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Définition et synonyme de : FORMALISME

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Article publié par Encyclopaedia Universalis F O R M A L I S M E La signification du terme « formalisme » est étroitement liée à la problématique de la philosophie des mathématiques, telle qu'elle s'est développée à partir des travaux de Frege, Cantor, Russell, Brouwer, dans la e seconde partie du xix siècle, et pendant toute la première partie du e xx siècle. Les recherches concernant les fondements des mathématiques se sont poursuivies sur trois axes principaux : le logicisme, l'intuitionnisme et le formalisme. Comme son nom l'indique, le logicisme adopte comme position de base la conception selon laquelle les mathématiques sont entièrement réductibles à la logique. Pour l'intuitionnisme, la mathématique est une activité constructive, qui se développe à partir du phénomène originaire de la brisure de l'unité. Le formalisme, quant à lui, est essentiellement la conception qui a été élaborée par David Hilbert (1862-1943) en vue de surmonter les difficultés soulevées tant par le logicisme (irréductibilité des mathématiques au pur logique) que par l'intuitionnisme (le constructivisme radical de l'intuitionnisme l'amène à rejeter la théorie des infinités de Cantor et par là à mutiler inutilement les mathématiques). Partant d'une conception objectiviste des mathématiques, Hilbert introduit une distinction entre mathématique et métamathématique.
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FORMALISME

La signification du terme « formalisme » est étroitement liée à la problématique de la philosophie des mathématiques, telle qu'elle s'est développée à partir des travaux de Frege, Cantor, Russell, Brouwer, dans la seconde partie du xixe siècle, et pendant toute la première partie du xxe siècle. Les recherches concernant les fondements des mathématiques se sont poursuivies sur trois axes principaux : le logicisme, l'intuitionnisme et le formalisme.

Comme son nom l'indique, le logicisme adopte comme position de base la conception selon laquelle les mathématiques sont entièrement réductibles à la logique. Pour l'intuitionnisme, la mathématique est une activité constructive, qui se développe à partir du phénomène originaire de la brisure de l'unité. Le formalisme, quant à lui, est essentiellement la conception qui a été élaborée par David Hilbert (1862-1943) en vue de surmonter les difficultés soulevées tant par le logicisme (irréductibilité des mathématiques au pur logique) que par l'intuitionnisme (le constructivisme radical de l'intuitionnisme l'amène à rejeter la théorie des infinités de Cantor et par là à mutiler inutilement les mathématiques).

Partant d'une conception objectiviste des mathématiques, Hilbert introduit une distinction entre mathématique et métamathématique. Alors que la mathématique étudie les propriétés des objets mathématiques comme tels, la métamathématique est chargée d'étudier le fonctionnement des théories mathématiques, prises comme objets. La tâche principale de la métamathématique est la démonstration de la non-contradiction des théories mathématiques.

Du point de vue de la problématique des fondements, la difficulté principale vient de l'intervention du concept d'infini. La démonstration que doit fournir la métamathématique a pour objectif de justifier tout l'édifice mathématique en se limitant à des procédures qui « s'arrêtent dans le fini ». Il est apparu (c'est le théorème de non-complétude de Gödel) qu'une théorie contenant au moins l'arithmétique contient des propositions non décidables (ni démontrables ni réfutables). Pour obtenir une décision quant à la valeur de vérité de telle ou telle de ces propositions, il faut ajouter à la théorie des moyens de démonstration qui n'y figurent pas. L'incomplétude d'une théorie T entraîne l'impossibilité de déduire, dans cette théorie, la proposition qui exprime sa non-contradiction.

Le caractère très surprenant de ces théorèmes suggère que l'on ne peut s'en remettre simplement à l'intuition, et que le sens des concepts utilisés doit être précisé de la façon la plus rigoureuse. Il faut donc utiliser, au niveau métamathématique, un système de représentation qui est celui de la mathématique. L'essentiel, dans le statut du système formel, est précisément le caractère formel qui lui est conféré par une opération d'abstraction, inspirée par la pratique algébrique, et qui consiste à remplacer les termes concrets, renvoyant à des entités de l'univers réel, par des signes dont le sens est fixé entièrement par les relations qui les relient.

Les termes qui sont ainsi définis n'interviennent plus comme termes descriptifs du monde réel, mais comme supports d'une certaine structure relationnelle relevant d'un monde virtuel. L'opération, qui sépare l'un de l'autre le support purement fonctionnel de la structure abstraite que le système présente, est le ressort essentiel de la procédure de formalisation. L'objet formel, qu'utilise cette méthode de séparation entre forme et contenu, est souvent désigné par le terme « formalisme », entendu non plus au sens épistémologique mais précisément au sens d'un terme désignatif, qui renvoie à un certain système formel. Ainsi on parlera de formalisme quantique pour désigner un complexe théorique, constituant un cadre conceptuel approprié pour l'étude des objets quantiques, mais qui le radicalise en séparant totalement la forme du contenu. Ce mode de représentation est celui du système formel, qui intègre à la fois les notions de déduction, d'axiomatique, d'interprétabilité, et d'opération. Le formalisme est la position épistémologique qui, en vue de mettre au jour les propriétés métathéoriques d'un domaine donné de connaissance et d'action, prend appui sur le concept de système formel.

Au sens le plus étroit, un système formel est une structure déductive contenant les règles de formation qui introduisent les catégories d'objets dont il s'occupe, et des règles de dérivation permettant de déduire, à partir de certaines propositions jouant le rôle d'axiomes, les théorèmes qui constituent son contenu informationnel.

Le recours à une représentation formelle ne vaut pas seulement pour des systèmes déductifs, mais aussi pour l'analyse de certains concepts qui jouent un rôle stratégique dans la recherche, tels les concepts de probabilité, de temps, ou de causalité. Une représentation formelle d'un tel concept en fait voir la signification en montrant pour ainsi dire ce concept à l'œuvre dans un contexte approprié. Elle en reproduit, dans une sphère idéale, le mode de fonctionnement, sans chercher à en trouver l'essence, et en même temps sans se contenter d'une analyse en termes de composants élémentaires.

Du point de vue philosophique, le trait le plus remarquable du formalisme – pris au sens le plus radical – est ce qu'on pourrait appeler la fécondité de la forme. La transformation qui remplace le langage descriptif par une représentation abstraite est apparemment le remplacement d'une intelligibilité forte par une intelligibilité faible, celle des algorithmes et des calculs. L'expérience montre au contraire que la mise en évidence de la forme rend accessible l'intelligibilité intrinsèque de l'objet réel, et que le passage à travers l'univers virtuel du formalisme est réellement révélateur.

La forme, cependant, n'apporte son éclairement que si le moment de la séparation est suivi du moment du retour. L'étude des conditions du retour constitue la problématique de l'interprétation, qui doit restituer à son ancrage concret ce dont, en définitive, il est question dans un processus de formalisation. Il incombe à une réflexion philosophique de mettre en évidence ce qui fonde la possibilité d'un tel trajet. Il apparaîtra que la problématique de la forme n'est au fond qu'un aspect de la problématique de la substance.

Auteur: JEAN LADRIERE