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Définition de : NOMBRE

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Article publié par Encyclopaedia Universalis NOMBRE L'idée intuitive de nombre doit remonter à l'émergence même de la pensée et il est impossible de savoir quel hominidé, et quand, a commencé à compter (ses doigts, les personnes de son groupe, des animaux, les jours...), ou au moins à distinguer un de deux ou de plusieurs. Les nombres interviennent dans la plupart des activités humaines, des langages qu'ils imprègnent aux calculs qui les utilisent, en passant par le commerce, les rites, etc. Idée commune de nombre Un nombre est quelque chose d'abstrait qui permet de dire s'il y a beaucoup, ou un peu, ou pas du tout, de quelque chose, et combien ; donc qui sert à compter, ce qui va, souvent implicitement, avec classer. Si, par exemple, on voit autant de tulipes qu'une main humaine a de doigts, on dira qu'il y a cinq tulipes et cinq doigts, mais on n'additionnera pas les tulipes et les doigts. En revanche, cinq tulipes et cinq roses font dix fleurs. Un nombre, employé ainsi devant un substantif, est grammaticalement un adjectif numéral cardinal : il exprime combien il y a d'entités désignées par ce substantif. Employé seul, un nombre est un substantif et désigne quelque chose de plus abstrait : « cinq » est un nombre, une idée abstraite de toute détermination particulière. Pour des objets divisibles, on utilise aussi des nombres « avec virgule » : 2,57 litres d'eau. L'idée de nombre est profondément ancrée dans la structure des diverses langues naturelles.
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NOMBRE

L'idée intuitive de nombre doit remonter à l'émergence même de la pensée et il est impossible de savoir quel hominidé, et quand, a commencé à compter (ses doigts, les personnes de son groupe, des animaux, les jours...), ou au moins à distinguer un de deux ou de plusieurs.

Les nombres interviennent dans la plupart des activités humaines, des langages qu'ils imprègnent aux calculs qui les utilisent, en passant par le commerce, les rites, etc.

Idée commune de nombre

Un nombre est quelque chose d'abstrait qui permet de dire s'il y a beaucoup, ou un peu, ou pas du tout, de quelque chose, et combien ; donc qui sert à compter, ce qui va, souvent implicitement, avec classer. Si, par exemple, on voit autant de tulipes qu'une main humaine a de doigts, on dira qu'il y a cinq tulipes et cinq doigts, mais on n'additionnera pas les tulipes et les doigts. En revanche, cinq tulipes et cinq roses font dix fleurs. Un nombre, employé ainsi devant un substantif, est grammaticalement un adjectif numéral cardinal : il exprime combien il y a d'entités désignées par ce substantif. Employé seul, un nombre est un substantif et désigne quelque chose de plus abstrait : « cinq » est un nombre, une idée abstraite de toute détermination particulière. Pour des objets divisibles, on utilise aussi des nombres « avec virgule » : 2,57 litres d'eau.

L'idée de nombre est profondément ancrée dans la structure des diverses langues naturelles. Le nombre est une catégorie grammaticale caractérisée par la quantité désignée par un mot. Le français moderne distingue singulier et pluriel (pour une quantité égale ou supérieure à deux : deux litres, mais 1,99 litre est un singulier). Le duel, désignant simultanément deux entités, existe dans des langues comme le grec ancien et le sanskrit, ou bien subsiste pour quelques mots dans certaines langues, comme le breton [lagad, « œil » (singulier) ; an daoulagad, « les deux yeux » (duel) ; lagadoù, « des yeux » (pluriel) ; daoulagadoù, « des paires d'yeux » (pluriel d'un duel)]. En Australie, certaines langues des Aborigènes distinguent en outre un triel, qui s'applique à trois entités. Ces nombres peuvent concerner les substantifs, les adjectifs, les verbes ou d'autres catégories de mots.

L'étude de la symbolique des nombres, des représentations et des rites que les peuples du monde leur ont attachés, est un domaine immense, qui touche à diverses disciplines : ethnologie, folklore, psychologie, etc. Une même symbolique peut être présente chez des peuples géographiquement éloignés. Ainsi, « la forteresse aux neuf portes » désigne, dans la Bhagavadgītā, illustre poème sanskrit fragment du Mahābhārata, le corps humain (avec ses neuf ouvertures : les deux yeux, les deux oreilles, les deux narines, la bouche, l'orifice sexuel et l'anus), et les Ful'be (plus connus sous le nom de Peul) d'Afrique de l'Ouest parlent aussi des « sept ouvertures » de la tête, des « neuf ouvertures » du corps humain et des « onze ouvertures » de la femme allaitante.

Numération

Exprimer des nombres, pour communiquer avec autrui, en garder trace ou calculer, tel est le but des numérations. Geneviève Guitel, dans Histoire comparée des numérations écrites (1975), les classe en numérations figurées (à l'aide de nœuds de couleur, comme ceux des quipu incas, de cailloux ou d'autres objets), parlées ou écrites, ces dernières étant regroupées en trois grands ensembles : d'addition, hybrides ou de position.

Il semble que toutes les langues ont des mots pour désigner un, deux et trois, mais que certaines ne vont pas au-delà. Parmi les noms anciennement inventés, celui désignant le plus grand nombre semble être un mot sanskrit signifiant 10421.

Dans une numération écrite d'addition, dont on trouve des exemples à Sumer, dans l'Égypte, la Chine et l'Inde anciennes ou chez les Aztèques, les symboles sont librement placés et leurs valeurs numériques sont additionnées. Une inscription de ce type se trouve sur une tête de massue attribuée au roi Narmer (période prédynastique, soit avant 5600 avant J.-C. selon la chronologie longue d'André Pochan), découverte dans le temple de Hiérakonpolis, ville de la rive gauche du Nil : en numération hiéroglyphique sont dessinés, sous et à côté d'une chèvre, un dieu assis les bras levés (un million), quatre têtards (quatre fois cent mille), deux doigts levés (deux fois dix mille) et deux fleurs de lotus (deux fois mille), ce qui signifie donc un million quatre cent vingt-deux mille chèvres. La numération syllabique d'Āryabhạta (Inde, vie siècle) est de ce type ; elle comporte 462 signes, dont un valant 1018.

Dans les numérations écrites hybrides, présentes par exemple chez les Akkadiens ou sur des stèles mayas, les places des symboles ou chiffres ne sont que partiellement déterminées.

Dans une numération écrite de position, présente par exemple avant 2000 avant J.-C. dans la Babylone antique (où elle était issue de celle de Sumer à deux bases), les chiffres sont enchaînés et il y a une base (souvent dix), dont les diverses puissances servent à exprimer les nombres.

En langage mathématique actuel, on peut dire qu'une numération écrite de position de base b utilisant le zéro emploie b chiffres, et qu'un nombre entier naturel écrit dans cette base anan–1 ... a1a0, où chacun des ai (i appartenant à {0, 1, ..., n}) est l'un de ces chiffres, est égal à anbn + an–1bn–1 + ... + a1b + a0 (par conséquent, la base b s'écrit « 10 » en base b). Les ordinateurs travaillent en base deux, et lorsque l'on considère des bases supérieures à dix, on ajoute des lettres aux chiffres de 0 à 9 (par exemple α pour dix et β pour onze, en base douze). Les opérations élémentaires (additions, soustractions, multiplications, divisions) sont évidemment faites en écrivant les nombres concernés en une même base.

Notion mathématique de nombre

La fondation de la théorie des ensembles par Georg Cantor à la fin du xixe siècle a permis de donner d'un nombre une définition mathématique précise.

Dans le cadre d'un système axiomatique de la théorie des ensembles, en général celui de Zermelo et Fraenkel, les ensembles de nombres sont définis les uns à partir des autres, comme une construction abstraite, les nombres étant eux-mêmes des ensembles particuliers.

Deux remarques s'imposent toutefois. D'une part, plusieurs constructions sont possibles, donnant donc des nombres des définitions différentes, mais sans que cela ait des conséquences fâcheuses pour la plupart des raisonnements ultérieurs. D'autre part, certains mathématiciens n'admettent pas qu'un nombre puisse être un ensemble et considèrent que ces constructions ne définissent pas les nombres, mais en donnent des représentations ensemblistes ; pour ne pas en rester à la simple intuition du langage courant, ils proposent de considérer, comme on l'a fait pour celle d'ensemble, la notion de nombre comme une notion première, non définie mais dont les propriétés seraient encadrées par un système axiomatique. Mais cette position compliquerait les fondements de la mathématique en introduisant un système axiomatique supplémentaire puisque l'on ne se passerait pas pour autant d'une axiomatisation de la théorie des ensembles.

Plus précisément, un nombre au sens commun est un objet d'étude mathématique – et non un objet mathématique – qui est représenté par un nombre au sens mathématique, celui-ci étant un objet mathématique qui est un ensemble.

La construction la plus souvent adoptée part de l'ensemble vide (noté Ø), ensemble qui ne contient aucun élément et dont l'affirmation de l'existence est un axiome de la théorie des ensembles.

Selon la définition donnée par John von Neumann dans les années 1920, l'ensemble des nombres entiers naturels ℕ a pour éléments 0 = Ø, 1 = {Ø} = {0}, 2 = {Ø, {Ø}} = {0, 1},..., « successeur de n » = {0, 1, 2, ..., n}, etc., le successeur de n étant noté n + 1 dès que l'on a défini l'addition habituelle dans ℕ.

Soustraire b de a n'étant pas possible dans ℕ si b est supérieur à a, on construit l'ensemble des nombres entiers relatifs ℤ qui a pour éléments des ensembles de couples d'éléments de ℕ, de telle façon qu'une nouvelle soustraction y soit toujours possible.

Diviser p par q (q ≠ 0, le « zéro » de ℤ) n'étant pas toujours possible dans ℤ, on construit l'ensemble des nombres rationnels ℚ, qui a pour éléments des ensembles de couples d'éléments de ℤ, de telle façon qu'une nouvelle division y soit toujours possible (sauf par 0, le « zéro » de ℚ).

Une suite de Cauchy d'éléments de ℚ – c'est-à-dire une fonction f de ℕ dans ℚ telle que, quel que soit ε > 0, il existe un M appartenant à ℕ tel que, quels que soient m et n supérieurs à M, la valeur absolue de f (m) – f (n) est inférieure à ε – n'ayant pas toujours une limite quand n tend vers + ∞ (plus l'infini), on construit l'ensemble des nombres réels ℝ, qui a pour éléments des ensembles de suites de Cauchy d'éléments de ℚ, de telle façon que toute suite de Cauchy d'éléments de ℝ ait une limite quand n tend vers + ∞.

Les nombres réels négatifs (inférieurs à 0) n'ayant pas de racine carrée, on définit dans le produit cartésien ℝ×ℝ que l'on appelle alors ensemble des nombres complexes ℂ, une addition et une multiplication particulières, de telle façon que tout nombre complexe ait une racine carrée.

Indispensables dans de multiples activités humaines, les nombres sont l'objet de nombreuses recherches, qui se sont accélérées depuis le xxe siècle. Ainsi en est-il de la course au record du plus grand nombre premier (nombre entier naturel qui n'est divisible que par 1 et lui-même) connu, qui utilise évidemment l'informatique : le record de novembre 2003 a été battu dès mai 2004, par le nombre 224 036 583 – 1, qui s'écrit en base dix avec 7 235 733 chiffres.

Auteur: Jean-Marie PRUVOST-BEAURAIN
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