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Définition de : PROBABILITÉ, physique

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Article publié par Encyclopaedia Universalis PROBABILITÉ, physique La notion de probabilité a sa source dans plusieurs idées plus ou moins intuitives. Ces idées ne sont pas a priori apparentées, mais les mathématiciens sont parvenus à les conjuguer en un seul concept défini de manière axiomatique et d'apparence très abstraite. Les jeux de hasard à l'origine des probabilités Une première idée vient des jeux de hasard, que Blaise Pascal et Pierre de Fermat, dans leur correspondance (1654), sont sans doute les premiers à avoir traités de façon quantitative. Lorsqu'on jette une pièce de monnaie, il n'y a pas de raison d'espérer qu'elle tombera sur le côté pile plutôt que sur le côté face puisque, du point de vue mécanique ou géométrique, elle est parfaitement symétrique : on attribuera donc la probabilité 1 /2 à chacune des deux possibilités. De même, lorsqu'on jette des dés, chacune des faces est également probable, du moins si le dé n'est pas pipé : la probabilité de chacun des six résultats possibles est 1 /6. On est ainsi conduit à la définition dite « laplacienne » des probabilités : la probabilité d'un événement donné est égale au nombre de cas favorables à cet événement divisé par le nombre de cas possibles, en supposant tous les cas équiprobables. Cette définition semble circulaire puisqu'on doit d'abord supposer les cas équiprobables avant même d'avoir défini la notion de... probabilité !
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PROBABILITÉ, physique

La notion de probabilité a sa source dans plusieurs idées plus ou moins intuitives. Ces idées ne sont pas a priori apparentées, mais les mathématiciens sont parvenus à les conjuguer en un seul concept défini de manière axiomatique et d'apparence très abstraite.

Les jeux de hasard à l'origine des probabilités

Une première idée vient des jeux de hasard, que Blaise Pascal et Pierre de Fermat, dans leur correspondance (1654), sont sans doute les premiers à avoir traités de façon quantitative. Lorsqu'on jette une pièce de monnaie, il n'y a pas de raison d'espérer qu'elle tombera sur le côté pile plutôt que sur le côté face puisque, du point de vue mécanique ou géométrique, elle est parfaitement symétrique : on attribuera donc la probabilité 1 /2 à chacune des deux possibilités. De même, lorsqu'on jette des dés, chacune des faces est également probable, du moins si le dé n'est pas pipé : la probabilité de chacun des six résultats possibles est 1 /6. On est ainsi conduit à la définition dite « laplacienne » des probabilités : la probabilité d'un événement donné est égale au nombre de cas favorables à cet événement divisé par le nombre de cas possibles, en supposant tous les cas équiprobables. Cette définition semble circulaire puisqu'on doit d'abord supposer les cas équiprobables avant même d'avoir défini la notion de... probabilité ! Mais elle peut être étayée par des considérations non probabilistes, essentiellement fondées, comme dans le cas de la pièce de monnaie ou du dé, sur des propriétés de symétrie de situation.

Il existe également des situations sur lesquelles on est incité à porter des jugements probabilistes sans pouvoir énumérer des cas possibles ou des cas favorables, ou bien sans posséder la moindre information permettant d'affirmer l'équiprobabilité des cas. C'est par exemple le cas des pronostics des résultats des courses hippiques ou de compétitions sportives. On attribue alors a priori une probabilité à l'événement considéré sur la base du seul « motif de croire » à la réalisation de cet événement. La quantification de cette probabilité ne peut être alors que subjective. Les expressions servant à désigner ce type de probabilités recourent d'ailleurs fréquemment au terme peu rigoureux de « chance », celle-ci pouvant être définie comme la possibilité d'obtenir un gain ou de subir une perte.

Une troisième source de la notion de probabilité réside dans les observations de régularité statistique des fréquences. Ainsi, lorsqu'on jette une pièce un très grand nombre de fois, on constate que le nombre de pile et le nombre de face obtenus sont à peu près égaux. Ils sont d'ailleurs d'autant plus proches que le nombre de jets est plus grand. On appelle fréquence de pile dans une suite de jets le rapport P /N du nombre P de pile observé au nombre total N de jets. Pour N très grand, cette fréquence est voisine de la probabilité 1 /2.

Ces divers exemples suffisent à montrer comment le calcul des probabilités a pu naître de l'étude des jeux de hasard (ce dernier mot, transmis par l'Espagne, vient de l'Arabie : l'arabe az-zahr, « dé à jouer », s'est transformé en azar, « hasard » ou « revers » en espagnol). Pourtant, aucune des trois bases que nous venons d'évoquer ne suffit à définir proprement la notion de probabilité. C'est d'ailleurs en vain que Richard von Mises essaie, au début du xxe siècle, de fonder les probabilités sur la notion empirique de fréquence.

Axiomatisation des probabilités

Toutes ces idées de départ ont toutefois servi de guide pour axiomatiser les probabilités en posant certains termes primitifs, comme « événement » (intuitivement, ce qui peut éventuellement se produire au cours d'une épreuve) ou « probabilité ». Cette axiomatisation, qui fait partie des problèmes mathématiquement ouverts que David Hilbert présente en 1900, est réalisée en 1933 par Andreï Kolmogorov. La probabilité est définie dès lors comme étant « n'importe quoi satisfaisant les axiomes de l'axiomatique des probabilités ». Cette définition, bien qu'elle ne dise rien sur la notion, riche mais vague, de hasard, permet de construire opératoirement une théorie dans laquelle on détermine des probabilités à partir de certaines données et de certaines hypothèses. Le concept de probabilité se trouve ainsi débarrassé des pétitions de principe qu'il exigeait auparavant par le biais de la notion fondatrice d'événement équiprobable.

La théorie des probabilités est aujourd'hui la clé de voûte de la capacité des mathématiques à « mordre » sur le réel empirique. Elle constitue un domaine hybride, un lieu de médiations, une sorte d'interface entre les mathématiques pures et des champs d'application dans lesquels on cherche à modéliser les phénomènes aléatoires. On la retrouve en mathématiques, bien sûr, mais aussi dans de très nombreux secteurs de la physique.

En physique statistique, par exemple, elle permet de décrire des systèmes qui, étant constitués d'un très grand nombre de constituants, sont impossibles à appréhender par une description individuelle de chacun d'eux. Il est par exemple exclu de décrire le comportement individuel des quelque 1023 atomes qui constituent un gramme d'eau. Que ferait-on d'ailleurs de la liste complète de leurs positions à un instant donné, liste qui remplirait environ 1020 pages imprimées ? Il faut donc recourir à une description de caractère statistique : à chaque configuration possible le physicien attribue une certaine probabilité. Cela lui permet ensuite de calculer les propriétés communes à tous les grammes d'eau dans des conditions identiques.

La physique quantique, elle, utilise les probabilités d'une façon originale. Elle décrit les systèmes physiques, par exemple les particules, par des entités mathématiques appelées vecteurs d'état. À partir de ces vecteurs d'état, il est possible de calculer la probabilité d'obtenir, à l'issue d'une mesure, tel ou tel résultat. Selon l'interprétation orthodoxe du formalisme quantique, les probabilités sont ici intrinsèques, au sens où elles ne sont pas dues à notre ignorance d'éventuels mécanismes sous-jacents que la physique quantique aurait oublié de prendre en compte.

Auteur: ETIENNE KLEIN 2