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Définition de : INVARIANT, mathématique

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Article publié par Encyclopaedia Universalis INVARIANT, mathématique À l'origine, la notion d'invariant est relative à un changement de repère en géométrie. L'un des premiers exemples concerne les coniques, c'est-à-dire 2 les courbes, dans le plan, données par une équation du second degré ax + 2 2bxy + cy + 2ux + 2vy + w = 0. Comment reconnaître sur leurs coefficients a, b, c, u, v, w et a', b', c', u', v', w' si deux telles équations représentent la même conique dans deux repères orthonormés ? Il revient d'ailleurs au même que les deux coniques définies, dans un même repère, par ces deux équations se déduisent l'une de l'autre par une transformation isométrique. On introduit les fonctions suivantes des coefficients, appelées invariants fondamentaux : w(ac 2 2 – b ) – v(va – ub) + (vb – uc) ; ac – b ; a + c. Ces fonctions prennent la même valeur pour deux équations déduites l'une de l'autre par une isométrie : on dit qu'elles sont invariantes par le groupe des isométries du plan. De plus, si on exclut le cas d'une conique dégénérée en deux droites parallèles, deux coniques qui ont les mêmes invariants fondamentaux sont isométriques. On trouve là un exemple de la notion abstraite très générale d'invariance par une application f d'un ensemble E dans lui-même : on dit qu'une partie X de E est invariante par f lorsque f(X) est inclus dans X. Si f(x) = x on dit que x est un point fixe de f.
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INVARIANT, mathématique

À l'origine, la notion d'invariant est relative à un changement de repère en géométrie. L'un des premiers exemples concerne les coniques, c'est-à-dire les courbes, dans le plan, données par une équation du second degré ax2 + 2bxy + cy2 + 2ux + 2vy + w = 0. Comment reconnaître sur leurs coefficients a, b, c, u, v, w et a', b', c', u', v', w' si deux telles équations représentent la même conique dans deux repères orthonormés ? Il revient d'ailleurs au même que les deux coniques définies, dans un même repère, par ces deux équations se déduisent l'une de l'autre par une transformation isométrique. On introduit les fonctions suivantes des coefficients, appelées invariants fondamentaux : w(acb2) – v(vaub) + (vbuc) ; acb2 ; a + c. Ces fonctions prennent la même valeur pour deux équations déduites l'une de l'autre par une isométrie : on dit qu'elles sont invariantes par le groupe des isométries du plan. De plus, si on exclut le cas d'une conique dégénérée en deux droites parallèles, deux coniques qui ont les mêmes invariants fondamentaux sont isométriques.

On trouve là un exemple de la notion abstraite très générale d'invariance par une application f d'un ensemble E dans lui-même : on dit qu'une partie X de E est invariante par f lorsque f(X) est inclus dans X. Si f(x) = x on dit que x est un point fixe de f. La façon dont l'exemple entre dans ce cadre est un peu cachée : il faut prendre pour E, non pas l'ensemble des équations de coniques, mais l'ensemble des fonctions de leurs coefficients. Soit G un sous-groupe du groupe des permutations de E (bijections de E sur lui-même) ; la loi de groupe est bien entendu la composition des applications. Les éléments de G qui laissent X invariante forment un sous-groupe de G, parfois appelé groupe des symétries de X, par extension de la notion de symétrie en géométrie euclidienne usuelle. Par exemple, un triangle quelconque n'est invariant par aucune isométrie du plan euclidien autre que l'application identique, alors que le groupe des isométries qui laissent invariant un triangle équilatéral comporte six éléments : les trois symétries par rapport aux médiatrices des côtés, les rotations d'angle 2π /3 et 4π /3 autour du centre du triangle, et, comme toujours, l'application identique.

Bien des propriétés d'objets mathématiques résultent de leur invariance sous un groupe particulier de transformations. Citons deux exemples historiques importants, le groupe de Galois d'un polynôme et le lien entre les symétries d'un système mécanique et les quantités conservées au cours du temps.

Dans son célèbre mémoire de 1830, Évariste Galois associe à tout polynôme P(x) à coefficients entiers un groupe de permutations de ses racines (complexes) et montre que l'équation P(x) = 0 est résoluble par radicaux si et seulement si son groupe de Galois a une structure particulière qui le fait qualifier de groupe « résoluble ». Pour la plupart des équations du cinquième degré, le groupe de Galois est isomorphe au groupe des permutations de l'ensemble {1, 2, 3, 4, 5} qui n'est pas résoluble.

Après ses premiers travaux sur la théorie classique des invariants, Emmy Noether est appelée à Göttingen pour collaborer avec Klein, Hilbert et Einstein. En cherchant à mieux comprendre les propriétés d'invariance des équations d'Einstein, elle établit, en 1918, le lien entre les lois de conservation d'un système mécanique lagrangien et les symétries de son intégrale d'action dans un cadre très général qui contient aussi bien la mécanique classique (où l'espace des états possibles est de dimension finie) que le formalisme de la relativité générale (où les états possibles sont des champs qui forment un espace de dimension infinie).

Classifications

Dans les mathématiques contemporaines, la notion d'invariant s'est encore étendue : on entend désormais par là un paramètre qui permet de classer un ensemble d'objets mathématiques en classes à l'intérieur desquelles le paramètre ne varie pas. Ce paramètre peut être de nature numérique, mais aussi de nature plus compliquée : fonction, espace vectoriel, etc.

Souvent, mais pas toujours, la classification est définie par un groupe de transformations d'un ensemble E. Comme dans l'exemple des coniques, deux éléments de E sont dans la même classe lorsque l'un est transformé de l'autre par une transformation appartenant au groupe.

Plus généralement, les classes en question peuvent apparaître comme classes d'isomorphisme ou de déformation pour une structure particulière : espaces topologiques, variétés algébriques, riemanniennes, etc.

À quoi servent de telles classifications ? D'une part, on définit ou on réalise certains objets mathématiques comme classes ou comme ensemble de classes – l'ensemble des classes est appelé ensemble quotient ou espace quotient –, par exemple l'orientation du plan et de l'espace, l'angle de deux droites, certaines variétés. D'autre part, les classifications permettent de mettre en œuvre la puissance d'abstraction des mathématiques. Lorsqu'on découvre une propriété d'un objet mathématique particulier, on cherche une bonne notion d'isomorphisme ou, plus généralement, de classification, telle que tous les objets de la classe possèdent cette propriété.

L'objectif est souvent de construire suffisamment d'invariants, aussi simples que possible, sur l'ensemble étudié pour pouvoir décider si deux objets appartiennent à la même classe. Par exemple, la dimension d'un espace vectoriel est invariante par isomorphisme linéaire et caractérise un espace vectoriel de dimension finie à isomorphisme linéaire près.

Les invariants sont éventuellement utilisés pour munir l'espace quotient de structures supplémentaires, algébriques ou géométriques. Il faut aussi disposer de méthodes pour calculer les invariants pour un objet donné. De plus, il arrive qu'on aboutisse aux mêmes invariants par plusieurs constructions d'origines différentes, parfois issues les unes de considérations internes aux mathématiques, les autres de modèles en physique. Les mathématiques contemporaines développent des théories extrêmement fécondes pour obtenir de telles méthodes et expliquer ces coïncidences.

Invariants algébriques d'un groupe de transformations

La notion d'invariant algébrique, dont un exemple a été donné dans l'introduction, a précédé historiquement celle de groupe de transformations. La relation a été reconnue par Felix Klein qui, dans son célèbre « programme d'Erlangen » de 1872, soutient que toute géométrie peut s'exprimer comme une théorie des invariants pour un groupe particulier de transformations, tel que les groupes projectifs, affines, euclidiens, hyperboliques, etc.

Le calcul cas par cas de ces invariants algébriques et de leurs relations, les syzygies, a été une préoccupation majeure des mathématiciens de la seconde moitié du xixe siècle. David Hilbert unifia la théorie et démoda brutalement ces calculs en 1890 en démontrant l'existence – sous des hypothèses générales – d'une famille finie d'invariants fondamentaux qui engendrent tous les autres, forgeant à cet effet des concepts abstraits qui fondèrent l'algèbre moderne.

Invariants en topologie et en géométrie

En topologie algébrique, on associe à un espace topologique ou à une application continue entre deux espaces topologiques des invariants par déformation continue. Ces invariants sont de nature algébrique et on exploite pour les étudier toutes les ressources de l'algèbre abstraite, d'où le nom de topologie algébrique. La notion précise de déformation s'appelle homotopie. Pour cette notion, un cercle, un cylindre et un ruban de Möbius sont dans la même classe qui contient aussi l'espace topologique formé par le plan privé d'un point, tandis qu'une autre classe contient à la fois la figure formée par le chiffre 8 et l'espace formé par le plan privé de deux points.

L'exemple le plus simple d'invariant en topologie algébrique est le nombre de rotation d'une application continue du cercle dans lui-même, notion mathématique qui précise l'idée intuitive du nombre de tours, compté algébriquement, parcourus par f(t) lorsque t fait un tour. Deux telles applications sont homotopes si et seulement si elles ont le même nombre de rotation.

La notion d'invariant joue un rôle majeur dans la théorie des nœuds où – dans le cas de l'espace usuel – on entend par nœud une ficelle emmêlée dont on a recollé les extrémités. Il s'agit de décider si deux nœuds peuvent être transformés l'un en l'autre en démêlant ou en emmêlant la ficelle sans la couper.

La dimension d'une variété différentielle est un invariant local par homéomorphisme. De plus, deux variétés de même dimension sont localement isomorphes ; pour les distinguer, il faut faire appel à des invariants globaux qui dépendent, au contraire, de la variété tout entière tels que le genre d'une surface : la sphère est de genre 0 et le tore de genre 1.

Parmi les invariants globaux d'isométrie des variétés riemanniennes, on trouve des spectres de fréquence analogues à ceux qui sont émis par une membrane vibrante, ce qui fait utiliser la formule évocatrice « Peut-on entendre la forme d'un tambour ? » On ne peut pas tout à fait, mais cela n'a été démontré qu'en 1992 pour la dimension 2, celle des tambours usuels.

De nouveaux invariants pour divers types de géométrie sur les variétés, ainsi que pour la classification des nœuds, ont été découverts à la fin du xxe siècle, au sein de théories très prometteuses où les mathématiques se mêlent à la physique des hautes énergies pour tenter une description unifiée des interactions fondamentales de l'Univers.

Auteur: Nicole BERLINE
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