Cette publication est accessible gratuitement

Partagez cette publication

Vous aimerez aussi

Définition et synonyme de : FINALISME

de Encyclopaedia-Universalis

ENTENDEMENT

de Encyclopaedia-Universalis

Du même publieur

PRÉDICATIVISME

Doctrine selon laquelle certaines définitions naïvement reçues de la logique ou des mathématiques classiques recèlent une certaine sorte de circularité qu'on retrouve à l'origine de tous les grands paradoxes et qui, même quand elle n'y conduit pas, devrait être interdite. Le principe de cette interdiction est le « principe du cercle vicieux » (PCV), qui dit, grosso modo, qu'un objet ne peut être défini dans les termes d'une multiplicité d'objets parmi lesquels il se trouve.

L'idée du PCV fut lancée pour la première fois par Henri Poincaré (1854-1912) en réaction à un paradoxe découvert par Jules Richard (1862-1956) en 1905. Celui-ci avait considéré l'ensemble E des nombres qui peuvent être définis en un nombre fini de mots, et avait apparemment réussi à définir un certain nombre N qui, de par sa définition même, différait de chacun des éléments de E et donc n'appartenait pas à E, et qui, cependant, étant défini en un nombre fini de mots, appartenait à E. En 1906, Poincaré remarqua que, dans sa définition de l'élément N de E, Richard avait mobilisé la notion de l'ensemble E, et il résolut ainsi le paradoxe : la prétendue définition de N contenait un cercle vicieux, ce n'était pas une véritable définition. La même explication valait, selon Poincaré, pour tous les grands paradoxes.

De son côté, Bertrand Russell (1872-1970) cherchait pour le fameux paradoxe relatif aux classes (autrement dit aux ensembles) qu'il avait découvert en 1901 une solution de portée générale. Ce paradoxe montrait que la propriété d'être une classe qui n'est pas membre d'elle-même ne définissait pas de classe, ou, dans la terminologie de Russell, que ladite propriété n'était pas « prédicative ». La question était alors de faire le départ entre les propriétés, ou définitions, qui étaient prédicatives et celles qui ne l'étaient pas. Lorsqu'il prit connaissance de l'idée de Poincaré, il l'adopta immédiatement, tout en disant y trouver confirmation de ses propres idées : les définitions prédicatives n'étaient autres que celles qui satisfaisaient au PCV. Par un curieux glissement sémantique, le sens originel de la « prédicativité » tomba bientôt dans l'oubli, et, la thèse de Poincaré étant prise pour définition, le terme signifia désormais l'absence de cercle vicieux.

Pour Poincaré, digne successeur de Descartes (1596-1650) pour le mépris de la logique formelle, tout était dit, il n'y avait plus qu'à faire preuve de vigilance. Pour Russell, au contraire, la logique, et avec elle les mathématiques, qui n'en étaient que le prolongement, devaient être reconstruites en faisant systématiquement droit au nouveau principe plus précisément formulé. Les règles gouvernant l'usage des connecteurs, des quantificateurs, et de l'identité pouvaient rester les mêmes, c'est la théorie des classes et relations et autres entités supra-individuelles qui devait changer. La nouvelle logique prit finalement la forme d'une « théorie des types », où les entités supra-individuelles (réduites en fait aux seules fonctions propositionnelles) étaient disposées, chacune selon son « type », en une hiérarchie assez subtile pour satisfaire aux exigences de départ. Esquissée dans un article paru en 1908, la théorie fut développée par Russell, en collaboration avec Alfred North Whitehead (1861-1947), dans l'ouvrage monumental Principia Mathematica (3 vol., 1910-1913), et rétrospectivement connue sous le nom de « théorie des types ramifiée ».

L'exigence de prédicativité pesait lourdement sur l'entreprise de reconstruction des mathématiques, et Whitehead et Russell durent, pour parvenir à leurs fins, admettre un axiome ad hoc, qui permettait de contourner cette exigence, l'axiome de réductibilité (AR). Toute ambition « logiciste » mise à part, AR était inacceptable, et l'on n'eût de cesse de trouver le moyen de s'en passer. Pour éviter d'avoir à sacrifier une bonne partie des mathématiques classiques, il fallait lui trouver un substitut. Dans la seconde édition des Principia Mathematica (1925-1927), Whitehead et Russell envisagèrent de remplacer AR par la « thèse d'extensionnalité » de Ludwig Wittgenstein (1889-1951), et crurent avoir réussi à prouver sur cette nouvelle base le principe d'induction complète, mais Kurt Gödel (1906-1978) décela ultérieurement une faute de raisonnement, et il apparut par la suite que leur tentative sur ce point était sans issue.

Entre-temps, dans son livre de 1918 sur Le Continu, Hermann Weyl (1885-1955) avait ouvert une voie moins ambitieuse, mais plus prometteuse. On renonçait à définir les entiers naturels, on se les donnait d'entrée de jeu, et, sur cette base, on tentait de reconstruire, sinon la totalité des mathématiques classiques, du moins la partie jugée essentielle pour les sciences de la nature. Weyl réussit ainsi à reconstruire la théorie des fonctions d'une variable réelle continues (par morceaux). Mais il n'alla pas plus loin, abandonnant bientôt le prédicativisme pour la doctrine plus exigeante de l'intuitionnisme. Le programme de Weyl fut repris à partir des années 1950 par plusieurs logiciens de premier plan, notamment Solomon Feferman (né en 1928). Dans des articles parus à partir de 1975, ce dernier élabora un système prédicatif, W (ainsi nommé en l'honneur de Weyl), dans lequel il poussait la reconstruction beaucoup plus loin que Weyl ne l'avait fait, assez loin pour que l'hypothèse selon laquelle la totalité de l'analyse mathématique scientifiquement applicable peut être reconstruite de façon prédicative pût être considérée comme pratiquement vérifiée.

Auteur: PHILIPPE DE ROUILHAN
Un pour Un
Permettre à tous d'accéder à la lecture
Pour chaque accès à la bibliothèque, YouScribe donne un accès à une personne dans le besoin