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Définition de : OBJET MATHÉMATIQUE

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Article publié par Encyclopaedia Universalis OBJET MATHÉMATIQUE Le but des mathématiques est de démontrer des résultats non triviaux sur ce qu'on peut appeler globalement des objets mathématiques. Il en existe de nombreux types : nombres entiers, nombres réels, points, droites ou courbes de la géométrie, suites, séries et fonctions de l'analyse, ensembles divers, ensembles d'ensembles, etc. Les objets mathématiques n'appartenant pas au monde sensible, leur nature même pose problème, non seulement d'un point de vue ontologique dans une démarche philosophique, mais aussi dans une perspective pratique purement mathématique : comment définir un objet mathématique ? que signifie établir son existence ? Définir des objets dérivés ne pose pas de problème : une fois les nombres entiers et leur multiplication définis, il est aisé de définir les nombres pairs comme ceux qui sont multiples de 2. En revanche, le problème se pose pour des objets de base comme les nombres entiers qu'il est difficile, sauf à tourner en rond, de définir à partir d'objets antérieurs. La question est en général contournée en recourant à une démarche axiomatique : à défaut de définir les objets, on en énumère les propriétés de base, ou axiomes, et on se contente dès lors de déduire des conséquences logiques de ces dernières.
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OBJET MATHÉMATIQUE

Le but des mathématiques est de démontrer des résultats non triviaux sur ce qu'on peut appeler globalement des objets mathématiques. Il en existe de nombreux types : nombres entiers, nombres réels, points, droites ou courbes de la géométrie, suites, séries et fonctions de l'analyse, ensembles divers, ensembles d'ensembles, etc. Les objets mathématiques n'appartenant pas au monde sensible, leur nature même pose problème, non seulement d'un point de vue ontologique dans une démarche philosophique, mais aussi dans une perspective pratique purement mathématique : comment définir un objet mathématique ? que signifie établir son existence ?

Définir des objets dérivés ne pose pas de problème : une fois les nombres entiers et leur multiplication définis, il est aisé de définir les nombres pairs comme ceux qui sont multiples de 2. En revanche, le problème se pose pour des objets de base comme les nombres entiers qu'il est difficile, sauf à tourner en rond, de définir à partir d'objets antérieurs.

La question est en général contournée en recourant à une démarche axiomatique : à défaut de définir les objets, on en énumère les propriétés de base, ou axiomes, et on se contente dès lors de déduire des conséquences logiques de ces dernières. Un exemple classique est le système de Peano pour l'arithmétique : partant d'une liste de propriétés simples des nombres entiers, on vérifie de proche en proche que toutes les propriétés de ceux-ci en résultent. Dans cette approche pragmatique, le point important n'est pas la nature de l'objet, mais seulement son comportement.

Notons deux limitations. D'abord, le choix des axiomes ne saurait être arbitraire : la discussion sur les axiomes à considérer et leur adéquation à une intuition partagée est primordiale, sauf à réduire les mathématiques à un exercice formel vide de contenu.

Ensuite, choisir des axiomes ne garantit pas leur cohérence. Les axiomes proposés par Giuseppe Peano affirment l'existence d'objets ayant telles et telles propriétés, mais ne la démontrent pas. On pourra objecter que ces axiomes ne sauraient être contradictoires puisque les entiers existent : le sens de cette affirmation est vague, et, d'autre part, il n'est pas démontré que les entiers vérifient les axiomes de Peano. De plus, le théorème d'incomplétude de Gödel vient ruiner les espoirs de clarification : il est impossible d'établir le caractère non contradictoire des axiomes de Peano, sauf à poser des axiomes encore plus forts.

Passons au second point soulevé, à savoir ce que démontrer l'existence d'un objet mathématique peut signifier. Ce point a été l'objet de bien des débats et querelles au début du xxe siècle.

Lorsque nous affirmons que l'équation x2 – 4 = 0 admet les racines – 2 et 2, l'existence de ces racines n'est pas douteuse, puisqu'il suffit de vérifier les égalités (± 2)2 – 4 = 0. Si, maintenant, nous déclarons que x5 – 3x – 2 = 0 admet au moins une racine réelle α comprise entre 1 et 2 car x5 – 3x – 2 change de signe entre 1 et 2, l'existence du réel α semble plus incertaine puisque non établie par une formule exacte mais seulement déduite du théorème affirmant qu'une fonction continue changeant de signe doit s'annuler. En fait, ce réel α n'est pas moins déterminé que la racine de l'exemple précédent car, par dichotomies successives, on peut en obtenir une détermination à 2n près en n étapes.

Considérons maintenant le résultat affirmant que tout espace vectoriel possède une base. L'appliquant au corps des nombres réels considéré comme un espace vectoriel sur le corps des nombres rationnels, on conclut qu'il existe une suite de nombres réels (ri)iI telle que tout réel s'écrive de façon unique comme combinaison linéaire à coefficients rationnels des nombres ri. Le problème est qu'il est ici impossible de décrire explicitement une telle famille : on sait seulement que son existence n'est pas contradictoire, mais il est sans espoir d'en dire plus car le résultat utilise de façon essentielle l'axiome du choix. Celui-ci affirme que, si (Xi)iI est une famille d'ensembles non vides, alors il existe une suite (xi)iI telle que xi soit élément de Xi pour chaque i. S'il n'y a qu'un ensemble X, ou, plus généralement, un nombre fini d'ensembles Xi, alors construire la suite par choix successifs ne pose guère de problèmes. En revanche, opérer simultanément une infinité de choix dans une infinité d'ensembles différents est moins clair.

L'axiome du choix est-il vrai ? Les objets construits à l'aide de l'axiome du choix existent-ils ? Jadis objet de débats acharnés, la question apparaît en fait mal posée, et elle se dédouble en deux questions distinctes : l'axiome du choix est-il démontrable ou réfutable ? l'axiome du choix est-il opportun ou inopportun ?

La première question requiert qu'on précise le point de départ choisi. Comme il existe un large consensus en faveur du système dit de Zermelo-Fraenkel (ZF), la question devient : l'axiome du choix est-il démontrable ou réfutable à partir de ZF ? Kurt Gödel, en 1938, et Paul Cohen, en 1963, ont montré que non. Il n'y a donc aucun risque de contradiction à utiliser l'axiome du choix.

Mais ceci ne résout en rien la seconde question, sur l'opportunité de l'axiome du choix. Celle-ci peut éventuellement faire l'objet d'un consensus, mais en aucun cas d'une démonstration. La réponse dépend en fait du type de résultats escomptés : en vue de constructions algorithmiques explicites, par exemple pour une implémentation informatique, des objets issus de l'axiome du choix n'ont guère d'intérêt ; au contraire, pour tester la non-contradiction d'une notion indépendamment de toute visée constructive, on peut alors utiliser cet axiome sans danger. Une solution prudente est donc de distinguer plusieurs degrés d'existence pour les objets mathématiques, plus complémentaires qu'opposés.

Auteur: Patrick DEHORNOY