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Définition et synonyme de : CONVENTIONNALISME

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Article publié par Encyclopaedia Universalis C O N V E N T I O N N A L I S M E Selon Kant, les jugements mathématiques ne sont ni analytiques et nécessaires, ni synthétiques et contingents. Ils sont synthétiques et a priori. Le conventionnalisme mathématique est une conception philosophique qui abandonne le caractère synthétique a priori des jugements géométriques. En effet, l'existence de plusieurs géométries possibles met en péril la solution kantienne. Si la négation de l'axiome des parallèles est possible, ce dernier serait-il un jugement synthétique a priori et donc nécessaire ? Des théories aussi cohérentes que celle d'Euclide, appelées géométries non euclidiennes, sont apparues. On ne peut refuser aux jugements non euclidiens le statut de connaissances. Certains soulignent alors le rôle indispensable des conventions, des choix ou des décisions dans l'acceptabilité de la connaissance mathématique. Par exemple, Henri Poincaré (1854-1912) considère l'axiome des parallèles comme une convention, qui ne peut être dite « vraie » ou « fausse ». Parmi toutes les conventions possibles, le choix est guidé par le critère de simplicité et par l'expérience des phénomènes physiques. Henri Poincaré est souvent considéré comme le père du conventionnalisme mathématique.
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CONVENTIONNALISME

Selon Kant, les jugements mathématiques ne sont ni analytiques et nécessaires, ni synthétiques et contingents. Ils sont synthétiques et a priori. Le conventionnalisme mathématique est une conception philosophique qui abandonne le caractère synthétique a priori des jugements géométriques. En effet, l'existence de plusieurs géométries possibles met en péril la solution kantienne. Si la négation de l'axiome des parallèles est possible, ce dernier serait-il un jugement synthétique a priori et donc nécessaire ? Des théories aussi cohérentes que celle d'Euclide, appelées géométries non euclidiennes, sont apparues. On ne peut refuser aux jugements non euclidiens le statut de connaissances. Certains soulignent alors le rôle indispensable des conventions, des choix ou des décisions dans l'acceptabilité de la connaissance mathématique. Par exemple, Henri Poincaré (1854-1912) considère l'axiome des parallèles comme une convention, qui ne peut être dite « vraie » ou « fausse ». Parmi toutes les conventions possibles, le choix est guidé par le critère de simplicité et par l'expérience des phénomènes physiques.

Henri Poincaré est souvent considéré comme le père du conventionnalisme mathématique. Dans son célèbre article « Les hypothèses fondamentales de la géométrie » (1887), il compare pour la première fois le choix entre la géométrie euclidienne et celle de Nikolaï Lobatschevski (1792-1856) à celui entre des systèmes de coordonnées. Il précise également que ce choix n'a rien d'arbitraire et que l'adoption de cette conception commence « à devenir banale ». On remarque en effet des tendances conventionnalistes dans les travaux, à peu près contemporains, d'Ernst Mach (1838-1916) et d'Émile Boutroux (1845-1921, beau-frère d'Henri Poincaré). Cependant, il n'est plus possible de dire que le conventionnalisme n'est qu'une conséquence philosophique de la découverte des géométries non euclidiennes puisque, dans son cours sur la mécanique analytique (1847-1848), l'Allemand Carl Gustav Jacob Jacobi (1804-1851) soutient dans son domaine des thèses fort semblables au conventionnalisme de Poincaré en physique.

Des conventions peuvent intervenir à différents niveaux du savoir mathématique. Ainsi, depuis l'Antiquité, la thèse du caractère conventionnel de la signification linguistique a souvent été soutenue. Après l'introduction des systèmes formels, à la fin du xixe siècle, les axiomes ont perdu leur statut de propositions vraies ou fausses, en faveur de schèmes de propositions de type R1 (x1, ..., xn) ∧ ... ∧ Rn (x1, ..., xn). De telles propositions ne deviennent vraies ou fausses qu'en interprétant les lettres schématiques Ri par des relations concrètes. Or il est généralement difficile de dire d'un langage qu'il est plus simple qu'un autre, de sorte que le critère poincaréien de simplicité ne s'applique guère à des systèmes non interprétés ; comme le mathématicien poursuit la construction des systèmes formels indépendamment de leurs interprétations, le second critère, relatif à l'expérience des phénomènes physiques, n'est pas non plus pris en considération. Selon le conventionnalisme linguistique ou définitoire, le mathématicien se concentre exclusivement sur la construction d'un système de règles au caractère conventionnel, sans se soucier du problème des applications.

En revanche, le conventionnalisme stricto sensu ne met pas seulement l'accent sur la forme logique du langage mathématique, mais insiste sur l'applicabilité des théories mathématiques. Il possède deux versions :

C 1 : On distingue dans le langage scientifique une partie mathématique (M) et une partie physique (P). On accepte la thèse de Pierre Duhem (1861-1916) : ce qui est vérifiable n'est jamais (M), mais seulement la réunion de (M) et (P). En cas de conflit, la révision de (M) ou bien de (P) est conventionnelle. On parle alors d'un conventionnalisme méthodique.

C 2 : On juge impossible de localiser une frontière précise entre la partie mathématique et la partie physique d'une théorie. Les conventions ne concernent alors pas l'acceptation de telle ou telle version des langages mathématique et physique en principe intertraductibles (C 1) ; elles sont liées à la thèse épistémologique selon laquelle les mathématiques et la physique ont un caractère hypothétique et faillibiliste. On parle alors d'un conventionnalisme épistémologique radical.

Le conventionnalisme de Poincaré est une combinaison de C 2 et C 1. Il se fonde sur une caractérisation conventionnelle de sensations conduisant à des groupes de transformations qui correspondent aux géométries à courbure constante. Parmi ces groupes, on choisit finalement celui qui correspond à la géométrie euclidienne, parce que l'expérience l'encourage et qu'il est plus commode. Cette commodité tient à notre situation anthropologique : nous avons pris l'habitude d'interpréter la succession de nos sensations en termes de transformations euclidiennes. Toutefois, en changeant certaines conventions physiques, nous aurions pu aussi l'interpréter d'une manière différente.

La doctrine poincaréienne, selon laquelle l'expérience est insuffisante pour obtenir une métrisation univoque de l'espace amorphe, a eu une grande influence sur l'épistémologie du xxe siècle, bien que l'on rejette en général [Hugo Dingler (1881-1954) constitue une exception] la thèse de l'existence d'un critère favorisant le choix de la géométrie euclidienne, surtout après l'apparition de la théorie de la relativité générale. Cependant, l'idée que les théories mathématiques intègrent des éléments décisionnels, de sorte qu'elles ne sont ni de pures copies de relations idéales, ni les réalisations d'une abstraction inductive, pas plus les simples résultats d'une évidence a priori, constitue le mérite largement accepté du conventionnalisme.

Auteur: GERHARD HEINZMANN
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