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Définition et synonyme de : STRUCTURE, mathématique

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Article publié par Encyclopaedia Universalis STRUCTURE, mathématique Pendant des millénaires, on a effectué calculs et raisonnements mathématiques sans notion de « structure mathématique ». L'émergence d'une notion aussi générale et abstraite ne pouvait se produire dans l'esprit des spécialistes sans avoir été longuement préparée par de nombreux travaux portant sur des notions plus particulières mais dont la conception rigoureuse fut elle-même difficile : groupe et corps, mis en évidence et étudiés en particulier par Carl Friedrich Gauss vers 1805 et Évariste Galois en 1830- 1832 ; espace topologique, défini par Felix Hausdorff en 1914 ; etc. Une définition générale de la notion de structure a été élaborée à la fin des années 1930 par quelques mathématiciens français regroupés sous le pseudonyme collectif de Nicolas Bourbaki. Intérêt de la notion mathématique de structure La notion de structure est fondamentale en mathématique, pour au moins trois raisons. Tout d'abord, elle permet de répondre à des questions telles que : pourquoi, ou à quelles conditions, tel calcul ou tel raisonnement est-il valable ?
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STRUCTURE, mathématique

Pendant des millénaires, on a effectué calculs et raisonnements mathématiques sans notion de « structure mathématique ». L'émergence d'une notion aussi générale et abstraite ne pouvait se produire dans l'esprit des spécialistes sans avoir été longuement préparée par de nombreux travaux portant sur des notions plus particulières mais dont la conception rigoureuse fut elle-même difficile : groupe et corps, mis en évidence et étudiés en particulier par Carl Friedrich Gauss vers 1805 et Évariste Galois en 1830-1832 ; espace topologique, défini par Felix Hausdorff en 1914 ; etc. Une définition générale de la notion de structure a été élaborée à la fin des années 1930 par quelques mathématiciens français regroupés sous le pseudonyme collectif de Nicolas Bourbaki.

Intérêt de la notion mathématique de structure

La notion de structure est fondamentale en mathématique, pour au moins trois raisons.

Tout d'abord, elle permet de répondre à des questions telles que : pourquoi, ou à quelles conditions, tel calcul ou tel raisonnement est-il valable ? Par exemple, une écriture telle que (a + b) /(a2 – b2) = 1 /(a – b), avec a ≠ b et a ≠ – b, suppose, pour qu'elle soit exacte, que a et b appartiennent à un ensemble E dans lequel on a défini une addition l+ et une multiplication l× de telle façon que le triplet (E, l+, l×) soit un corps commutatif, et donc que l'on dispose aussi d'une soustraction (ou addition de l'opposé) et d'une division (ou multiplication par l'inverse) par tout élément non nul. Déterminer les conditions minimales de validité d'un calcul ou d'une démonstration revient donc souvent à préciser une structure, celle qui est dotée des propriétés nécessaires et suffisantes pour rendre vrai ce calcul ou cette démonstration. Des types d'activité mathématique pratiqués depuis des siècles prennent ainsi tout leur sens lorsque l'on comprend quelle est leur place exacte dans le vaste édifice abstrait qu'est la mathématique. Ainsi, pour parler rigoureusement de la continuité d'une fonction, il faut expliciter les topologies, donc les structures, choisies sur les ensembles de départ et d'arrivée de la fonction. La compacité et la connexité sont aussi des notions purement topologiques. En revanche, celle de dérivabilité peut être considérée comme plus compliquée, puisqu'elle nécessite la définition préalable de structures algébrotopologiques.

Ensuite, l'étude d'une espèce de structure, c'est-à-dire d'un certain type de structure, faite pour elle-même d'une façon générale sans recourir à des cas particuliers, est extrêmement intéressante. Elle permet en effet d'en découvrir des propriétés, et donc d'énoncer des théorèmes qui seront valables dans tous les cas analogues, c'est-à-dire chaque fois que l'on aura affaire à une structure de cette espèce. Au lieu de devoir démontrer presque la même chose plusieurs fois, une seule démonstration suffit. Ainsi, puisque « tout corps fini est commutatif » (théorème d'Artin et de Wedderburn), il est inutile de chercher à démontrer, chaque fois que l'on considère un corps fini, qu'il est commutatif, puisqu'on le sait déjà. Les démonstrations générales concernant certaines espèces de structures réalisent donc une remarquable économie de moyens.

Enfin, en adjoignant à la notion de structure celle de morphisme (application possédant certaines propriétés et, en quelque sorte, « faisant passer » d'une structure à une autre en conservant les propriétés caractéristiques de l'espèce de structure considérée), on peut parfois, en connaissant une propriété d'une structure, en déduire une propriété d'une autre structure. Mieux : lorsqu'il existe un isomorphisme (morphisme bijectif dont l'application réciproque est aussi un morphisme) entre deux structures, étudier les propriétés de l'une est équivalent à étudier les propriétés de l'autre. Un résultat difficile à démontrer dans l'une et qui le serait plus facilement dans l'autre serait ainsi démontré pour les deux.

Quelques exemples de structures mathématiques

La notion générale de structure mathématique est très abstraite, mais nous pouvons en donner une idée à l'aide de quelques exemples, invoqués principalement à propos de l'ensemble des nombres réels ℝ.

Appelons l+ l'addition dans l'ensemble des nombres réels. On sait que, quels que soient les nombres réels a, b et c, (a + b) + c = a + (b + c) [l+ est associative], a + 0 = 0 + a = a [l+ admet 0 pour élément neutre] et il existe un nombre réel a' tel que a + a' = a' + a = 0 [tout élément est symétrisable, c'est-à-dire admet un symétrique pour l'addition (qui est son opposé, noté « – a »)]. On dit que le couple (ℝ, l+) est un groupe, d'ensemble de base ℝ, et que le graphe G de l+ est la structure du groupe (ℝ, l+). Par abus de langage, à éviter, on dit aussi que ℝ est « muni d'une structure de groupe (additif) ». En outre, a + b = b + a [l+ est commutative] : ce groupe est dit abélien ou commutatif.

Les groupes interviennent dans de nombreux travaux mathématiques, souvent en relation avec la notion d'invariant. Dans un plan, traçons un triangle équilatéral ABC de centre O, et considérons les rotations r1, r2 et r3 de centre O et d'angles de mesure 0, 120 et 240 degrés respectivement, et les symétries s1, s2 et s3 d'axes OA, OB et OC respectivement : ces transformations sont toutes celles qui laissent globalement invariante la figure « triangle équilatéral ». Le couple (T, l), où T = {r1, r2, r3, s1, s2, s3} et l est la composition des applications de T, est un groupe non abélien (appelé « groupe diédral ») ; il est d'ordre six (car T a six éléments) et son élément neutre est r1. Le couple (R, l'), où R = {r1, r2, r3} et l' est la composition des applications de R, est un groupe abélien, et c'est un sous-groupe de (T, l) : c'est là un exemple de sous-structure.

Appelons lx la multiplication dans l'ensemble des nombres réels. Elle est associative et, quels que soient les nombres réels a, b et c, les égalités (a + b) × c = (a × c) + (b × c) et a × (b + c) = (a × b) + (a × c) sont vraies : on dit que la multiplication est distributive par rapport à l'addition, et que le triplet (ℝ, l+, l×) est un anneau. C'est même un anneau unifère, car la multiplication admet 1 comme élément neutre. En outre, tout nombre réel différent de 0 admettant un symétrique pour la multiplication (qui est son inverse), cet anneau unifère est appelé un corps, et ce corps est commutatif car la multiplication est commutative.

Les structures évoquées ci-dessus sont algébriques, et souvent liées à des calculs. Très importantes aussi sont les structures topologiques, souvent liées à l'étude de formes ou à une certaine notion de proximité.

Un espace topologique est un couple (E, O) où E est un ensemble et O une topologie sur E, c'est-à-dire un ensemble de parties de E tel que E et l'ensemble vide appartiennent à O, toute réunion d'ensembles de O appartienne à O et toute intersection finie d'ensembles de O appartienne à O. La structure est la topologie O, et tout ensemble de O est appelé ensemble ouvert, ou ouvert, de l'espace topologique. Dans l'ensemble des nombres réels, la topologie la plus couramment utilisée est la « topologie de l'ordre » : c'est celle qui a pour ensembles ouverts les intervalles ouverts ]a, b[, où a est inférieur à b.

Catégories et opérades

L'idée de considérer simultanément des structures et des morphismes qui peuvent leur être associés a conduit à la notion de catégorie, sous deux approches différentes.

La plus couramment utilisée est celle qui a été introduite en 1945 par Samuel Eilenberg et Saunders MacLane. Elle utilise la notion première de classe et se situe donc dans le cadre de la théorie des ensembles et des classes de John von Neumann, Paul Bernays et Kurt Gödel. Dans cette optique, une catégorie est constituée par la donnée d'une classe d'objets Ob, d'une classe de flèches Fl, de deux applications de Fl dans Ob et d'une application qui à deux flèches composables associe une flèche composée, le tout étant soumis à certaines conditions. Si les objets sont les groupes et les flèches les morphismes entre groupes, on parle alors de la « catégorie des groupes ».

Dans le cadre de la théorie des ensembles d'Ernst Zermelo et d'Adolf Abraham Fraenkel, Charles Ehresmann a défini une catégorie comme un couple (E, λ) où E est un ensemble et λ une application d'une partie du produit cartésien E×E dans E possédant certaines propriétés. Étant donné un univers U, c'est-à-dire un ensemble « très grand » (qui contient toutes les parties, tous les ensembles de parties, tous les produits cartésiens et toutes les réunions définissables à partir des ensembles qu'il contient, ainsi que l'ensemble des nombres entiers naturels), on peut alors parler de la « catégorie des homomorphismes de groupes de l'univers U ».

Ces deux approches sont à peu près équivalentes, et chacune de ces deux notions de catégorie permet de démontrer des résultats très généraux.

Dans une autre direction, on peut envisager de considérer simultanément toutes les opérations possibles avec un nombre fini de variables et toutes les relations entre ces opérations, ou bien toutes les topologies définissables dans un ensemble donné. Cette idée, en partie évoquée par Michel Lazard en 1955, a été développée dans les années 1970 par des topologues algébristes, dont J. Peter May qui introduisit en 1972 le nom d'« opérade » et la notion d'opérade topologique. L'étude des structures d'opérades (algébriques ou topologiques), des structures de coopérades qui leur sont proches, et des structures de « props » qui réunissent les caractéristiques des opérades et des coopérades, permet aussi de démontrer des théorèmes très généraux.

Catégories et opérades sont souvent invoquées dans une même recherche.

Auteur: Jean-Marie PRUVOST-BEAURAIN
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