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Définition de : LIMITE, mathématique

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Article publié par Encyclopaedia Universalis LIMITE, mathématique La notion mathématique de limite a été introduite en 1735 par le mathématicien anglais Benjamin Robins comme ce vers quoi tendent, sans jamais l'atteindre, certains rapports de quantités variables. Précisée en 1800 par le mathématicien et physicien allemand Carl Friedrich Gauss pour les suites de nombres réels, puis en 1823 par le mathématicien français Augustin-Louis Cauchy, qui la met à la base du calcul infinitésimal et introduit la notation « lim » pour « limite », elle reçut une définition précise et générale grâce aux notions d'espace topologique, donnée par le mathématicien allemand Felix Hausdorff en 1914, et de filtre, introduite en 1937 par le mathématicien français Henri Cartan. Des images géométriques intuitives permettent d'approcher la notion de limite. Imaginons, dans un plan, deux courbes ayant des branches infinies qui se rapprochent indéfiniment l'une de l'autre (on dit qu'elles sont asymptotiques) : leur distance, c'est-à-dire la distance minimale d'un point d'une courbe à l'autre courbe, diminue constamment lorsque ce point se déplace (dans le « bon » sens) sur sa courbe, mais n'est jamais nulle ; on peut dire que, dans ces conditions, cette distance a pour limite 0 et que cette limite n'est pas atteinte.
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LIMITE, mathématique

La notion mathématique de limite a été introduite en 1735 par le mathématicien anglais Benjamin Robins comme ce vers quoi tendent, sans jamais l'atteindre, certains rapports de quantités variables. Précisée en 1800 par le mathématicien et physicien allemand Carl Friedrich Gauss pour les suites de nombres réels, puis en 1823 par le mathématicien français Augustin-Louis Cauchy, qui la met à la base du calcul infinitésimal et introduit la notation « lim » pour « limite », elle reçut une définition précise et générale grâce aux notions d'espace topologique, donnée par le mathématicien allemand Felix Hausdorff en 1914, et de filtre, introduite en 1937 par le mathématicien français Henri Cartan.

Des images géométriques intuitives permettent d'approcher la notion de limite.

Imaginons, dans un plan, deux courbes ayant des branches infinies qui se rapprochent indéfiniment l'une de l'autre (on dit qu'elles sont asymptotiques) : leur distance, c'est-à-dire la distance minimale d'un point d'une courbe à l'autre courbe, diminue constamment lorsque ce point se déplace (dans le « bon » sens) sur sa courbe, mais n'est jamais nulle ; on peut dire que, dans ces conditions, cette distance a pour limite 0 et que cette limite n'est pas atteinte.

Une autre image consiste à concevoir une courbe qui s'enroule indéfiniment en spirale autour d'un point, sans l'atteindre : elle tourne autour de ce point, qui est pour elle un point limite. Une courbe peut avoir deux ou plusieurs points limites non atteints : dans un plan, imaginons une courbe C qui s'enroule alternativement autour de deux points A et B en passant de l'un à l'autre comme lorsque l'on trace le chiffre « 8 », mais en se rapprochant constamment de A et de B, sans pour autant les atteindre.

Dans ces trois exemples, la limite n'est pas atteinte. Mais, pour la courbe C' formée de la réunion de la courbe C et du point A, le point A est un point limite qui est « atteint ».

Sur un segment de droite, choisissons deux points N et P distants d'une longueur d. Partant de N, on peut évidemment atteindre P en parcourant la distance d. On aura d'abord parcouru la distance d /2 pour atteindre le milieu M de NP, puis la distance d /4 pour atteindre le milieu de MP, etc. : la distance restant à parcourir, égale à d /(2n) au n-ième « milieu » atteint, devient de plus en plus petite mais n'est jamais nulle – on reconnaît là l'un des paradoxes de Zénon d'Élée (ve siècle av. J.-C.). Quand n augmente indéfiniment (on dit que « n tend vers plus l'infini », et on note n → + ∞), cette distance d /(2n) a pour limite 0, sans l'atteindre : on dit que la suite de terme général d /(2n) a pour limite 0 quand n tend vers plus l'infini. On peut relier le fait que le point P est pourtant atteint, au fait que « la série infinie de terme général 1 /2n est convergente », c'est-à-dire que la somme infinie d /2 + d /4 + ... + d /(2n) + ... a une valeur finie, égale à d. En effet, 1 /2 + 1 /4 + ... + 1 /(2n) + ... = 1. La notion de limite est donc liée aux infiniment petits et au calcul infinitésimal qui fut développé aux xviie et xviiie siècles.

Venons-en au cas d'une fonction numérique, c'est-à-dire dont l'ensemble d'arrivée est un ensemble de nombres, par exemple l'ensemble des nombres réels ℝ. Si, dans certaines conditions, les valeurs de la fonction se rapprochent indéfiniment d'un certain nombre, cette fonction a, dans ces conditions, une limite, qui est ce nombre.

Soit par exemple h la fonction de ℝ dans ℝ définie par h (x) = sin(1 /x), où « sin » signifie sinus (elle n'est donc pas définie si x = 0). Lorsque x croît indéfiniment, h a pour limite 1. Lorsque x tend vers 0,1 /x croît indéfiniment (ou « tend vers + ∞ », mais + ∞ n'est pas un élément de ℝ) mais sin(1 /x) n'a pas de limite puisqu'il prend indéfiniment toutes les valeurs comprises entre – 1 et 1 : on pourrait dire que, lorsque x tend vers 0, h admet un « segment limite », qui est l'intervalle fermé [– 1, 1]. Lorsque x tend vers 2 /π, h (x) tend vers sin(π /2) = 0 et, comme h (2 /π) = 0, au point 2 /π la valeur de la fonction h est égale à sa limite : on dit que h est continue en ce point.

Plus précisément, si f est une fonction de l'ensemble des nombres réels ℝ dans ℝ, d'ensemble de définition D, on dit que f a pour limite l (appartenant à ℝ) en tendant vers a (appartenant à D) si, quel que soit ε > 0, il existe η > 0 tel que : x appartient à ]a – η, a + η[ (« voisinage de a ») entraîne f(x) appartient à ]l – ε, l + ε[ (« voisinage de l »).

Tous ces exemples utilisent implicitement certaines propriétés de l'espace euclidien et des nombres réels, et la notion intuitive de limite qu'ils permettent de dégager a été généralisée à l'aide de considérations topologiques.

On appelle base de filtre sur E tout ensemble non vide B de parties de E tel que l'ensemble vide n'appartienne pas à B et que, quels que soient X et Y éléments de B, il existe Z appartenant à B tel que Z soit inclus dans l'intersection de X et de Y.

Soient E et E' deux ensembles (distincts ou non), f une fonction de E dans E', B une base de filtre sur E et O' une topologie sur E' ; (E', O') est donc un espace topologique. On dit que f a pour limite l (l étant un élément de E') suivant la base de filtre B, ou que f converge vers l suivant la base de filtre B, si, pour tout O'-voisinage V' de l, il existe un élément B appartenant à B tel que f (B) soit inclus dans V', en notant f (B) la partie de E' qui est l'ensemble des valeurs f (x) de la fonction f lorsque x appartient à B. En toute rigueur, puisque O' intervient, on devrait parler de O'-limite suivant la base de filtre B, ou encore de B-O'-limite.

Pour une fonction, le fait qu'elle admette on non une limite en un point n'est donc pas une propriété intrinsèque : cela dépend de la base de filtre B et de la topologie O' choisies sur ses ensembles de départ et d'arrivée.

Si (E, O) est un espace topologique, l'ensemble VO (a) des O-voisinages d'un point a de E est une base de filtre sur E. On dit alors que f, d'ensemble de définition D, a pour limite l (élément de E') en tendant vers a (élément de E) si, pour tout O'-voisinage V' de l, il existe un O-voisinage V de a tel que, quel que soit x appartenant à l'intersection de V et de D, f (x) appartient à V'. En toute rigueur, puisque O et O' interviennent, on devrait parler de VO (a)-O'-limite. Si en outre l = f (a), f est O-O'-continue au point a.

Auteur: JEAN-MARIE PRUVOST-BEAURAIN