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Définition de : MODÉLISATION, mathématique

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Article publié par Encyclopaedia Universalis MODÉLISATION, mathématique La notion de modèle en mathématiques se présente sous un double aspect : d'une part, les mathématiques permettent de modéliser, c'est-à-dire de représenter, toutes sortes de situations, d'objets et de structures du monde réel, l'étude mathématique ou les simulations informatiques de ces représentations nous informant – lorsque les représentations sont bonnes – sur le monde réel ; d'autre part, une notion précise et formelle de modèle est définie et étudiée en logique mathématique par la théorie des modèles, ce qui établit un lien précis entre objets syntaxiques (les formules) et structures mathématiques, puis produit sous la forme de théorèmes toutes sortes d'informations sur la nature de ce lien, le tout constituant une théorie abstraite de l'activité de modélisation au sens précédent. Modélisation de situations du monde réel Utiliser les mathématiques pour modéliser le monde ou certains de ses aspects particuliers est évidemment au cœur même de l'activité du mathématicien appliqué. Le mot « modèle » est alors pris dans le sens de représentation : les objets mathématiques jouent le rôle des objets réels, et de leur connaissance on espère tirer une compréhension du monde réel lui- même. Lorsque la modélisation est correcte, l'étude du modèle mathématique donne des informations sur la situation, l'objet ou les structures que vise le modèle.
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MODÉLISATION, mathématique

La notion de modèle en mathématiques se présente sous un double aspect : d'une part, les mathématiques permettent de modéliser, c'est-à-dire de représenter, toutes sortes de situations, d'objets et de structures du monde réel, l'étude mathématique ou les simulations informatiques de ces représentations nous informant – lorsque les représentations sont bonnes – sur le monde réel ; d'autre part, une notion précise et formelle de modèle est définie et étudiée en logique mathématique par la théorie des modèles, ce qui établit un lien précis entre objets syntaxiques (les formules) et structures mathématiques, puis produit sous la forme de théorèmes toutes sortes d'informations sur la nature de ce lien, le tout constituant une théorie abstraite de l'activité de modélisation au sens précédent.

Modélisation de situations du monde réel

Utiliser les mathématiques pour modéliser le monde ou certains de ses aspects particuliers est évidemment au cœur même de l'activité du mathématicien appliqué. Le mot « modèle » est alors pris dans le sens de représentation : les objets mathématiques jouent le rôle des objets réels, et de leur connaissance on espère tirer une compréhension du monde réel lui-même. Lorsque la modélisation est correcte, l'étude du modèle mathématique donne des informations sur la situation, l'objet ou les structures que vise le modèle. Ces informations peuvent provenir de l'étude mathématique du modèle, ou bien de son utilisation pour mettre au point des programmes informatiques qui, lorsqu'ils fonctionnent, simulent la situation, l'objet ou la structure modélisée. On peut ainsi modéliser le monde physique par un espace euclidien de dimension trois (ou quatre pour prendre en compte le temps) ; on peut ensuite modéliser un satellite tournant autour de la Terre par un point dont les coordonnées varient continûment en fonction du temps, etc.

Un exemple provenant de la théorie des jeux nous éclairera sur certaines possibilités et difficultés : le modèle des jeux itérés. Une confrontation entre deux entités (deux organismes vivants en compétition sur un même territoire, deux pays commerçant l'un avec l'autre, deux personnes se rencontrant dans le monde social) peut être vue comme une série de coups joués à intervalles réguliers et rapportant à chacune des entités des points destinés à comptabiliser les avantages que les entités tirent de leurs rencontres successives. Dans le cas le plus simple, chaque entité aura, à chaque coup, le choix entre deux possibilités de jeu, c1 ou c2. On pourra convenir (c'est ce qu'on appelle le modèle du dilemme des prisonniers) que : si les deux entités A et B choisissent de jouer c1, chacune emporte 3 points ; si l'une choisit c1 et l'autre c2, celle qui a joué c1 gagne 0 point et celle qui a joué c2 emporte 5 points ; enfin, si les deux entités ont joué c2, elles gagnent 1 point chacune. Une confrontation entre deux entités est alors une suite de coups numérotés de 0 à k (un entier positif), chacun rapportant des points conformément aux conventions fixées. Dans le modèle standard largement étudié, les entités choisissent ce qu'elles jouent en tenant compte des coups passés et en utilisant une méthode (appelée stratégie) qui est fixée une fois pour toutes pour chacune et qui définit l'identité de l'entité modélisée. Par exemple, la stratégie « donnant-donnant » joue c1 au premier coup (lorsqu'elle ne dispose d'aucune information sur son adversaire), puis joue au coup n ce qu'a joué son adversaire au coup n – 1 (cette méthode de jeu se révèle assez payante). La stratégie « lunatique » joue alternativement c1 et c2 en commençant par c1. Lorsque donnant-donnant rencontre lunatique, les coups joués sont c1-c1, puis c1-c2, puis c2-c1 (donnant-donnant a répliqué à lunatique, qui oscille invariablement), puis c1-c2, c2-c1, etc.

Dans un tel modèle, on le comprend aisément, bien des simplifications ont été faites concernant les situations visées : choix simultanés des coups par les deux adversaires sans communication possible ; règle de rémunération invariante dans le temps ; mémoire parfaite des entités lorsqu'elles choisissent leurs coups, etc. Bien sûr, toutes sortes de variantes et généralisations sont possibles pour corriger les simplifications excessives du modèle initial (ajout de nouvelles possibilités de choix, c3, c4, etc. ; jeu asynchrone ; introduction de bruit perturbant les échanges ; mémoires limitées au passé récent ; etc.). Une fois le modèle fixé, deux utilisations en sont possibles. On peut explorer la structure mathématique ainsi créée et par exemple démontrer qu'il existe des stratégies A, B, C telles que dans notre modèle, A gagne contre B, B gagne contre C et C gagne contre A. On peut aussi démontrer qu'aucune stratégie ne pourra, à l'issue d'une confrontation, même très longue, contre donnant-donnant obtenir un score dépassant celui de donnant-donnant de plus de 5 points. Deuxième méthode d'utilisation du modèle : la programmation d'une famille de stratégies et l'organisation, à l'aide d'un ordinateur, d'une confrontation systématique deux à deux de tous les membres de la famille, le tout conduisant à un classement (Robert Axelrod fut le premier à opérer de telles simulations à la fin des années 1970). Cette étude numérique expérimentale conduit dans le cas présent à des résultats que l'analyse mathématique ne permet pas de faire apparaître (par exemple : les médiocres résultats globaux des stratégies agressives – c'est-à-dire prenant l'initiative de coups c2 – ou le rôle de la complexité dans la réussite d'une stratégie).

Notre exemple – contrairement à d'autres en physique qui parfois créent le risque d'une confusion entre modèle et réalité – illustre l'imperfection et la simplification de toute modélisation qui, par nécessité, ne retient que quelques aspects de la réalité et en oublie parfois des traits essentiels (dans notre exemple, l'impossibilité pour les stratégies de conclure entre elles des accords rend le modèle insatisfaisant pour traiter des échanges économiques). L'apparition d'artefacts numériques est aussi possible. L'utilisation des nombres réels avec les problèmes d'arrondi qu'ils posent en informatique est une source fréquente de résultats faussés et sans signification car n'ayant aucune contrepartie dans la réalité. Notons cependant que les artefacts ne sont pas réservés aux simulations informatiques et qu'ils peuvent apparaître dans l'étude mathématique elle-même : par exemple, l'utilisation de nombres réels pour modéliser le temps peut donner l'illusion d'une infinie divisibilité des durées qui n'a pas de sens physique. C'est sans doute une règle générale : aussi commodes et puissantes que soient les modélisations faites en physique utilisant les nombres réels, elles portent le danger d'attribuer à l'artifice abstrait de l'infini des propriétés que les objets du monde réel ne possèdent pas.

Théorie des modèles

La notion de modèle en logique s'attache à établir le lien précis entre les formules – qui sont des objets finis purement syntaxiques – et les structures elles-mêmes (construites de manière ensembliste), qui pourront posséder ou non les propriétés exprimées par les formules.

Choisissons par exemple le langage composé des symboles =, + et s (en plus des symboles purement logiques). Des formules de ce langage seront par exemple : pour tout x : x + s(y) = s(x + y) ; pour tout x, pour tout y, pour tout z : (x + y) + z = x + (y + z).

Un modèle de ces deux formules sera une structure vérifiant les formules. Un tel modèle pourrait être ici la donnée de (ℕ, s',+') avec ℕ l'ensemble des entiers, s' la fonction successeur de ℕ dans ℕ, +' l'addition entre entiers (il faut distinguer les symboles s et + des objets ensemblistes qui constituent le modèle et qu'on note s' et +'). Il existe bien d'autres possibilités, par exemple prenant comme ensembles d'objets de base des ensembles finis ou infinis non dénombrables.

Parmi ses résultats, la théorie des modèles indique pour le calcul des prédicats du premier ordre (un seul type d'objet est envisagé pour les quantifications « quel que soit » et « il existe ») que :

– si un ensemble de formules F possède un modèle, alors F possède aussi un modèle dont la base est infinie dénombrable (théorème de Löwenheim et Skolem, 1915 et 1920) ;

– si un ensemble de formules F ne possède pas de modèle, alors il existe un sous-ensemble fini de F qui n'en possède pas (théorème de finitude) ;

– un ensemble de formules F possède un modèle, si et seulement si on ne peut déduire de F (en utilisant les règles de raisonnement du calcul des prédicats) une contradiction (théorème de complétude de Kurt Gödel, 1930).

Auteur: Jean-Paul DELAHAYE