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Définition de : LOGIQUE

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Article publié par Encyclopaedia Universalis LOGIQUE La logique est une discipline dont le statut a changé au cours de son histoire. Aussi peut-on l'aborder en la prenant à deux étapes de son développement, celui de la logique formelle classique, celui de la logique mathématique. Logique classique La logique formelle classique s'est constituée au titre de partie de la philosophie ayant pour objet l'étude des formes du raisonnement et de leur validité. Ce corps de doctrine a été créé par Aristote (385 env.-322 av. J.-C.) – essentiellement dans les Premiers Analytiques – et s'est développé sans e changement essentiel jusqu'au xix siècle. Aristote nomme la logique Organon, c'est-à-dire instrument. Un instrument dont le bon usage doit permettre à la pensée d'acquérir des connaissances. La logique présente ainsi un caractère normatif : elle entend prescrire aux savants les règles à suivre pour accéder à la vérité. La logique, telle qu'Aristote la constitue, présente quelques traits fondamentaux. Le premier est son formalisme : la logique ne s'intéresse pas au contenu des propositions mais à leur enchaînement. Elle définit les règles qui permettent de conduire un raisonnement valide. Elle pose donc la distinction de la vérité matérielle d'une proposition et de sa vérité formelle. Or chacun sait qu'un raisonnement correct peut associer des propositions fausses, mais convenablement agencées, et que des raisonnements incorrects peuvent être constitués de propositions vraies.
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LOGIQUE

La logique est une discipline dont le statut a changé au cours de son histoire. Aussi peut-on l'aborder en la prenant à deux étapes de son développement, celui de la logique formelle classique, celui de la logique mathématique.

Logique classique

La logique formelle classique s'est constituée au titre de partie de la philosophie ayant pour objet l'étude des formes du raisonnement et de leur validité. Ce corps de doctrine a été créé par Aristote (385 env.-322 av. J.-C.) – essentiellement dans les Premiers Analytiques – et s'est développé sans changement essentiel jusqu'au xixe siècle. Aristote nomme la logique Organon, c'est-à-dire instrument. Un instrument dont le bon usage doit permettre à la pensée d'acquérir des connaissances. La logique présente ainsi un caractère normatif : elle entend prescrire aux savants les règles à suivre pour accéder à la vérité. La logique, telle qu'Aristote la constitue, présente quelques traits fondamentaux.

Le premier est son formalisme : la logique ne s'intéresse pas au contenu des propositions mais à leur enchaînement. Elle définit les règles qui permettent de conduire un raisonnement valide. Elle pose donc la distinction de la vérité matérielle d'une proposition et de sa vérité formelle. Or chacun sait qu'un raisonnement correct peut associer des propositions fausses, mais convenablement agencées, et que des raisonnements incorrects peuvent être constitués de propositions vraies. « La France est une monarchie ; les monarchies sont héréditaires, donc le fils du monarque accédera au pouvoir » est un raisonnement correct dont les prémisses sont fort contestables. Inversement, en déclarant « La France est une République ; la forme républicaine de l'État appelle des citoyens instruits, donc le droit de vote doit être assuré à tous », on établit un lien incorrect entre des propositions que tout républicain tient pour vraies. Délaissant le contenu des propositions, la logique ne s'intéresse qu'à la nécessité des enchaînements. C'est pourquoi les termes concrets qui interviennent dans un raisonnement peuvent être remplacés par de simples lettres. C'est ce qu'Aristote propose en les désignant par les lettres A, B, Γ dans sa théorie du syllogisme.

La théorie du syllogisme, telle que la constitue Aristote dans les Premiers et Seconds Analytiques, est en effet la première analyse systématique des mécanismes du raisonnement. Raisonnement élémentaire, le syllogisme est le modèle de la déduction. Aristote l'envisage comme « ... une liaison de pensée telle que, certaines choses étant posées, quelque autre chose en résulte nécessairement, par cela seul qu'elles sont posées ». Ainsi, le syllogisme est formé de deux propositions, nommées prémisses, à partir desquelles on peut en former une troisième, nommée conclusion, en sorte que la vérité des prémisses entraîne la vérité de la conclusion. Aristote en analyse le mécanisme et les conditions à réunir pour que le raisonnement soit concluant. De là, un dénombrement des figures et des modes des syllogismes, dont le plus célèbre est le syllogisme concluant (dit en bArbArA), constitué de trois propositions universelles affirmatives, comme dans l'exemple régulièrement cité : « Tous les hommes sont mortels. Or Socrate est un homme. Donc Socrate est mortel. »

La logique aristotélicienne, enrichie d'apports divers, en particulier ceux des stoïciens, demeure fondamentalement inchangée pendant vingt siècles. Elle présente pourtant certains défauts, dont certains furent bien perçus au xviie siècle par Descartes. D'abord, elle ne rend pas compte du raisonnement mathématique. Progressivement, on s'est aperçu qu'il y a des types de mise en rapport entre les termes qui ne sont pas syllogistiques. Ainsi, un siècle après Aristote, Euclide (ive-iiie s. av. J.-C.), qui s'inspire pourtant de ce dernier dans l'exposition de ses Éléments, raisonne autrement. Par ailleurs, la logique d'Aristote étudie la liaison de termes qui doivent être connus avant d'être liés. Aussi le reproche que lui adresse Descartes est-il fondé : la syllogistique est une méthode d'exposition et non une méthode d'invention. Descartes, quant à lui, entend créer une méthode, inspirée des mathématiques, qui permettrait de faire des découvertes. Mais la méthode cartésienne, dont le retentissement sera considérable, n'infléchira pas l'avenir de la logique. Elle vaut surtout à titre de manifeste du libre jugement à l'adresse de ceux qui veulent conduire leur raison sans la soumettre aux Autorités. Les développements de la logique mathématique ont une autre origine.

Logique mathématique ou logique formelle

La logique mathématique naît pour répondre aux besoins de la recherche scientifique, qui exigeait une plus grande abstraction que la logique classique. Cette plus grande abstraction se manifeste notamment par la substitution d'expressions symboliques aux éléments du discours – « donc », « or », etc. – par lesquels les connexions entre les propositions sont désignées. Elle apparaît après une série de crises intervenues dans le champ des mathématiques et liées à une quête de rigueur. Par exemple, c'est en voulant prouver par l'absurde le cinquième postulat d'Euclide que sont nées au xixe siècle les géométries non euclidiennes de Nicolaï Lobatchevsky et de Bernhard Riemann, qui se développent de manière cohérente à partir de postulats différents. L'existence de ces géométries non euclidiennes fit apparaître qu'une géométrie n'est pas valide parce qu'elle correspond au réel, mais par sa seule structure logique. D'où l'effort pour l'expliciter, qui porte à l'axiomatisation de la géométrie, tentée par Moritz Pasch en 1882 et menée à bien par David Hilbert en 1899. Cette explicitation des conditions auxquelles doit satisfaire un exposé déductif se présente ainsi comme un retour des mathématiques sur elles-mêmes, qui examinent leur propre manière de raisonner, retrouvant ainsi, à leur manière, l'objet traditionnel de la logique. Aussi n'est-il pas surprenant de constater qu'un lien nouveau se tisse entre logique et mathématique au moment même où celles-ci, par leur développement, sont amenées à s'interroger sur leurs principes. Le projet logiciste, c'est-à-dire la tentative de montrer que l'ensemble des mathématiques est réductible à la logique, témoigne de ce lien. Il est au centre des travaux du fondateur de la logique moderne, le mathématicien et logicien allemand Gottlob Frege, dont l'œuvre majeure est publiée en 1879. Ce projet logiciste trouvera sa plus belle réalisation dans les Principia Mathematica (1910-1913) de Bertrand Russell et Alfred Whitehead. Ceux-ci parviennent en effet à construire un système formel qui rendait compte, en surmontant les paradoxes qu'elle avait fait naître, d'une partie récente des mathématiques, la théorie des ensembles que Georg Cantor vient de construire. Une fois de plus, le lien entre les développements et les éclaircissements apportés par les mathématiciens à leur discipline et la naissance de la logique mathématique est avéré. De ces temps forts de l'histoire des mathématiques, un rapide bilan fait apparaître trois conclusions. La première est que le projet logiciste de réduction des mathématiques à la logique, dont la plus belle illustration est donnée par les Principia Mathematica, n'a jamais été tenu pour pleinement réalisé. Ultérieurement, en 1930, la démonstration par Kurt Gödel de l'impossibilité de prouver la non-contradiction d'un système contenant l'arithmétique sonne le glas du programme de David Hilbert, c'est-à-dire du projet de construire un système formel dans lequel il serait possible, à partir d'axiomes et de règles de déduction définies, de déduire toutes les mathématiques. La seconde est que par le biais de ce retour des mathématiques sur elles-mêmes une nouvelle discipline, la logique mathématique, dont l'initiateur est George Boole (1815-1864) et le premier grand théoricien Gottlob Frege, est née. Ce dernier en a dessiné les grands domaines, ceux du calcul des propositions et du calcul des prédicats ; il en a défini les principales notions de base. Mais, à la différence de la logique classique, la logique moderne est une discipline qui ne cesse de s'enrichir et de se renouveler. Enfin, il va de soi que, à la différence de la logique classique, la logique moderne ne doit rien à la philosophie. C'est dire que celle-ci se trouve à son égard dans une situation qui, à dire vrai, n'est pas inédite, puisque la posture normative que l'ancienne logique pouvait conférer à la philosophie s'est heurtée depuis le xviie siècle à l'émancipation successive des différentes sciences à l'égard de toute tutelle philosophique, mais qui n'est pas sans receler ici des difficultés particulières, pour autant que l'examen critique des principes et des méthodes, objet de la philosophie des sciences et de l'épistémologie, se heurte à l'obstacle de la technicité mathématique et logique. Il n'est pas possible de mener à bien cet examen sans la maîtriser.

Auteur: Jean-Paul THOMAS
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