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Dynamics and statistics of hydrodynamically interacting particles in laminar flows [Elektronische Ressource] / von Jochen Bammert

101 pages
Dynamics and statistics ofhydrodynamically interacting particlesin laminar owsVon der Universit at Bayreuthzur Erlangung des Grades einesDoktors der Naturwissenschaften (Dr. rer. nat.)genehmigte AbhandlungvonJochen Bammertgeboren in Illingen (Saar)1. Gutachter: Prof. Dr. W. Zimmermann2. Gutachter: Prof. Dr. C. MisbahTag der Einreichung: 20.12.2010Tag des Kolloquiums: 24.03.2011ContentsAbstract . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iiKurzdarstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ivExtended Abstract . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1Publications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18Bibliography 85iAbstractThe subject of this thesis is the investigation of the dynamics and statistics ofhydrodynamically interacting particles in low Reynolds number ows, which isdiscussed in three interrelated themes.The rst theme focuses on polymer fractionation. With our basic model weexplore the possibility to sort dumbbells with respect to their size using a two-dimensional periodic potential. It turns out that the purely di usive behaviorof a dumbbell in this structured landscape is dominated by the ratio of twocharacteristic length scales, namely the wavelength of the potential and thesize of the dumbbellb [1]. We explain why the di usion constant in the potentialplane shows a pronounced local maximum around =b 3=2.
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Dynamics and statistics of
hydrodynamically interacting particles
in laminar ows
Von der Universit at Bayreuth
zur Erlangung des Grades eines
Doktors der Naturwissenschaften (Dr. rer. nat.)
genehmigte Abhandlung
von
Jochen Bammert
geboren in Illingen (Saar)
1. Gutachter: Prof. Dr. W. Zimmermann
2. Gutachter: Prof. Dr. C. Misbah
Tag der Einreichung: 20.12.2010
Tag des Kolloquiums: 24.03.2011Contents
Abstract . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ii
Kurzdarstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iv
Extended Abstract . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
Publications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
Bibliography 85
iAbstract
The subject of this thesis is the investigation of the dynamics and statistics of
hydrodynamically interacting particles in low Reynolds number ows, which is
discussed in three interrelated themes.
The rst theme focuses on polymer fractionation. With our basic model we
explore the possibility to sort dumbbells with respect to their size using a two-
dimensional periodic potential. It turns out that the purely di usive behavior
of a dumbbell in this structured landscape is dominated by the ratio of two
characteristic length scales, namely the wavelength of the potential and the
size of the dumbbellb [1]. We explain why the di usion constant in the potential
plane shows a pronounced local maximum around =b 3=2. Furthermore, the
in uence of the spring rigidity and the hydrodynamic interaction on the di usive
motion are examined as well as the dumbbell statistics. If the dumbbell is driven
by an external ow through the periodic landscape two di erent kinds of motion
occur: transport along a potential valley and a stair-like motion oblique to the
trenches [2]. In the latter case, the dumbbell jumps regularly to a neighboring
valley which results in an e ective de ection. The onset of the oblique movement
as well as the de ection angle depend on the hydrodynamic interaction, on the
ratio =b , and on the Brownian motion of the beads. Especially the signi cant
dependence of on =b enables particle sorting. The results are published, cf.
pub1, pub2.
The second theme deals with the Brownian dynamics in shear ows. Here,
we investigate the correlations of particle uctuations in order to character-
ize the direct interplay between thermal motion, hydrodynamic interactions,
and non-uniform ows. With respect to the experimental implementation the
particles are caught by harmonic potentials. First, we consider one trapped
Brownian bead in linear shear and Poiseuille ows. The correlation functions
of the particle’s position and velocity uctuations are calculated analytically
[3]. The main result is the occurrence of shear-induced cross-correlations be-
tween orthogonal uctuations in the shear plane which are asymmetric in time.
Moreover, the positional probability distribution,P(r), of a single bead in both
types of ow is determined [4]. In Poiseuille ow, where no analytical solutions
can be obtained, we use perturbation expansions to derive formulas forP(r)
that are valuable for the analysis of experimental data. In the case of a lin-
ear shear ow, a connection between the static correlations and the distribution
functions is derived which allows a consistency check between independent mea-
surements. Considering a system with several Brownian particles it is obvious
that hydrodynamic interactions in uence the correlations. In order to investi-
gate this e ect, we calculate the positional correlation functions for a setup of
iitwo trapped Brownian beads which are exposed to a linear shear ow [5]. As
expected, the one-particle correlations change compared to the single particle
case described above. They depend on the distance between the two beads.
In addition, we nd inter-particle correlations between orthogonal positional
uctuations of di erent particles. The structure of these new cross-correlations
depends signi cantly on the relative orientation of the two beads in the shear
ow. They can have zero, one, or two local extrema as a function of time.
In collaboration with Prof. Wagner from Saarbruc ken some of our predictions
are already con rmed by experiments, where polystyrene beads are caught by
optical traps and simultaneously exposed to linear shear ows in a special mi-
cro uidic device [6]. The results are published, cf. pub3, pub4, pub5, pub6, and
further investigations are in progress.
The third theme concentrates on the rheology of colloidal suspensions. Our
deterministic model system consists of Hookean dumbbells suspended in a con-
ned Newtonian uid under constant shear. We perform a numerical study
using uid particle dynamics simulations, where the e ective viscosity of the
suspension, , and the dumbbell statistics are determined [7]. The investiga-eff
tions on the tumbling motion of a single dumbbell reveals that is in uencedeff
by three di erent contributions: the volume fraction occupied by the dumbbell,
the hydrodynamic interaction between the beads, and elastic correlation e ects.
For a suspension of independent spheres we observe in our simulations that the
viscosity, as a function of the volume fraction , di ers from the prediction
of Einstein, Batchelor and Green if becomes larger than 8%. Replacing the
beads by dumbbells leads to an increase of , which depends signi cantly oneff
the length of the springs connecting the two beads. The distribution function
for the orientation angle of the dumbbells indicates the complex motion of the
individual objects in the suspension, which may lead to the so-called elastic
turbulence, as experimentally discovered by Groisman and Steinberg.
iiiKurzdarstellung
Der Schwerpunkt der vorliegenden Dissertation ist die Untersuchung der Dyna-
mik und Statistik von hydrodynamisch wechselwirkenden Teilchen in Str omungen
mit kleiner Reynolds Zahl. Diese Arbeit umfasst drei miteinander verknupfte
Projekte.
Das erste Projekt besch aftigt sich mit der Fraktionierung von Polymeren.
Im Rahmen eines einfachen Modells wird die M oglichkeit untersucht, wie man
Hanteln in einem zweidimensionalen, periodischen Potential ihrer Gr o e nach
sortieren kann. In einem solchen System gibt es zwei charakteristischen L angen-
skalen: Die Hantell ange b und die Wellenl ange des Potentials . Ihr Verh altnis
zueinander bestimmt ma geblich das di usive Verhalten der Hantel in der Po-
tentialebene [1]. Die Di usionskonstante als Funktion von =b hat im Bereich
=b 3=2 ein lokales Maximum. Des Weiteren wird neben der Hantelstatis-
tik auch der Ein u der Federstei gkeit und der hydrodynamischen Wechsel-
wirkung auf die Di usion untersucht. Falls die Hantel mittels einer Str omung
durch das Potential gezogen wird, ergeben sich je nach Parameterwahl zwei ver-
schiedene Transportmuster: Die Hantel bewegt sich entweder geradlinig entlang
eines Potentialtals oder sie springt regelm a ig von einer Rinne zur n achsten
[2]. Im zweiten Fall entsteht eine stufenartige Trajektorie mit einem mittleren
Ablenkwinkel. Sowohl der Ubergang zwischen den beiden Bewegungsmustern
als auch h angen von der hydrodynamischen Wechselwirkung, dem Verh alt-
nis =b und der Amplitude der thermischen Fluktuationen ab. Besonders die
Abh angigkeit des Ablenkwinkels vom relativen L angenverh altnis erm oglicht die
Fraktionierung von Hantelsuspensionen. Die gefundenen Resultate sind bereits
ver o entlicht (vgl. pub1, pub2 ).
Im zweiten Projekt geht es um Brownsche Bewegung von kolloidalen Teilchen
in Scherstr omungen. Die Korrelationen der Teilchen uktuationen werden un-
tersucht, um das Wechselspiel zwischen thermischer Bewegung, hydrodynami-
scher Wechselwirkung und Scher ussen zu charakterisieren. Im Hinblick auf
eine experimentelle Realisierung werden die betrachteten Teilchen in harmoni-
schen Potentialen gefangen. Zuerst wird das Verhalten einer Brownschen Kugel
in einem linearen Scher uss und in einem Poiseuille-Fluss untersucht und deren
Geschwindigkeits- und Ortskorrelationen analytisch berechnet [3]. Dabei stellt
sich heraus, dass eine Scherstr omung Kreuzkorrelationen zwischen zueinander
senkrechten Teilchen uktuationen verursacht, die eine zeitliche Asymmetrie auf-
weisen. Daruber hinaus wird die AufenthaltswahrscheinlichkeitP(r) des Teil-
chens in den beiden Str omungstypen bestimmt [4]. Da es im Poiseuille-Fluss
keine geschlossene L osung fur P(r) gibt, wird mit Hilfe einer St orungsrechnung
eine N aherungsl osung hergeleitet, die besonders fur experimentelle Ergebnisse
iv

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