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Définition et synonyme de : LOGICISME

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Article publié par Encyclopaedia Universalis LOGICISME Doctrine selon laquelle les mathématiques, à l'exception éventuelle de la géométrie, ne sont rien de plus qu'un développement de la logique, et n'appellent donc la mise en œuvre d'aucune intuition sensible, fût-elle pure comme l'intuition de l'espace ou du temps que Kant mettait au fondement de toute connaissance mathématique. La doctrine logiciste, plus précisément, soutient deux thèses : la première, que les concepts fondamentaux des mathématiques, comme le concept de nombre cardinal fini, sont définissables en termes purement logiques ; la seconde, que les principes fondamentaux des mathématiques, comme les axiomes de Peano (PA) pour l'arithmétique des nombre cardinaux finis, sont démontrables sur la base de principes et de règles d'inférence purement logiques. Cette doctrine présuppose une délimitation rigoureuse de ce qu'il faut entendre par « logique ». Disons simplement que, pour les deux plus grands représentants du logicisme que furent Gottlob Frege (1848-1925) et Bertrand Russell (1872-1970), pères aussi de la logique moderne et de la philosophie analytique, la logique représentait à la fois beaucoup plus et beaucoup moins que ce qu'elle est pour nombre de logiciens et philosophes aujourd'hui.
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LOGICISME

Doctrine selon laquelle les mathématiques, à l'exception éventuelle de la géométrie, ne sont rien de plus qu'un développement de la logique, et n'appellent donc la mise en œuvre d'aucune intuition sensible, fût-elle pure comme l'intuition de l'espace ou du temps que Kant mettait au fondement de toute connaissance mathématique. La doctrine logiciste, plus précisément, soutient deux thèses : la première, que les concepts fondamentaux des mathématiques, comme le concept de nombre cardinal fini, sont définissables en termes purement logiques ; la seconde, que les principes fondamentaux des mathématiques, comme les axiomes de Peano (PA) pour l'arithmétique des nombre cardinaux finis, sont démontrables sur la base de principes et de règles d'inférence purement logiques.

Cette doctrine présuppose une délimitation rigoureuse de ce qu'il faut entendre par « logique ». Disons simplement que, pour les deux plus grands représentants du logicisme que furent Gottlob Frege (1848-1925) et Bertrand Russell (1872-1970), pères aussi de la logique moderne et de la philosophie analytique, la logique représentait à la fois beaucoup plus et beaucoup moins que ce qu'elle est pour nombre de logiciens et philosophes aujourd'hui. Beaucoup plus, puisque, pour Frege par exemple, la logique contenait notamment une théorie des concepts et de leur extension, dans laquelle on peut reconnaître une théorie des ensembles, à la fois naïve (et inconsistante, voir plus loin) et du second ordre, que, toute question de naïveté ou d'ordre mise à part, bien peu aujourd'hui seraient prêts à qualifier de « logique » ; et beaucoup moins, puisque le même Frege aurait refusé le label aux théories formelles du savoir ou de la croyance, par exemple, qui circulent aujourd'hui sous ce titre d'emprunt (« logique épistémique », « logique doxastique »).

Le logicisme de Frege et son échec

Le premier à entreprendre de justifier les deux thèses fondamentales du logicisme, et cela d'abord pour l'arithmétique des nombres cardinaux en général et pour celle des nombres cardinaux finis en particulier, fut Frege. Dans son livre Les Fondements de l'arithmétique (1884), il entreprit d'abord de définir les notions fondamentales de l'arithmétique cardinale, ce à quoi il parvint au terme d'une analyse dont la thèse la plus importante fut que le nombre d'un concept F est identique au nombre d'un concept G si et seulement si (ssi) les objets tombant sous F peuvent être mis en correspondance biunivoque avec les objets tombant sous G, ou, pour le dire plus brièvement, ssi F est « équinumérique » à G – c'est ce qu'on a appelé ultérieurement le « principe de Hume » (HP). Frege posa alors les définitions suivantes : le nombre d'un concept F est par définition (estdf) l'extension du concept « concept équinumérique à F » (ou, aussi bien : l'extension du concept « extension de concept équinumérique à F ») ; un objet est un nombre ssidf il existe un concept dont il est le nombre ; 0 estdf le nombre du concept « non identique à soi-même » ; le nombre k' est le successeur du nombre k ssidf k' est le nombre d'un concept F sous lequel tombe un objet a tel que k est le nombre du concept « être un F différent de a » ; un nombre est fini ssidf il tombe sous tout concept subsumant 0 et le successeur de tout nombre qu'il subsume. Puis il commença à déduire, par les seuls moyens de la logique, les premiers théorèmes fondamentaux de l'arithmétique cardinale.

Dans son maître livre en deux volumes, Les Lois fondamentales de l'arithmétique (1893, 1903), Frege remit l'ouvrage sur le métier, à la fois pour lui donner la rigueur formelle qu'il n'avait pas dans Les Fondements de l'arithmétique et pour le compléter, d'un côté par une théorie des extensions de concepts qu'il avait seulement évoquée dans Les Fondements de l'arithmétique, et de l'autre par un développement plus poussé de l'arithmétique jusques et y compris la théorie des nombres réels. Le logicisme semblait alors irrésistible. Hélas ! alors que le second volume était sous presse, Frege reçut de Russell une lettre en date du 16 juin 1902, qui lui montrait en quelques lignes que sa théorie des extensions de concept tombait sous le coup d'un paradoxe : on pouvait y démontrer que l'extension du concept « extension de concept ne tombant pas sous le concept dont elle est l'extension » tombait sous ce concept, mais aussi bien qu'elle n'y tombait pas. Frege essaya bien de trouver la parade, mais finit par se convaincre que le paradoxe de Russell ruinait sa théorie des extensions de concept – nous dirions aujourd'hui : la théorie naïve des ensembles – et par abandonner le logicisme dont elle était une pièce maîtresse.

La théorie des types

De son côté, Russell, partisan, lui aussi, du logicisme, ne désarma pas. Après plusieurs tentatives avortées, il crut enfin trouver la solution de son paradoxe dans une nouvelle logique, d'où les classes, comme il disait, étaient éliminées au profit de fonctions propositionnelles hiérarchiquement disposées selon leur type, un peu comme chez Frege les concepts, mais de façon plus subtile, satisfaisant au « principe du cercle vicieux » (PCV). Dans les trois forts volumes des Principia Mathematica (1910, 1912, 1913), cosignés par Alfred North Whitehead (1861-1947), Russell montra comment les mathématiques pouvaient être reconstruites sur la base de cette nouvelle logique, aujourd'hui connue sous le nom de « théorie des types ramifiée ». Mais la reconstruction souffrait d'un grave défaut, en ce qu'elle faisait appel à des axiomes dont on pouvait douter du caractère purement logique, à savoir les axiomes de réductibilité (AR), de l'infini et du choix. Frank Plumpton Ramsey (1903-1930) proposa une version simplifiée de la théorie des types qui passait outre le PCV et faisait l'économie de AR, mais pour les axiomes de l'infini et du choix, on ne pouvait faire mieux que de reformuler les théorèmes qui en dépendaient en y faisant expressément figurer lesdits axiomes à titre de conditions.

Le néologicisme

Par la suite, le logicisme eut encore ses défenseurs, notamment en la personne de Rudolf Carnap (1891-1970). Mais on se contentera ici de faire état de la résurgence récente de la doctrine sous une forme renouvelée : le néologicisme, issu de la redécouverte par Crispin Wright (né en 1942) du « théorème de Frege » selon lequel, indépendamment de la notion d'extension de concept, HP implique les axiomes de Peano (PA), à partir desquels on sait comment retrouver la totalité de l'arithmétique. Naturellement, pour intéressant qu'il fût, ce genre de résultat ne réalisait pas le programme logiciste classique, puisqu'il restait encore à définir la fonction arithmétique fondamentale mobilisée par HP, « le nombre de », en termes purement logiques, ce que Frege avait cru pouvoir faire en termes d'extensions de concept. Mais on peut penser que HP est fondé sur la seule analyse du concept de nombre cardinal. Telle est du moins la thèse de Wright : HP est analytique. Ainsi, PA, qui en découle logiquement, serait analytique lui aussi, et de même finalement l'arithmétique. Le néologicisme de Wright n'a pas fait l'unanimité, mais sa discussion a donné lieu à de nombreuses contributions techniques et philosophiques de grande valeur, notamment de la part de George Boolos (1940-1996).

Auteur: PHILIPPE DE ROUILHAN