×E' de deux ensembles (distincts ou non) dans un ensemble F. Si E' = F = E, c'est une loi de composition interne dans E. Si E' = F ≠ E (respectivement si E = F ≠ E'), c'est une loi de composition externe à gauche (respectivement à droite) sur F avec E (respectivement E') comme ensemble d'opérateurs à gauche (respectivement à droite), plus souvent appelée loi d'action à gauche (respectivement à droite) de E (respectivement E') sur F.

Lorsque l = (E×E, E, G) est une loi de composition interne dans E, si (x, y) ∈ E×E, l'élément z de E tel que z = l ((x, y)), c'est-à-dire tel que ((x, y), z) ∈ G, est appelé le composé de (x, y) et est souvent désigné à l'aide des lettres x et y séparées par un symbole, dit symbole de composition, par exemple : « x ∗ y » (lu « x star y »), « x ⊤ y » (lu « x truc y »), « x ⊥ y » (lu « x antitruc y »), « x + y » (lu « x plus y »), « x × y » (lu « x croix y » ou « x multiplié par y »), etc. Ainsi, dans l'ensemble des nombres entiers naturels, l'addition et la multiplication sont des lois de composition internes.

Reprenons l'image du courrier, et supposons que chaque personne de E envoie du courrier à une seule personne de F et que, en outre, chaque personne de F soit ne reçoive pas de courrier, soit en reçoive d'une seule personne. Cette situation se traduit mathématiquement par le fait que l'application a une propriété particulière qui en fait une injection. Une injection (ou application injective) de E dans F est une application f de E dans F telle que, quels que soient x et x' appartenant à E, si x et x' sont distincts, alors f (x) et f (x') aussi.

Supposons maintenant que chaque personne de E envoie du courrier à une seule personne de F et que, en outre, chaque personne de F reçoive du courrier d'au moins une personne. Cette situation se traduit mathématiquement par le fait que l'application a une propriété particulière qui en fait une surjection. Une surjection (ou application surjective) de E dans F est une application f de E dans F telle que, pour tout y appartenant à F, il existe au moins un x appartenant à E tel que y = f (x).

Enfin, supposons que chaque personne de E envoie du courrier à une seule personne de F et que, en outre, chaque personne de F reçoive du courrier d'une seule personne de E (ce qui exige qu'il y ait autant de personnes en E qu'en F). Cette situation se traduit mathématiquement par le fait que l'application est une bijection. Une bijection (ou application bijective) de E dans F est une application de E dans F qui est à la fois injective et surjective. L'application identique de E dans E est l'unique bijection, souvent notée IdE, de E dans E telle que, pour tout x appartenant à E, IdE (x) = x ; le graphe de IdE est l'ensemble des couples (x, x) avec x ∈ E et est appelé la diagonale de E×E.

Soient E1, E2 et E3 trois ensembles, distincts ou non, f = (E1, E2, Gf) une application de E1 dans E2 de graphe Gf et g = (E2, E3, Gg) une application de E2 dans E3 de graphe Gg. L'application h = (E1, E3, Gh) de E1 dans E3, avec Gh pour graphe, définie, pour tout x appartenant à E1, par h (x) = g (f (x)), est appelée composée des applications f et g et est désignée par la notation gf (lue « g rond f »).

L'application réciproque d'une bijection f de E dans F est l'unique bijection, souvent notée f –1, de F dans E telle que f–1f = IdE et f f –1 = IdF.

Certaines applications jouent un rôle particulier dans l'étude des structures mathématiques ; elles portent le nom générique de morphisme, et des noms particuliers tels qu'homomorphisme, isomorphisme, homéomorphisme.

Auteur: Jean-Marie PRUVOST-BEAURAIN